{"id":4858,"date":"2017-05-06T09:35:36","date_gmt":"2017-05-06T14:35:36","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=4858"},"modified":"2026-04-05T23:23:47","modified_gmt":"2026-04-06T04:23:47","slug":"fracciones-parciales-hs-sympy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u04\/fracciones-parciales-hs-sympy\/","title":{"rendered":"4.3 H(s) - Fracciones parciales y factor exp(-a*s) con Sympy-Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n

exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. H(s) - Funci\u00f3n de transferencia<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Kuo 3.2.2 p78<\/p>\n\n\n\n

La funci\u00f3n de transferencia de un sistema lineal invariante con el tiempo se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero.<\/p>\n\n\n\n

\"Sistema<\/figure>\n\n\n\n

Funci\u00f3n de transferencia H(s):<\/p>\n\n\n\n

\"Funci\u00f3n<\/figure>\n\n\n\n

Suponga que H(s) denota la funci\u00f3n de transferencia de un sistema con una entrada y una salida, con entrada x(t) y salida y(t) y respuesta al impulso h(t). Entonces la funci\u00f3n de transferencia H(s) se define como:<\/p>\n\n\nH(s) = \\mathscr{L} [h(t)] = \\frac{P(s)}{Q(s)}<\/span>\n\n\n\n

Las propiedades de la funci\u00f3n de transferencia resumidas son:<\/p>\n\n\n\n

1. La funci\u00f3n de transferencia est\u00e1 definida solamente para un sistema lineal invariante con el tiempo. No est\u00e1 definida para sistemas no lineales<\/p>\n\n\n\n

2. La funci\u00f3n de transferencia entre una variable de entrada y una variable de salida de un sistema est\u00e1 definida como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso. Es decir, la funci\u00f3n de transferencia entre un par de variables de entrada y salida es la relaci\u00f3n entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada<\/p>\n\n\n\n

3. Todas las condiciones iniciales del sistema son iguales a cero.<\/p>\n\n\n\n

4. La funci\u00f3n de transferencia es independiente de la entrada del sistema<\/p>\n\n\n\n

5. La funci\u00f3n de transferencia de un sistema en tiempo cont\u00ednuo se expresa solo como una funci\u00f3n de la variable compleja s. No es funci\u00f3n de la variable real, tiempo, o cualquier otra variable que se utilice como la variable independiente.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n

exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Fracciones parciales en dominio s<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi ejemplo 4 p330, Hsu literal C. p112<\/p>\n\n\n\n

Las fracciones parciales facilitan usar la Transformada Inversa de Laplace al presentar la expresi\u00f3n de 's', H(s), X(s) o Y(s) como una suma de t\u00e9rminos m\u00e1s simples. Los t\u00e9rminos de las fracciones parciales permiten analizar los t\u00e9rminos por medio de los polos del denominador. La expresi\u00f3n suma de t\u00e9rminos buscada antes de usar la tabla de Transformada Inversa de Laplace<\/a> tiene la forma:<\/p>\n\n\n \\frac{P(s)}{Q(s)} = \\frac{ceros(1)}{s - polos(1)}+\\frac{ceros(2)}{s - polos(2)}+\\text{ ... } <\/span>\n\n\n \\text{ ... }+\\frac{ceros(n)}{s - polos(n)}+ganancia(s)<\/span>\n\n\n\n

Cuando se presentan funciones de transferencia con t\u00e9rminos exponenciales sym.exp(-a*s)<\/code>, las instrucciones para polinomio sym.apart()<\/code> para fracciones parciales sym.factors()<\/code> se encuentran limitadas por tener t\u00e9rminos sym.exp(-a*s)<\/code>. Se propone crear una funci\u00f3n que agrupe los t\u00e9rminos por cada t\u00e9rmino sym.exp(-a*s)<\/code> y aplique a cada grupo fracciones parciales o factores.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n

exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

3. Fracciones parciales con Polos reales no repetidos<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong>: Hsu problema 3.17a p137, Lathi ejemplo 4.3a p338, Oppenheim ejemplo 9.9 p671<\/p>\n\n\n\n

El ejemplo muestra como separar el sistema mostrado en partes m\u00e1s simples usando fracciones parciales:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{2s+4}{s^2 +4s+3}<\/span>\n\n\n\n

