Integral convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n causal\/No causal<\/a><\/p>\n\n\n\n Rect\/Rampa<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi 2.4-1 p170, Ej 2.8 p173.<\/p>\n\n\n\n El integral de convoluci\u00f3n de dos funciones x(t) y h(t) usa como operador el s\u00edmbolo \u2297 que representa el integral de la ecuaci\u00f3n mostrada.<\/p>\n\n\n\n La funci\u00f3n h(t) representa la repuesta del sistema, funci\u00f3n de transferencia o respuesta a impulso, que por la forma de obtenerla se considera causal por tener componente \u03bc(t) y \u03b4(t) que asegurar\u00eda que la funci\u00f3n se desarrolle en el lado derecho del plano.<\/p>\n\n\n x(t) \\circledast h(t) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x(\\tau)h(t-\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n La funci\u00f3n x(t) representa la entrada del sistema y el integral de convoluci\u00f3n se utiliza para determinar la respuesta de estado cero de un sistema ZSR.<\/p>\n\n\n\n Si las funciones x(t) y el sistema h(t) son causales, la respuesta tambi\u00e9n ser\u00e1 causal. Teniendo como l\u00edmites del integral El l\u00edmite inferior del integral se usa como 0-<\/strong><\/sup>, implica aunque se escriba solo 0 se pretende evitar la dificultad cuando x(t) tiene un impulso en el origen.<\/p>\n\n\n\n Integral convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n causal\/No causal<\/a><\/p>\n\n\n\n Rect\/Rampa<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Realizar la convoluci\u00f3n entre la respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) mostradas:<\/p>\n\n\n x(t) = e^{-t} \\mu(t) <\/span>\n\n\n h(t) = e^{-2t} \\mu(t) <\/span>\n\n\n\n Para el algoritmo, se define las variables a usar, escal\u00f3n e impulso unitarios, definiendo las funciones x(t) y y(t) como:<\/p>\n\n\n Se revisa la causalidad de las se\u00f1ales para actualizar los l\u00edmites del integral de convoluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n El integral de convoluci\u00f3n se aplica a la multiplicaci\u00f3n entre x(t) y h(t), realizando el cambio de variable por \u03c4 y (t-\u03c4). Para facilitar la operaci\u00f3n del integral, se simplifica la expresi\u00f3n El resultado del integral se muestra como,<\/p>\n\n\n\n Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n Integral convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n causal\/No causal<\/a><\/p>\n\n\n\n Rect\/Rampa<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Con los resultados se puede construir la gr\u00e1fica, para observar en un intervalo sim\u00e9trico que permita visualizar la operaci\u00f3n de convoluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Instrucciones complementarias para las gr\u00e1ficas, se realiza como una funci\u00f3n a ser a\u00f1adida a telg1001.py<\/a> por ser reutilizada en los ejercicios.<\/p>\n\n\n Integral convoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n causal\/No causal<\/a><\/p>\n\n\n\n Rect\/Rampa<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Opennheim 2.8 p101<\/p>\n\n\n\n Realizar la convoluci\u00f3n entre h(t) y x(t) mostradas:<\/p>\n\n\n x(t) = e^{2t} \\mu (-t) <\/span>\n\n\n h(t) = \\mu (t-3) <\/span>\n\n\n\n La se\u00f1al x<\/strong>(t) es creciente desde el lado izquierdo del plano, es decir es no causal<\/strong>, tambi\u00e9n es acotada en cero por el escal\u00f3n unitario invertido en el tiempo.<\/p>\n\n\n\n Mientras que h<\/strong>(t) presenta una respuesta con retraso de 3 unidades de tiempo con el escal\u00f3n unitario, se encuentra en el lado derecho del plano, por lo que se la considera causal<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Para el an\u00e1lisis, el gr\u00e1fico se presenta la animaci\u00f3n de la operaci\u00f3n de convoluci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n Para el ejercicio, es importante considerar que en un sistema lineal causal, solo se desarrolla una salida y(t) ante una entrada x(t). La se\u00f1al de entrada x(t) no se registra a partir de tiempo con valor cero. Observe en la gr\u00e1fica que la se\u00f1al de salida y(t) se desarrolla con retardo de tres unidades respecto a la entrada.