Varianza de variables aleatorias cont\u00ednuas<\/h3>\n\n\n\n
el n-\u00e9simo momento, n\u22651 de una variable aleatoria X se define como E[Xn<\/sup>].<\/p>\n\n\n\n en el caso continuo.<\/p>\n\n\n E[X^n] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^n f(x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n El primer momento es la media, E[X].<\/p>\n\n\n\n La varianza \u03c32<\/sup> de X se define como:<\/p>\n\n\n \\text{VAR}[X] = E[(X-E[X])^2] <\/span>\n\n\n\n La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviaci\u00f3n de X del valor esperado.<\/p>\n\n\n\n Algunas propiedades de la varianza, siendo c una constante:<\/p>\n\n\n \\text{VAR}[c]=0 <\/span>\n\n\n \\text{VAR}[X + c] = \\text{VAR}[X] <\/span>\n\n\n \\text{VAR}[cX] = c^2 \\text{VAR}[X] <\/span>\n\n\n\n Encuentre la media y varianza de una variable aleatoria con funci\u00f3n de densidad de probabilidad pdf tipo exponencial e\u03bb<\/sup>:<\/p>\n\n\n\n Soluci\u00f3n<\/em>: dado que VAR[X]= E[x2<\/sup>] - (E[X])2<\/sup>, se calculan los dos momentos de X:<\/p>\n\n\n E[X^n] = \\int_{0}^{\\infty} x^{n} \\lambda e^{-\\lambda x} \\delta x <\/span>\n\n\n\n con cambio de variable y=\u03bbx, dy = \u03bbdx se tiene que:<\/p>\n\n\n E[X^n] = \\int_{0}^{\\infty} \\big( \\frac{y}{\\lambda} \\big) ^{n} e^{-y} \\delta y <\/span>\n\n\n = \\frac{1}{\\lambda ^n }\\int_{0}^{\\infty} y^{n} e^{-y} \\delta y <\/span>\n\n\n\n si u=yn<\/sup> y dv=e-y<\/sup> dx, entonces du=nyn-1<\/sup> dx, v = -e-y<\/sup>, la varianza ser\u00e1:<\/p>\n\n\n \\text{VAR}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \\frac{2}{\\lambda ^2} - \\big(\\frac{1}{\\lambda}\\big)^2 = \\frac{1}{\\lambda ^2} <\/span>\n\n\n\n Referencia<\/em><\/strong>: Ross 2.4.3 p41, Gubner 2.4 p84, Le\u00f3n-Garc\u00eda 4.3.2 p 160<\/p>\n\n\n\n el n-\u00e9simo momento, n\u22651 de una variable aleatoria X se define como E[Xn<\/sup>].<\/p>\n\n\n\n en el caso discreto:<\/p>\n\n\n E[X^n] = \\sum_{x:p(x)>0} x^n p(x) <\/span>\n\n\n\n en el caso continuo.<\/p>\n\n\n E[X^n] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x^n f(x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n El primer momento es la media, E[X].<\/p>\n\n\n\n La varianza \u03c32<\/sup> de X se define como:<\/p>\n\n\n var(X) = E[(X-E[X])^2] <\/span>\n\n\n\n La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviaci\u00f3n de X del valor esperado.<\/p>\n\n\n\n Sea X y Y variables aleatorias con sus respectivas funciones de probabilidad de masa, pmf, mostradas en la figura. Calcule var(X) y var(Y)<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n soluci\u00f3n: por simetr\u00eda, ambas variables tienen media cero, la varianza ser\u00e1:<\/em><\/em><\/p>\n\n\n var(X)= E[(x-E[x])^2] = E[(x-0)^2] = E[x^2] <\/span>\n\n\n E[X^2] = (-2)^2 \\frac{1}{6} + (-1)^2 \\frac{1}{3} +(1)^2 \\frac{1}{3} +(2)^2 \\frac{1}{6} =2 <\/span>\n\n\n var(Y)= E[(Y-E[Y])^2] = E[(Y-0)^2] = E[Y^2] <\/span>\n\n\n E[Y^2] = (-2)^2 \\frac{1}{3} + (-1)^2 \\frac{1}{6} +(1)^2 \\frac{1}{6} +(2)^2 \\frac{1}{3} =3 <\/span>\n\n\n\n X y Y tienen media cero, pero Y tomar\u00e1 valores mas lejanos de su media, dado que var(Y)>var(X).