Ejemplo- Desarrollo anal\u00edtico con el m\u00e9todo de Heaviside para fracciones parciales<\/h3>\n\n\n\n

Las ra\u00edces para el polinomio Q del denominador son -1 y -3, por lo que se crea la expresi\u00f3n general como:<\/p>\n\n\n H(s)= 2\\frac{s+2}{(s+1)(s+3)} = \\frac{k_1}{s+1} + \\frac{k_2}{s+3}<\/span>\n\n\n\n

Se aplica el m\u00e9todo de \"cubrir\" de Heaviside para encontrar el valor de k1<\/sub> , consiste en cubrir el t\u00e9rmino (s+1) y evaluar la expresi\u00f3n con s=-1.<\/p>\n\n\n k_1= 2\\frac{s+2}{\\cancel{(s+1)}(s+3)}\\Bigg|_{s=-1 }= 2\\frac{(-1)+2}{((-1)+3)} = 2\\frac{1}{2} = 1<\/span>\n\n\n\n

de forma semejante se procede para el valor de k2<\/sub>,<\/p>\n\n\n k_2= 2\\frac{s+2}{(s+1)\\cancel{(s+3)}} \\Bigg|_{s=-3 }= 2\\frac{(-3)+2}{((-3)+1)} = 2\\frac{-1}{-2} = 1<\/span>\n\n\n\n

teniendo el resultado de las fracciones parciales,<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{1}{s+1} + \\frac{1}{s+3}<\/span>\n\n\n\n

usando la tabla de transformadas de Laplace<\/p>\n\n\n h(t) = \\Big( e^{-t} + e^{-3t} \\Big) \\mu (t)<\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n

fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n

polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n

exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n

algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

3.1 Fracciones parciales con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n

Para la expresi\u00f3n de la funci\u00f3n de transferencia, con Sympy<\/strong> se crean los polinomios del numerador Ps<\/strong> y denominador Qs<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