<\/p>\n\n\n\n Desde luego el sistema responder\u00e1 en cualquier momento que se presenta la se\u00f1al, por lo que x(t) podr\u00eda ser no causal, La referencia de t=0 se considera desde el punto de vista del sistema h(t).<\/p>\n\n\n Esto implica que de darse el caso que exista un h(t) no causal y x(t) causal, por la propiedad conmutativa de la convoluci\u00f3n<\/a>, para el desarrollo del integral se pueden intercambiar las entradas y hacerlo mas simple.<\/p>\n\n\n El resultado con el algoritmo es:<\/p>\n\n\n\n En la respuesta se observa que el t\u00e9rmino u(3-t)\/2 en -\u221e se convierte en 1\/2 que anula la constante de 1\/2 del tercer t\u00e9rmino. Al revisar la convergencia del primer t\u00e9rmino se encuentra que tiende a cero, en consecuencia en la se\u00f1al hacia el lado izquierdo tiende a cero.<\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica con el algoritmo<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Integral de convoluci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n
![\"Convoluci\u00f3n](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/Convolucion01_animado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
\u03c4a<\/sub> = 0 y \u03c4b<\/sub> = t<\/p>\n\n\n y(t)=\\begin{cases}\\int_{0^{-}}^{t} x(\\tau)h(t-\\tau) \\delta \\tau , & t\\ge 0\\\\ 0, & t<0 \\end{cases}<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejemplo. Algoritmo para el integral de convoluci\u00f3n con x(t) y h(t) causales con Sympy<\/h2>\n\n\n\n
\n# entrada x(t), respuesta impulso h(t)\nx = sym.exp(-t)*u\nh = sym.exp(-2*t)*u\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\nxcausal = ss.es_causal(x)\nhcausal = ss.es_causal(h)\n\n# limites de integral de convoluci\u00f3n\ntau_a = -sym.oo ; tau_b = sym.oo\nif hcausal==True:\n tau_b = t\nif (xcausal and hcausal)==True:\n tau_a = 0\n<\/pre><\/div>\n\n\n
xh<\/code> como t\u00e9rminos de suma<\/p>\n\n\n\n# integral de convolucion\nxh = x.subs(t,tau)*h.subs(t,t-tau)\nxh = sym.expand(xh,t)\ny = sym.integrate(xh,(tau,tau_a,tau_b))\ny = sym.expand(y,t)\ny = y.subs(u**2,u) # Heaviside**2=Heaviside\n<\/pre><\/div>\n\n\n
xcausal: True\nhcausal: True\nlimites de integral: [ 0 , t ]\nx(t)*h(t-tau):\n -2\u22c5t \u03c4 \n\u212f \u22c5\u212f \u22c5\u03b8(\u03c4)\u22c5\u03b8(t - \u03c4)\n\n y(t):\n -t -2\u22c5t \n\u212f \u22c5\u03b8(t) - \u212f \u22c5\u03b8(t)<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Integral de convolucion con Sympy\n# Revisar causalidad de x(t) y h(t)\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport telg1001 as ss\nequivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)},\n {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)},\n 'numpy',]\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t',real=True)\ntau = sym.Symbol('tau',real=True)\nu = sym.Heaviside(t)\nd = sym.DiracDelta(t)\n\n# entrada x(t), respuesta impulso h(t)\nx = sym.exp(-t)*u\nh = sym.exp(-2*t)*u\n\n# grafica intervalo [t_a,t_b] simetrico a 0\nt_b = -4\nt_a = 4\nmuestras = 201\n\n# PROCEDIMIENTO\nxcausal = ss.es_causal(x)\nhcausal = ss.es_causal(h)\n\n# limites de integral de convoluci\u00f3n\ntau_a = -sym.oo ; tau_b = sym.oo\nif hcausal==True:\n tau_b = t\nif (xcausal and hcausal)==True:\n tau_a = 0\n\n# integral de convolucion x(t)*h(t)\nxh = x.subs(t,tau)*h.subs(t,t-tau)\nxh = sym.expand(xh,t)\ny = sym.integrate(xh,(tau,tau_a,tau_b))\ny = sym.expand(y,t)\nif not(y.has(sym.Integral)):\n y = ss.simplifica_escalon(y)\n#ZSR = ZSR.subs(u**2,u) # Heaviside**2=Heaviside\n\n# SALIDA\nprint('xcausal: ',xcausal)\nprint('hcausal: ',hcausal)\nprint('limites de integral: [',tau_a,',',tau_b,']')\nprint('x(t)*h(t-tau):')\nsym.pprint(xh) \nprint('\\n y(t):')\nsym.pprint(y)\nif hcausal==False:\n print('revisar causalidad de h(t)')\nif xcausal==False:\n print('revisar causalidad de x(t)')\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Gr\u00e1fica para el integral de convoluci\u00f3n entre x(t) y h(t)<\/h2>\n\n\n\n
