{"id":522,"date":"2017-04-01T09:00:00","date_gmt":"2017-04-01T14:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/?p=522"},"modified":"2026-02-14T05:12:08","modified_gmt":"2026-02-14T10:12:08","slug":"sistema-modelo-entrada-salida","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-u03\/sistema-modelo-entrada-salida\/","title":{"rendered":"3.1 LTI CT - Modelo entrada-salida para circuitos RLC y ecuaciones diferenciales"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Entrada-Salida<\/a><\/p>\n\n\n\n

RLC\/ec diferencial<\/a><\/p>\n\n\n\n

notaci\u00f3n D<\/a><\/p>\n\n\n\n

RC\/ec_diferencial<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Modelo Entrada-Salida<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 1.8 p111, Schaum\/Hsu 2.5.B p60, Oppenheim 2.56.d p160, p700<\/p>\n\n\n\n

La descripci\u00f3n de un sistema en t\u00e9rminos de las mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida.<\/p>\n\n\n\n

\"Sistema<\/figure>\n\n\n\n

Una forma es describir la relaci\u00f3n entre salida\/entrada se expresa usando operadores de diferenciaci\u00f3n D:<\/p>\n\n\n \\frac{y(t)}{x(t)} = \\frac{P(D)}{Q(D)} <\/span>\n\n\n\n

La respuesta de un sistema lineal<\/strong><\/a> puede tambi\u00e9n ser expresada como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero<\/strong> ZIR y respuesta a estado cero ZSR<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Respuesta
total<\/strong><\/mark><\/td>		=<\/strong><\/td>respuesta a
entrada cero<\/strong> ZIR<\/mark><\/td>		+<\/strong><\/td>respuesta a
estado cero<\/strong> ZSR<\/mark><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\"Sistema<\/figure>\n\n\n\n

Para el caso de un circuito el\u00e9ctrico RLC, el modelo inicia con la descripci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial lineal que relaciona el voltaje x(t) de entrada y la corriente de salida y(t).<\/a><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Entrada-Salida<\/a><\/p>\n\n\n\n

RLC\/ec diferencial<\/a><\/p>\n\n\n\n

notaci\u00f3n D<\/a><\/p>\n\n\n\n

RC\/ec_diferencial<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Corriente en circuito RLC y Ecuaciones Diferenciales Lineales de 2do orden<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi 1.8-1 p111. Oppenheim problema 2.61c p164 Ejemplo 9.24 p700<\/p>\n\n\n\n

\"FIEC05058<\/figure>\n\n\n\n

Para el ejemplo, se plantea determinar la corriente<\/strong><\/em> de lazo y(t) del circuito mostrado en la imagen. <\/p>\n\n\n\n

Usando la ley de voltajes en lazo se tiene que:<\/p>\n\n\n\n

vL<\/sub>(t) + vR<\/sub>(t) +vC<\/sub>(t) = x(t)<\/p>\n\n\n\n

que con las leyes de corriente para cada elemento (inductor, resistor y capacitor) se traducen en la ecuaci\u00f3n integro-diferencial:<\/p>\n\n\n \\frac{dy(t)}{dt} +3 y(t) + 2\\int_{-\\infty}^t y(\\tau)d\\tau = x(t) <\/span>\n\n\n\n

Para tener todo expresado con un solo operador, se derivan ambos lados de la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = \\frac{dx(t)}{dt} <\/span>\n\n\n\n

que es la relaci\u00f3n de \"entrada-salida\"<\/strong> del sistema con la entrada x(t) y la salida y(t) que permitir\u00e1 analizar el sistema que representa al circuito.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Entrada-Salida<\/a><\/p>\n\n\n\n

RLC\/ec diferencial<\/a><\/p>\n\n\n\n

notaci\u00f3n D<\/a><\/p>\n\n\n\n

RC\/ec_diferencial<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

3. Notaci\u00f3n D para derivadas y 1\/D para integrales<\/h2>\n\n\n\n

Por conveniencia, para usar una notaci\u00f3n m\u00e1s compacta de la ecuaci\u00f3n diferencial, el operador dy\/dt<\/strong> se cambia por la notaci\u00f3n D<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\n
\n \\frac{d}{dt}y(t) = Dy(t) <\/span>\n<\/div>\n\n\n\n
\n

\\frac{d^2}{dt^2} y(t) = D^{2}y(t) <\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Que convierte la ecuaci\u00f3n de entrada-salida a la expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 3\\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = \\frac{dx(t)}{dt} <\/span>\n\n\n (D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t) <\/span>\n\n\n\n

que es id\u00e9ntica a la expresi\u00f3n de entrada y salida que describe al circuito.<\/p>\n\n\n\n

El operador diferencial D tambi\u00e9n se interpreta con la notaci\u00f3n para integrales,<\/p>\n\n\n \\int_{-\\infty}^t y(\\tau)d\\tau = \\frac{1}{D}y(t) <\/span>\n\n\n\n

por lo que la expresi\u00f3n integro-diferencial del circuito,<\/p>\n\n\n \\frac{d}{dt}y(t) +3 y(t) + 2\\int_{-\\infty}^t y(\\tau)d\\tau = x(t) <\/span>\n\n\n\n

tambi\u00e9n se puede escribir en notaci\u00f3n D<\/strong> como:<\/p>\n\n\n D y(t) + 3 y(t)+ \\frac{2}{D} y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n\n