# INGRESO<\/span>\ns = sym.Symbol('s'<\/span>)\nPs = 2*s + 4  # 1+0*s cuando es constante<\/span>\nQs = s**2 + 4*s + 3\n\nHs = Ps\/Qs<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Usar H(s)=P(s)\/Q(s) permite disponer de una sola expresi\u00f3n de 's' y obtener las fracciones parciales con sym.apart()<\/code><\/strong>. En los ejercicios por bloques, las fracciones parciales representan como bloques en paralelo.<\/p>\n\n\n\n
Otra forma de expresar H(s) es mediante los factores que usan P_polos y Q_ceros usando la instrucci\u00f3n sym.factors<\/strong>()<\/code>. En los ejercicios por bloques, los factores se representan como bloques en serie.<\/p>\n\n\n\n
Las fracciones parciales facilitan obtener la inversa de la transformada de Laplace con t\u00e9rminos m\u00e1s simples<\/strong> que pueden ser usados con sym.inverse_laplace_transform(term_suma,s,t)<\/code>, o para usar la tabla de Transformadas de Laplace<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
H(s):\n  2\u22c5s + 4   \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n 2          \ns  + 4\u22c5s + 3\n\n H(s) como fracciones parciales \n  1       1  \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\ns + 3   s + 1\n\n H(s) como factores de polos y ceros  \n   2\u22c5(s + 2)   \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n(s + 1)\u22c5(s + 3)\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# Fracciones parciales de H(s) con Sympy\n# Ps es numerador, Qs es denominador\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\ns = sym.Symbol('s')\nt = sym.Symbol('t', real=True)\n\nPs = 2*s + 4\nQs = s**2 + 4*s + 3\n\n# Ps = 2*s**2+5 \n# Qs = s**2 + 3*s + 2\n\n# Ps = 8*s+10\n# Qs = (s+1)*((s+2)**3)\n\n# Ps = 6*(s+34)\n# Qs = s*(s**2+10*s+34)\n\nHs = Ps\/Qs\n\n# PROCEDIMIENTO\n# fracciones parciales\nHs_fp = sym.apart(Hs,s)\n\n# factores\nHs_fc = sym.factor(Hs,s)\n\n# SALIDA\nprint('H(s):')\nsym.pprint(Hs)\nprint('\\n H(s) como fracciones parciales ')\nsym.pprint(Hs_fp)\nprint('\\n H(s) como factores de polos y ceros  ')\nsym.pprint(Hs_fc)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n
exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Fracciones parciales con grados iguales de P y Q<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Lathi ejemplo 4.3b p338, Hsu ejercicio 3.20 p140, Oppenheim ejemplo 9.36 p716<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{2s^2 +5}{s^2 +3s+2}<\/span>\n\n\n\n
Ejemplo Desarrollo anal\u00edtico con el m\u00e9todo de Heaviside para fracciones parciales<\/h3>\n\n\n\n
Se observa que los grados de P y Q son iguales, por lo que se toma como ganancia el coeficiente de mayor grado en el numerador. Se obtiene la ra\u00edz del denominador Q y se reescribe como<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{2s^2+5}{(s+1)(s+2)} = 2 + \\frac{k_1}{s+1} +\\frac{k_2}{s+2}<\/span>\n\n\n k_1 = \\frac{2s^2+5}{\\cancel{(s+1)}(s+2)} \\Bigg|_{s=-1} = \\frac{2(-1)^2+5}{((-1)+2)} = 7<\/span>\n\n\n k_2 = \\frac{2s^2+5}{(s+1)\\cancel{(s+2)}}\\Bigg|_{s=-2} = \\frac{2(-2)^2+5}{((-2)+1)} = -13<\/span>\n\n\n\n
obteniendo:<\/p>\n\n\n H(s) = 2 + \\frac{7}{s+1} -\\frac{13}{s+2}<\/span>\n\n\n\n
El cambio al dominio de tiempo se realiza t\u00e9rmino a t\u00e9rmino usando la tabla de transformadas de Laplace<\/a><\/p>\n\n\n H(t) = 2 \\delta (t) +\\big( 7 e^{-t} -13 e^{-2t} \\big) \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n
Ejemplo Desarrollo con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n
Al algoritmo del ejercicio anterior se modifica solo el bloque de ingreso con las expresiones para numerador y denominador:<\/p>\n\n\n\n
Ps = 2*s**2+5 \nQs = s**2 + 3*s + 2\n\nHs = Ps\/Qs<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que se obtiene el resultado:<\/p>\n\n\n\n
H(s):\n     2      \n  2\u22c5s  + 5  \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n 2          \ns  + 3\u22c5s + 2\n\n H(s) como fracciones parciales \n      13      7  \n2 - \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n    s + 2   s + 1\n\n H(s) como factores de polos y ceros  \n       2       \n    2\u22c5s  + 5   \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n(s + 1)\u22c5(s + 2)\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n
exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
5. Fracciones parciales con ra\u00edces repetidas<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Lathi ejemplo 4.3d p342<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{8s+10}{(s+1)(s+2)^3}<\/span>\n\n\n\n
la forma de la expresi\u00f3n para el algoritmo es<\/p>\n\n\n\n
Ps = 8*s+10\nQs = (s+1)*((s+2)**3)\n\nHs = Ps\/Qs<\/code><\/pre>\n\n\n\n
por lo que el modelo de fracciones parciales es:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{k_1}{s+1}+\\frac{k_2}{(s+2)^3}-\\frac{k_3}{(s+2)^2}-\\frac{k_4}{s+2}<\/span>\n\n\n\n
El desarrollo anal\u00edtico se deja como tarea para comprobar sus resultados con el algoritmo. Use el m\u00e9todo de \"cubrir\" de Heaviside para obtener las fracciones parciales.<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{2}{s+1}+\\frac{6}{(s+2)^3}-\\frac{2}{(s+2)^2}-\\frac{2}{s+2}<\/span>\n\n\n\n
Se usa el ejemplo, para comprobar el algoritmo de las secciones anteriores, obteniendo los resultados siguientes,<\/p>\n\n\n\n
H(s):\n    8\u22c5s + 10    \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n               3\n(s + 1)\u22c5(s + 2) \n\n H(s) como fracciones parciales \n    2        2          6         2  \n- \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 - \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  s + 2          2          3   s + 1\n          (s + 2)    (s + 2)         \n\n H(s) como factores de polos y ceros  \n  2\u22c5(4\u22c5s + 5)   \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n               3\n(s + 1)\u22c5(s + 2) \n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n
exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
6. H(s) con Fracciones parciales y polos de tipo complejo<\/h2>\n\n\n\n
Referencia<\/strong>: Lathi ejemplo 4.3c p340<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{6(s+34)}{s(s^2+10s+34)}<\/span>\n\n\n\n
la forma de la expresi\u00f3n para el algoritmo es<\/p>\n\n\n\n
Ps = 6*(s+34)\nQs = s*(s**2+10*s+34)\n\nHs = Ps\/Qs<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Ejemplo Desarrollo anal\u00edtico<\/h3>\n\n\n\n
Se simplifica la expresi\u00f3n de H(s) usando las ra\u00edces reales en las fracciones parciales de la forma:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{6(s+34)}{s(s^2+10s+34)} = \\frac{k_1}{s} + \\frac{As+B}{s^2+10s+34}<\/span>\n\n\n\n
usando el m\u00e9todo de Heaviside, se obtiene k1<\/sub><\/p>\n\n\n k_1 = \\frac{6(s+34)}{\\cancel{s}(s^2+10s+34)}\\Big|_{s=0} =\\frac{6(0+34)}{(0^2+10(0)+34)} = \\frac{6(34)}{34}=6<\/span>\n\n\n \\frac{6(s+34)}{s(s^2+10s+34)} = \\frac{6}{s} + \\frac{As+B}{s^2+10s+34}<\/span>\n\n\n\n
se simplifican las fracciones al multiplicar ambos lados por s(s2<\/sup>+10s+34)<\/p>\n\n\n 6(s+34) = 6(s^2+10s+34) + (As+B)s <\/span>\n\n\n 6s+204 = 6s^2+60s+204 + A s^2+Bs<\/span>\n\n\n 6s+204 = (6+A)s^2+(60+B)s+204<\/span>\n\n\n\n
Se puede observar que 6+A=0, por lo que A=-6.
Tambi\u00e9n se tiene que 60+B=6, por lo que B=-54
quedando la expresi\u00f3n como:<\/p>\n\n\n H(s) = \\frac{6}{s} + \\frac{-6s-54}{s^2+10s+34}<\/span>\n\n\n\n
Observando la tabla de transformadas de Laplace<\/a> se compara la expresi\u00f3n con las filas 12c y 12d se usan los par\u00e1metros de:<\/p>\n\n\n \\frac{As+B}{s^2+2as+c}<\/span>\n\n\n\n
A= -6, B=-64, a=5, c = 34
y se calculan:<\/p>\n\n\n b = \\sqrt{c-a^2} = \\sqrt{34-(5)^2} = 3 <\/span>\n\n\n r = \\sqrt{\\frac{A^2 c +B^2 -2ABa}{c-a^2}}<\/span>\n\n\n r = \\sqrt{\\frac{(-6)^2 (34) +(-64)^2 -2(-6)(-64)(5)}{(34)-(5)^2}}=10<\/span>\n\n\n \\theta = \\tan ^{-1} \\Bigg( \\frac{(-6)(5)-(-64)}{(-6)\\sqrt{34-(5)^2}} \\Bigg) = -0.9272<\/span>\n\n\n\n
con lo que se puede escribir la transformada inversa de Laplace para h(t) como<\/p>\n\n\n h(t) = [6+10e^{-5t}\\cos (3t--0.9272)] \\mu (t)<\/span>\n\n\n\n
o la otra forma de expresi\u00f3n usando la fila 12d de la tabla<\/p>\n\n\n\n
Ejemplo Desarrollo con Sympy-Python<\/h3>\n\n\n\n
