{"id":4796,"date":"2020-02-11T20:30:04","date_gmt":"2020-02-12T01:30:04","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=4796"},"modified":"2026-04-05T20:59:24","modified_gmt":"2026-04-06T01:59:24","slug":"s3eva2019tii_t1-lanzamiento-de-cohete","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva20\/s3eva2019tii_t1-lanzamiento-de-cohete\/","title":{"rendered":"s3Eva2019TII_T1 Lanzamiento de Cohete"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2019TII_T1 Lanzamiento de Cohete<\/a><\/p>\n\n\n\n

A partir de la tabla del enunciado  se realiza la tabla de diferencias finitas.<\/p>\n\n\n\n

i<\/th>ti<\/sub><\/th>fi<\/sub><\/th>\u0394fi<\/sub><\/th>\u03942<\/sup>fi<\/sub><\/th>\u03943<\/sup>fi<\/sub><\/th>\u03944<\/sup>fi<\/sub><\/th>\u03945<\/sup>fi<\/sub><\/th><\/tr><\/thead>
1<\/td>0<\/td>0<\/td>32<\/td>-6<\/td>0<\/td>0<\/td>0<\/td><\/tr>
2<\/td>25<\/td>32<\/td>26<\/td>-6<\/td>0<\/td>0<\/td> <\/td><\/tr>
3<\/td>50<\/td>58<\/td>20<\/td>-6<\/td>0<\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
4<\/td>75<\/td>78<\/td>14<\/td>-6<\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
5<\/td>100<\/td>92<\/td>8<\/td> <\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
6<\/td>125<\/td>100<\/td> <\/td> <\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Observando que a partir de la tercera diferencia finita  los valores son cero, por lo que se usa la f\u00f3rmula general de diferencias finitas divididas hasta el polinomio de grado 2.<\/p>\n\n\n p_2 (x) = f_0 + \\frac{\\Delta f_0}{h} (x - x_0) + <\/span>\n\n\n + \\frac{\\Delta^2 f_0}{2!h^2} (x - x_0)(x - x_1) <\/span>\n\n\n\n

al sustituir los valores conocidos, se convierte en,<\/p>\n\n\n p_2 (t) =0 + \\frac{32}{25} (t -0) + <\/span>\n\n\n + \\frac{-6}{2(25)^2} (t -0)(t - 25) <\/span>\n\n\n =\\frac{32}{25}t + \\frac{-3}{(25)^2} (t^2 - 25t) <\/span>\n\n\n =\\frac{32}{25}t + \\frac{-3}{(25)^2} t^2 - \\frac{-3}{(25)^2}25t <\/span>\n\n\n =\\frac{7}{5}t - \\frac{3}{625} t^2 <\/span>\n\n\n y(t) =p_2 (t) =1.4 t - 0.0048 t^2 <\/span>\n\n\n\n

Con lo que se puede obtener la velocidad:<\/p>\n\n\n y'(t) = 1.4 - 0.0096 t <\/span>\n\n\n\n

y luego la aceleraci\u00f3n:<\/p>\n\n\n y''(t) = - 0.0096 <\/span>\n\n\n\n

Si el error es el pr\u00f3ximo t\u00e9rmino del polinomio \u03943<\/sup>fi<\/sub>  entonces se estima en cero.<\/p>\n\n\n\n

Tarea<\/strong>:  Evaluar la velocidad y aceleraci\u00f3n para cada punto de la tabla<\/p>\n\n\n\n

\"3EIIT2019T1<\/figure>\n\n\n\n

La gr\u00e1fica del polinomio encontrado es:<\/p>\n\n\n\n

Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n

El algoritmo realizado en Python entrega los siguientes resultados:<\/p>\n\n\n\n

[[  i,  ti,  fi, df1, df2, df3, df4, df5,  df6]]\n[[  1.   0.   0.  32.  -6.   0.   0.   0.   0.]\n [  2.  25.  32.  26.  -6.   0.   0.   0.   0.]\n [  3.  50.  58.  20.  -6.   0.   0.   0.   0.]\n [  4.  75.  78.  14.  -6.   0.   0.   0.   0.]\n [  5. 100.  92.   8.   0.   0.   0.   0.   0.]\n [  6. 125. 100.   0.   0.   0.   0.   0.   0.]]\npolinomio:\n-0.0048*t**2 + 1.4*t<\/code><\/pre>\n\n\n\n
las instrucciones en Python son:<\/p>\n\n\n
\n# 3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete\n# Tarea: Verificar tama\u00f1o de vectores\n#        considerar puntos no equidistantes en eje t\nimport numpy as np\nimport math\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nti = np.array([0.0, 25, 50, 75, 100, 125])\nfi = np.array([0.0, 32, 58, 78, 92, 100])\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Tabla de diferencias finitas\ntitulo = ['i','ti','fi']\nn = len(ti)\n\n# cambia a forma de columnas\ni = np.arange(1,n+1,1)\ni = np.transpose([i])\nti = np.transpose([ti])\nfi = np.transpose([fi])\n\n# A\u00f1ade matriz de diferencias\ndfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\ntabla = np.concatenate((i,ti,fi,dfinita), axis=1)\n\n# Sobre matriz de diferencias, por columnas\n[n,m] = np.shape(tabla)\nc = 3\ndiagonal = n-1\nwhile (c<m):\n    # Aumenta el t\u00edtulo para cada columna\n    titulo.append('df'+str(c-2))\n    # calcula cada diferencia por fila\n    f = 0\n    while (f < diagonal):\n        tabla[f,c] = tabla[f+1,c-1]-tabla[f,c-1]\n        f = f+1\n    \n    diagonal = diagonal - 1\n    c = c+1\n\n# POLINOMIO con diferencias finitas\n# caso: puntos en eje t equidistantes\ndfinita = tabla[:,3:]\nn = len(dfinita)\nt = sym.Symbol('t')\nh = ti[1,0]-ti[0,0]\npolinomio = fi[0,0]\nfor c in range(1,n,1):\n    denominador = math.factorial(c)*(h**c)\n    factor = dfinita[0,c-1]\/denominador\n    termino=1\n    for f  in range(0,c,1):\n        termino = termino*(t-ti[f])\n    polinomio = polinomio + termino*factor\n\n# simplifica polinomio, multiplica los (t-ti)\npolinomio = polinomio.expand()\n\n# para evaluacion num\u00e9rica\npt = sym.lambdify(t,polinomio)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\na = np.min(ti)\nb = np.max(ti)\nmuestras = 101\nti_p = np.linspace(a,b,muestras)\nfi_p = pt(ti_p)\n\n# SALIDA\nprint([titulo])\nprint(tabla)\nprint('polinomio:')\nprint(polinomio)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.title('Interpolaci\u00f3n polin\u00f3mica')\nplt.plot(ti,fi,'o', label = 'Puntos')\nplt.plot(ti_p,fi_p, label = 'Polinomio')\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 3Eva2019TII_T1 Lanzamiento de Cohete A partir de la tabla del enunciado  se realiza la tabla de diferencias finitas. i ti fi \u0394fi \u03942fi \u03943fi \u03944fi \u03945fi 1 0 0 32 -6 0 0 0 2 25 32 26 -6 0 0   3 50 58 20 -6 0     4 75 78 14 […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[51],"tags":[58,54],"class_list":["post-4796","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s3eva20","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4796","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4796"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4796\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23924,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4796\/revisions\/23924"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4796"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4796"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4796"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}