<\/p>\n\n\n\n cuando una variable aleatoria tiene media diferente de cero, puede ser conveniente usar tambi\u00e9n la f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n var(X) = E[X^2]-(E[x])^2 <\/span>\n\n\n\n que indica que la varianza es igual al segundo momento menos el cuadrado del primer momento. Como tarea encuentre la f\u00f3rmula al reemplazar m=E[X] y desarrollando el cuadrado.<\/p>\n\n\n\n La desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de X se define como el valor positivo de la ra\u00edz cuadrada de la varianza, y se usa el s\u00edmbolo \u03c3<\/p>\n\n\n\n Un sistema de comunicaci\u00f3n \u00f3ptico usa un fotodetector cuya salida es modelada como una variable aleatoria X tipo Poisson(\u03bb). Encuentre la varianza de X<\/p>\n\n\n\n Soluci\u00f3n:<\/em><\/p>\n\n\n P(X)= \\frac{\\lambda ^x e^{-\\lambda}}{x!} <\/span>\n\n\n E[x] = \\sum_{n=0}^{\\infty} n P(X=n) <\/span>\n\n\n = \\sum_{n=0}^{\\infty} n \\frac{\\lambda ^n e^{-\\lambda}}{n!} <\/span>\n\n\n\n dado que el t\u00e9rmino n=0 se puede descartar:<\/p>\n\n\n = \\sum_{n=1}^{\\infty} n \\frac{\\lambda ^n e^{-\\lambda}}{n!} = \\sum_{n=1}^{\\infty} n\\frac{\\lambda ^n e^{-\\lambda}}{n(n-1)!} <\/span>\n\n\n = \\lambda e^{-\\lambda} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\lambda ^{n-1} }{(n-1)!} <\/span>\n\n\n\n cambiando el indice de la suma de n a k=n-1, se tiene que:<\/p>\n\n\n \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{\\lambda ^{k} }{k!} = e^{\\lambda} <\/span>\n\n\n E[X]=\\lambda e^{-\\lambda} \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{\\lambda ^{k} }{k!} = \\lambda e^{-\\lambda} e^{\\lambda} = \\lambda <\/span>\n\n\n\n Observe que: E[x2<\/sup>] = E[X(X-1)]+E[X].<\/p>\n\n\n\n Dado que E[X]=\u03bb se calcula que:<\/p>\n\n\n E[X(X-1)] = \\sum_{n=0}^{\\infty} n(n-1) P(X=n) <\/span>\n\n\n = \\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{\\lambda ^n e^{-\\lambda}}{(n-2)!} = \\lambda ^2 e^{-\\lambda} \\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{\\lambda ^{n-2}}{(n-2)!} <\/span>\n\n\n\n se tiene nuevamente que, k=n-2:<\/p>\n\n\n E[X(X-1)] = \\lambda ^2 e^{-\\lambda} \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{\\lambda ^{k}}{k!} = \\lambda ^2 <\/span>\n\n\n\n con lo que E[X2<\/sup>] = \u03bb2<\/sup> + \u03bb<\/p>\n\n\n var(X) = E[X^2] - (E[x])^2 = (\\lambda ^2 + \\lambda) - \\lambda ^2 = \\lambda <\/span>\n\n\n\n La variable aleatoria Poisson tiene los valores de media y varianza iguales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" 1. Varianza v.a. Continuas Referencia: Ross 2.4.3 p43, Gubner 2.4 p84,p150, Le\u00f3n-Garc\u00eda 4.3.2 p 160 Varianza de variables aleatorias cont\u00ednuas el n-\u00e9simo momento, n\u22651 de una variable aleatoria X se define como E[Xn]. en el caso continuo. El primer momento es la media, E[X]. 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\n\n\n\nEjemplo<\/h3>\n\n\n\n
para n=1 el resultado es 1, para n=2 el resultado es 2x1, y para n=3 el resultado es 3x2x1, por lo que el resultado general es n!<\/p>\n\n\n E[X^n] = \\frac{n!}{\\lambda ^n } <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Varianza v.a. Discretas<\/h2>\n\n\n\n
Varianza de variables aleatorias discretas<\/h3>\n\n\n\n
\n\n\n\nEjemplo Gubner 2.27.<\/h2>\n\n\n\n
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<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\nEjemplo Ross 2.29<\/h2>\n\n\n\n