Incorporando las instrucciones para identificar si el denominador tiene ra\u00edces complejas, se asignan los valores de los par\u00e1metros necesarios en un diccionario de variables, obteniendo como resultado,<\/p>\n\n\n\n
H(s):\n    6\u22c5s + 204     \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  \u239b 2            \u239e\ns\u22c5\u239ds  + 10\u22c5s + 34\u23a0\n\n H(s) como fracciones parciales \n    6\u22c5(s + 9)      6\n- \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\n   2               s\n  s  + 10\u22c5s + 34    \n\n H(s) como factores de polos y ceros  \n    6\u22c5(s + 34)    \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n  \u239b 2            \u239e\ns\u22c5\u239ds  + 10\u22c5s + 34\u23a0\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n
exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
7. Con suma de t\u00e9rminos y exponenciales de retraso en tiempo<\/h2>\n\n\n H(s) = \\frac{s+2}{s-1}+ \\frac{e^{-2s}}{s-2} <\/span>\n\n\n\n
la expresi\u00f3n para el algoritmo se escribe como:<\/p>\n\n\n\n
Hs = ((s+2)\/(s-1)) + sym.exp(-2*s)\/(s-2)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para el segundo t\u00e9rmino que tiene un exponencial, no se puede aplicar directamente la instrucci\u00f3n sym.apart(Hs,s)<\/code> al no ser reconocida como tipo polinomio. Para continuar se debe separar el t\u00e9rmino sym.exp()<\/code> del resto de la expresi\u00f3n, y se podr\u00e1 aplicar fracciones parciales a esa parte, para luego volver a poner el t\u00e9rmino.<\/p>\n\n\n\n
Para facilitar el desarrollo del algoritmo, se recomienda empezar a analizar una expresi\u00f3n mas simple, como solamente el segundo t\u00e9rmino de la suma.<\/p>\n\n\n\n
Implementando una funci\u00f3n para tratar este asunto en la parte de fracciones parciales y en el c\u00e1lculo de polos, se obtiene el resultado,<\/p>\n\n\n\n
H(s):\n         -2*s\ns + 2   e    \n----- + -----\ns - 1   s - 2\n\n H(s) en fracciones parciales \n             -2*s\n      3     e    \n1 + ----- + -----\n    s - 1   s - 2<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Al aplicar fracciones parciales se tendr\u00e1n t\u00e9rminos m\u00e1s simples para obtener la Transformada Inversa de Laplace. Separando los t\u00e9rminos con e(-as)<\/sup>y aplicando fracci\u00f3n parcial al resultado se multiplica por el exponencial. Se deber\u00e1 recordar estas operaciones realizadas cuando se calculan los polos de la expresi\u00f3n donde se agrupan los t\u00e9rminos.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n
exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
8. Algoritmo - Fracciones Parciales para F(s) con exponencial s o retraso en tiempo<\/h2>\n\n\n\n
Se crea una funci\u00f3n para realizar las fracciones parciales agrupadas por t\u00e9rminos exp(-as)<\/sup> y aplicar a esta expresi\u00f3n separada en factores de suma la transformada de Laplace desde la tabla.<\/p>\n\n\n X(s) = \\frac{s+2}{s-1} + \\frac{e^{-2s}}{s-2} <\/span>\n\n\n\n
Fs = ((s+2)\/(s-1)) + sym.exp(-2*s)\/(s-2)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se aplica a la expresi\u00f3n sin sym.exp()<\/p>\n\n\n X(s) = 1+\\frac{3}{s-1} + \\frac{e^{-2s}}{s-2} <\/span>\n\n\n\n
 F(s): \n         -2\u22c5s\ns + 2   \u212f    \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\ns - 1   s - 2\n\n H(s) como fracciones parciales \n             -2\u22c5s\n      3     \u212f    \n1 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\n    s - 1   s - 2\n\n H(s) como factores de polos y ceros  \n         -2\u22c5s\ns + 2   \u212f    \n\u2500\u2500\u2500\u2500\u2500 + \u2500\u2500\u2500\u2500\u2500\ns - 1   s - 2\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# Fracciones parciales separadas por sym.exp(-a*s)\n# Factores de polos y ceros separados por sym.exp(-a*s)\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nt = sym.Symbol('t', real=True)\ns = sym.Symbol('s')\n\nFs = ((s+2)\/(s-1)) + sym.exp(-2*s)\/(s-2)\n#Fs = (1\/s)*(1-sym.exp(-2*s))\n \n#Hs = sym.exp(s)\/s - 2*sym.exp(-s)\/s + sym.exp(-3*s)\/s\n#Xs = 2*sym.exp(-s)\/s - 2*sym.exp(-3*s)\/s\n#Fs = Hs*Xs\n \n#Fs = -sym.exp(-5*s - 10)\/(3*s + 6) + 4\/(3*s + 6)\n\n#Fs = ((s+2)\/(s-1)) + sym.exp(-2*s)\/(s-2)\n\n#Ps = 6*(s+34)\n#Qs = s*(s**2+10*s+34)\n#Fs = Ps\/Qs\n\n#Fs = (2*s**2+5)\/(s**2+3*s+2)\n#Fs = (2*s+4)\/(s**2+4*s+3)\n\n# PROCEDIMIENTO\ndef apart_s(Fs):\n    '''expande Fs en fracciones parciales\n       considera t\u00e9rminos con sym.exp multiplicados\n    '''\n    # convierte a Sympy si es solo constante\n    Fs = sym.sympify(Fs)\n    \n    # simplifica operaci\u00f3n H(s)*x(s)\n    Fs = sym.expand_power_exp(Fs)\n    Fs = sym.expand(Fs, powe_exp=False)\n    # reagrupa Fs\n    term_sum = sym.Add.make_args(Fs)\n    Fs_0 = 0*s\n    for term_k in term_sum:\n        term_k = sym.simplify(term_k)\n        term_k = sym.expand_power_exp(term_k)\n        Fs_0 = Fs_0 + term_k\n    \n    # tabula sym.exp(-s) en lista_exp\n    lista_exp = list(Fs_0.atoms(sym.exp(-s)))\n    if len(lista_exp)>0: # elimina constantes\n        for k in lista_exp:\n            if not(k.has(s)): # es constante\n                lista_exp.remove(k)\n\n    # separados por lista_exp\n    separados = sym.collect(Fs_0,lista_exp,evaluate=False)\n    \n    # fracciones parciales\n    Fs_fp = 0\n    for k in separados:\n        Fs_k = sym.apart(separados[k],s)\n        Fs_fp = Fs_fp + k*Fs_k\n    return(Fs_fp)\n\ndef factor_exp(Fs):\n    '''expande Fs en factores por sym.exp(-a*s)\n       considera t\u00e9rminos con sym.exp multiplicados\n    '''\n    # convierte a Sympy si es solo constante\n    Fs = sym.sympify(Fs)\n    \n    # simplifica operaci\u00f3n H(s)*x(s)\n    Fs = sym.expand_power_exp(Fs)\n    Fs = sym.expand(Fs, powe_exp=False)\n    # reagrupa Fs\n    term_sum = sym.Add.make_args(Fs)\n    Fs_0 = 0*s\n    for term_k in term_sum:\n        term_k = sym.simplify(term_k)\n        term_k = sym.expand_power_exp(term_k)\n        Fs_0 = Fs_0 + term_k\n    \n    # tabula sym.exp(-s) en lista_exp\n    lista_exp = list(Fs_0.atoms(sym.exp(-s)))\n    if len(lista_exp)>0: # elimina constantes\n        for k in lista_exp:\n            if not(k.has(s)): # es constante\n                lista_exp.remove(k)\n\n    # separados por lista_exp\n    separados = sym.collect(Fs_0,lista_exp,evaluate=False)\n    \n    # factores por lista_exp\n    Fs_fc = 0\n    for k in separados:\n        Fs_k = sym.factor(separados[k],s)\n        Fs_fc = Fs_fc + k*Fs_k\n    \n    return(Fs_fc)\n\nFs_fp = apart_s(Fs)\nFs_fc = factor_exp(Fs)\n\n# SALIDA\nprint('\\n F(s): ')\nsym.pprint(Fs)\nprint('\\n H(s) como fracciones parciales ')\nsym.pprint(Fs_fp)\nprint('\\n H(s) como factores de polos y ceros  ')\nsym.pprint(Fs_fc)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
H(s)<\/a><\/p>\n\n\n\n
fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales no repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
grados iguales P y Q<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos reales repetidos<\/a><\/p>\n\n\n\n
polos complejos<\/a><\/p>\n\n\n\n
exponencial s \/retraso t<\/a><\/p>\n\n\n\n
algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
H(s) fracciones parciales polos reales no repetidos grados iguales P y Q polos reales repetidos polos complejos exponencial s \/retraso t algoritmo 1. H(s) - Funci\u00f3n de transferencia Referencia: Kuo 3.2.2 p78 La funci\u00f3n de transferencia de un sistema lineal invariante con el tiempo se define como la transformada de Laplace de la respuesta al […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[174],"tags":[],"class_list":["post-4858","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-u04"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4858","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4858"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4858\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":24015,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4858\/revisions\/24015"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4858"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4858"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4858"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}