{"id":5120,"date":"2018-04-07T10:09:59","date_gmt":"2018-04-07T15:09:59","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=5120"},"modified":"2026-04-05T21:34:07","modified_gmt":"2026-04-06T02:34:07","slug":"s3eva2016ti_t3-lti-ct-circuito-rl-respuesta-de-frecuencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-s3eva\/s3eva2016ti_t3-lti-ct-circuito-rl-respuesta-de-frecuencia\/","title":{"rendered":"s3Eva2016TI_T3 LTI CT Circuito RL respuesta de frecuencia"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 3Eva2016TI_T3 LTI CT Circuito RL respuesta de frecuencia<\/a><\/p>\n\n\n\n

a. Determinar su funci\u00f3n de transferencia<\/p>\n\n\n\n

\"3E2016TI<\/figure>\n\n\n\n

voltaje en la entrada,<\/p>\n\n\n v_1(t) = v_R(t) + v_L(t) <\/span>\n\n\n v_1(t) = R i(t) + v_L(t) <\/span>\n\n\n\n

voltaje en la salida,
v_2(t) = L \\frac{\\delta}{\\delta t}i(t) <\/span><\/p>\n\n\n i(t) = \\frac{1}{L} \\int_{-\\infty}^{t}v_2(\\tau) \\delta \\tau <\/span>\n\n\n\n

sustituyendo i(t)en la ecuacion de v1<\/sub><\/p>\n\n\n v_1(t) = R \\frac{1}{L} \\int_{-\\infty}^{t}v_2(\\tau) \\delta \\tau + v_L(t) <\/span>\n\n\n\n

usando un solo operador, el diferencial,<\/p>\n\n\n \\frac{\\delta}{\\delta t} v_1(t) = \\frac{R}{L} v_2(t) + \\frac{\\delta}{\\delta t} v_2(t) <\/span>\n\n\n\n

cambiando al dominio de frecuencia \u03c9<\/p>\n\n\n j\\omega V_1(\\omega) = \\frac{R}{L} V_2(\\omega) + j\\omega V_2(\\omega) <\/span>\n\n\n j\\omega L V_1(\\omega) = R V_2(\\omega) + j\\omega L V_2(\\omega) <\/span>\n\n\n j\\omega L V_1(\\omega) = V_2(\\omega)\\Big( R + j\\omega L \\Big) <\/span>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{V_2(\\omega)}{V_1(\\omega)} = \\frac{j\\omega L}{ R + j\\omega L } <\/span>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{j\\omega \\frac{L}{R}}{ 1 + j\\omega \\frac{L}{R} } <\/span>\n\n\n\n

usando los valores del circuito<\/p>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{j\\omega 0.2}{ 10 + j\\omega 0.2 } <\/span>\n\n\n H(\\omega) = \\frac{j\\omega}{50 + j\\omega } <\/span>\n\n\n |H(\\omega)| = \\frac{|\\omega|}{\\sqrt{ 50^2 + \\omega^2} } <\/span>\n\n\n \\theta_{H(\\omega)} = \\frac{\\pi}{2} - \\arctan \\Big( \\frac{\\omega}{50}\\Big) <\/span>\n\n\n \\omega_0 = \\frac{R}{L} = \\frac{10}{0.2} = 50 rad\/s<\/span>\n\n\n\n

b. Determinar, esquematizar y etiquetar su respuesta de frecuencia, indicando a que tipo de filtro no ideal de frecuencias selectivas se podr\u00eda asociar su comportamiento.<\/p>\n\n\n\n

tarea...<\/p>\n\n\n\n

c. Obtener la respuesta impulso h(t) que representa al circuito el\u00e9ctrico.<\/p>\n\n\n h(t) = \\mathscr{F} ^{-1} \\Big[ H(\\omega) \\Big] <\/span>\n\n\n = \\mathscr{F} ^{-1} \\Big[ \\frac{j\\omega}{50 + j\\omega } \\Big] <\/span>\n\n\n\n

separando en fracciones parciales y usando la tabla de transformadas de Fourier<\/a>:<\/p>\n\n\n = \\mathscr{F} ^{-1} \\Big[ 1-\\frac{50}{50 + j\\omega } \\Big] <\/span>\n\n\n h(t) = \\delta (t) - 50 e^{-50t} \\mu (t) <\/span>\n\n\n\n