![\"Convoluci\u00f3n](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/Convolucion01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n\ndef graficar_xh_y(xt,ht,yt,t_a,t_b,\n muestras=101,x_nombre='x',\n h_nombre='h',y_nombre='y'):\n '''dos subgraficas, x(t) y h(t) en superior\n h(t) en inferior\n '''\n \n # grafica evaluaci\u00f3n numerica\n xt = sym.sympify(xt,t) # convierte a sympy una constante\n if xt.has(t): # no es constante\n x_t = sym.lambdify(t,xt,modules=equivalentes)\n else: # es constante \n x_t = lambda t: xt + 0*t\n\n ht = sym.sympify(ht,t) # convierte a sympy una constante\n if ht.has(t): # no es constante\n h_t = sym.lambdify(t,ht,modules=equivalentes)\n else: # es constante \n h_t = lambda t: ht + 0*t\n\n ti = np.linspace(t_a,t_b,muestras)\n xi = x_t(ti)\n hi = h_t(ti)\n\n yt = sym.sympify(yt,t) # convierte a sympy una constante\n if yt.has(t): # no es constante\n y_t = sym.lambdify(t,yt,modules=equivalentes)\n else: # es constante \n y_t = lambda t: yt + 0*t\n yi = y_t(ti)\n\n colorlinea_y = 'green'\n if y_nombre =='ZSR':\n colorlinea_y = 'dodgerblue'\n \n fig_xh_y, graf2 = plt.subplots(2,1)\n untitulo = y_nombre+'(t) = $'+ str(sym.latex(yt))+'$'\n graf2[0].set_title(untitulo)\n graf2[0].plot(ti,xi, color='blue', label='x(t)')\n graf2[0].plot(ti,hi, color='magenta', label='h(t)')\n graf2[0].legend()\n graf2[0].grid()\n # Graficar terminos con impulso\n impulsoen_x = busca_impulso(xt)\n if len(impulsoen_x)>0:\n for donde in impulsoen_x:\n tk = float(donde)\n xk = float(x_t(tk))\n graf2[0].stem(tk,xk,\n linefmt='blue')\n # Graficar terminos con impulso\n impulsoen_h = busca_impulso(ht)\n if len(impulsoen_h)>0:\n for donde in impulsoen_h:\n tk = float(donde)\n hk = float(h_t(tk))\n graf2[0].stem(tk,hk,\n linefmt='magenta')\n\n\n graf2[1].plot(ti,yi,colorlinea_y,\n label = y_nombre+'(t)')\n # Graficar terminos con impulso\n impulsoen_y = busca_impulso(yt)\n if len(impulsoen_y)>0:\n for donde in impulsoen_y:\n tk = float(donde)\n yk = float(y_t(tk))\n graf2[1].stem(tk,yk,\n linefmt=colorlinea_y)\n graf2[1].set_xlabel('t')\n graf2[1].legend()\n graf2[1].grid()\n #plt.show()\n return(fig_xh_y)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Ejercicio: Convoluci\u00f3n entre h(t) causal y x(t) no causal<\/h2>\n\n\n\n
![\"convoluci\u00f3n](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/convolucion02_animado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n\n# entrada x(t), respuesta impulso h(t)\nx = sym.exp(-2*t)*u\nh = u\n\n# grafica intervalo [t_a,t_b] plano sim\u00e9trico\nt_b = 5 ; t_a = -t_b\nmuestras = int(t_b)*10+1\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n # intercambia si h(t) no es_causal\n # con x(t) es_causal por propiedad conmutativa\n intercambia = False\n if hcausal==False and xcausal==True:\n temporal = h\n h = x\n x = temporal\n xcausal = False\n hcausal = True\n intercambia = True\n<\/pre><\/div>\n\n\n
xcausal: False\nhcausal: True\nlimites de integral: [ -oo , t ]\nx(t)*h(t-tau):\n 2\u22c5\u03c4 \n\u212f \u22c5\u03b8(-\u03c4)\u22c5\u03b8(t - \u03c4 - 3)\n\n ZSR(t):\n\u239b -6 2\u22c5t \u239e \n\u239c\u212f \u22c5\u212f 1\u239f 1\n\u239c\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 - \u2500\u239f\u22c5\u03b8(3 - t) + \u2500\n\u239d 2 2\u23a0 2\nrevisar causalidad de x(t)<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"LTIC](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/LTIC_ZSR_Ej03Sympy.png\")
<\/figure>\n\n\n\nAlgoritmo en Python<\/h3>\n\n\n\n
![\"convoluci\u00f3n](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/convolucion03_animado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"convolucion](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/04\/convolucion03.png\")
<\/figure>\n\n\n\n