d. Determinar la respuesta v2<\/sub>(t) que se obtiene a la salida de dicho sistema cuando tiene una entrada v1<\/sub>(t) = sen 50t [V].
\u00bfQu\u00e9 puede decir acerca de si el sistema transmite con distorsi\u00f3n o sin distorsi\u00f3n? Justifique su respuesta de manera razonada.<\/p>\n\n\n V_1(\\omega) = \\mathscr{F} \\Big[ v_1(t)\\Big] = \\mathscr{F} \\Big[ \\sin (50t) \\Big] <\/span>\n\n\n = j\\pi \\delta (\\omega+50) - j\\pi \\delta (\\omega-50) <\/span>\n\n\n V_2(\\omega) = V_1(\\omega) H(\\omega) <\/span>\n\n\n V_2(\\omega) =\\Big( j\\pi \\delta (\\omega+50) - j\\pi \\delta (\\omega-50) \\Big) \\Big( \\frac{j\\omega}{50 + j\\omega } \\Big) <\/span>\n\n\n =j^2\\pi \\Big( \\delta (\\omega+50) \\frac{\\omega}{50 + j\\omega } - \\delta (\\omega-50) \\frac{\\omega}{50 + j\\omega }\\Big) <\/span>\n\n\n = (-1)\\pi \\Big( \\delta (\\omega+50) \\frac{\\omega}{50 + j\\omega }- \\delta (\\omega-50) \\frac{\\omega}{50 + j\\omega }\\Big) <\/span>\n\n\n\n

Los t\u00e9rminos con impulso desplazados tienen magnitud solo en las posiciones donde el impulso tiene valor 1. En este caso es con \u03c9=\u00b150<\/p>\n\n\n V_2(\\omega) =\\pi \\Big( \\delta (\\omega+50) \\frac{(-1)(-50)}{50 - j50 } - \\delta (\\omega-50) \\frac{(-1)50}{50 + j50}\\Big) <\/span>\n\n\n\n

dividiendo el numerador y denominador para 50 se simplifica a<\/p>\n\n\n =\\pi \\Big( \\delta (\\omega+50) \\frac{1}{1 - j1 } + \\delta (\\omega-50) \\frac{1}{1 + j1}\\Big) <\/span>\n\n\n\n

multiplicando el primer coeficiente por 1+j y el segundo coeficiente por 1-j, se convierte el denominador en un n\u00famero real.<\/p>\n\n\n =\\pi \\Big( \\delta (\\omega+50) \\frac{1(1+j)}{(1 - j1) (1+j)} + \\delta (\\omega-50) \\frac{1(1-j)}{(1 + j1)(1-j)}\\Big) <\/span>\n\n\n =\\pi \\Big( \\delta (\\omega+50) \\frac{1+j}{2} + \\delta (\\omega-50) \\frac{1-j}{2}\\Big) <\/span>\n\n\n =\\frac{\\pi}{2} \\Big( \\delta (\\omega+50)+j\\delta (\\omega+50) + \\delta (\\omega-50) - j\\delta (\\omega-50) \\Big) <\/span>\n\n\n V_2(\\omega) =\\frac{\\pi}{2} \\Big( \\delta (\\omega+50) + \\delta (\\omega-50)\\Big) + j\\frac{\\pi}{2} \\Big(\\delta (\\omega+50)- \\delta (\\omega-50) \\Big) <\/span>\n\n\n\n

obteniendo v2<\/sub>(t) en el dominio de tiempo,<\/p>\n\n\n v_2(t) = \\mathscr{F}^{-1} \\Big[V_2(\\omega) \\Big] <\/span>\n\n\n =\\frac{1}{2} \\mathscr{F}^{-1} \\Bigg[ \\pi \\Big(\\delta (\\omega+50) + \\delta (\\omega-50) \\Big )\\Bigg] + <\/span>\n\n\n +\\frac{1}{2} \\mathscr{F}^{-1} \\Bigg[ j\\pi \\Big(\\delta (\\omega+50) + \\delta (\\omega-50) \\Big )\\Bigg] <\/span>\n\n\n v_2(t) =\\frac{1}{2} \\cos(50t) + \\frac{1}{2} \\sin(50t) <\/span>\n\n\n\n

por magnitud y fase, simplificaci\u00f3n trigonom\u00e9trica<\/p>\n\n\n v_2(t) =\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\sin\\Big(50t+\\frac{\\pi}{4}\\Big) <\/span>\n\n\n\n

tambi\u00e9n con Sympy,<\/p>\n\n\n\n

>>> v2=(1\/2)*sym.cos(50*t)+(1\/2)*sym.sin(50*t)\n>>> sym.trigsimp(v2)\n0.5*sqrt(2)*sin(50*t + pi\/4)\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
el resultado es concordante con lo que realiza la funci\u00f3n de transferencia, respuesta al impulso H(\u03c9) en \u03c9=50<\/p>\n\n\n |H(\\omega)| = \\frac{|\\omega|}{\\sqrt{ 50^2 + \\omega^2} } <\/span>\n\n\n = \\frac{|50|}{\\sqrt{ 50^2 + 50^2} } = \\frac{|50|}{\\sqrt{ 2(50^2)} } = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}<\/span>\n\n\n \\theta_{H(\\omega)} = \\frac{\\pi}{2} - \\arctan \\Big( \\frac{\\omega}{50}\\Big) <\/span>\n\n\n = \\frac{\\pi}{2} - \\arctan \\Big( \\frac{50}{50}\\Big) = \\frac{\\pi}{2}-\\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\pi}{4}<\/span>\n\n\n\n
considerando tambi\u00e9n que:<\/p>\n\n\n \\omega_0 = \\frac{R}{L} = \\frac{10}{0.2} = 50 rad\/s<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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