Al multiplicar ambos lados por el operador D<\/strong> se convierte nuevamente en una expresi\u00f3n sin denominadores D<\/strong>, semejante a la expresi\u00f3n que usa solo diferenciales.<\/p>\n\n\n \\Big( D^2 + 3D + 2 \\Big) y(t) = D x(t) <\/span>\n\n\n\n

Recuerde<\/strong><\/em>: la expresi\u00f3n con operadores D, <\/strong>NO ES una ecuaci\u00f3n algebraica, pues la expresi\u00f3n de operadores D<\/strong> aplican solo a y<\/strong>(t).<\/p>\n\n\n\n

En adelante, para el sistema o circuito descrito por ecuaciones diferenciales se usa el operador D=\\frac{d}{dt}<\/span>, por ejemplo:<\/p>\n\n\n a_2 \\frac{d^2}{dt^2}y(t) + a_1 \\frac{d}{dt}y(t) + a_0 y(t) = b_1\\frac{d}{dt}x(t) + b_0x(t) <\/span>\n\n\n a_2 D^ 2y(t) + a_1 Dy(t) + a_0y(t) = b_1Dx(t) + b_0 x(t) <\/span>\n\n\n (a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0)y(t) = (b_1D + b_0 )x(t) <\/span>\n\n\n\n

las expresiones de los operadores D de cada lado se conocen tambi\u00e9n como P(D) y Q(D)<\/p>\n\n\n Q(D) y(t) = P(D) x(t) <\/span>\n\n\n P(D) = b_1D + b_0 <\/span>\n\n\n Q(D) = a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0 <\/span>\n\n\n\n

La relaci\u00f3n de salida\/entrada del sistema se expresa como:<\/p>\n\n\n \\frac{y(t)}{x(t)} = \\frac{b_1D + b_0}{a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0} <\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Entrada-Salida<\/a><\/p>\n\n\n\n

RLC\/ec diferencial<\/a><\/p>\n\n\n\n

notaci\u00f3n D<\/a><\/p>\n\n\n\n

RC\/ec_diferencial<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

4. Voltaje de un Circuito RC como una Ecuaci\u00f3n Diferencial Lineal de 1er Orden<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/strong><\/em>: Lathi Ejemplo 1.17 p113.<\/p>\n\n\n\n

Usando la notaci\u00f3n del operador D<\/strong>, encuentre la relaci\u00f3n de salida\/entrada para el circuito RC.  Para \u00e9sto defina i(t) como la corriente<\/strong> del circuito y como y(t) el voltaje del capacitor<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"Sistemas<\/figure>\n\n\n\n

La corriente<\/strong> del lazo i(t) del circuito:<\/p>\n\n\n R i(t) +\\frac{1}{C} \\int_{-\\infty}^{t} i(\\tau) \\delta \\tau = x(t) <\/span>\n\n\n\n

cambiando al operador D<\/p>\n\n\n R i(t) +\\frac{1}{C} \\frac{1}{D} i(t) = x(t) <\/span>\n\n\n R D i(t) +\\frac{1}{C} i(t) = D x(t) <\/span>\n\n\n \\Big(R D +\\frac{1}{C}\\Big) i(t) = D x(t) <\/span>\n\n\n\n

Conociendo que la corriente i<\/em>(t) en el capacitor depende de la variaci\u00f3n de voltaje y(t) y la capacitancia C<\/p>\n\n\n i(t) = C \\frac{\\delta}{\\delta t} y(t) = CD y(t) <\/span>\n\n\n\n

se sustituye i<\/strong>(t) en la ecuaci\u00f3n,<\/p>\n\n\n (R D +\\frac{1}{C}) CD y(t) = D x(t) <\/span>\n\n\n\n

simplificando un operador D<\/strong><\/p>\n\n\n (R D +\\frac{1}{C}) C y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n (RC D + 1 ) y(t) = x(t) <\/span>\n\n\n\n

Para mostrar la relaci\u00f3n de salida\/entrada se reordena la expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n \\frac{y(t)}{x(t)} = \\frac{1}{RC D +1} <\/span>\n\n\n \\frac{y(t)}{x(t)} = \\frac{\\frac{1}{RC}}{D +\\frac{1}{RC}} <\/span>\n\n\n\n

Expresando con P(D) y Q(D)<\/p>\n\n\n Q(D) y(t) = P(D) x(t) <\/span>\n\n\n P(D) = \\frac{1}{RC} <\/span>\n\n\n Q(D) = D +\\frac{1}{RC} <\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Entrada-Salida<\/a><\/p>\n\n\n\n

RLC\/ec diferencial<\/a><\/p>\n\n\n\n

notaci\u00f3n D<\/a><\/p>\n\n\n\n

RC\/ec_diferencial<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Formas de encontrar una soluci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

Se pueden plantear varias formas para la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial lineal, usando los conceptos anal\u00edticos y num\u00e9ricos de desarrollo:<\/p>\n\n\n\n

1. Anal\u00edtico, con papel y l\u00e1piz.<\/p>\n\n\n\n

2. Usando algoritmos en Python:<\/p>\n\n\n\n

2.1\u00a0 Anal\u00edtico con f\u00f3rmulas simb\u00f3licas en Sympy<\/strong>-Python<\/em>
2.2 Num\u00e9rico con funciones en Scipy<\/strong><\/em>-Python para LTI
2.3 Num\u00e9rico con Runge-Kutta d2y\/dx2\u00a0 para EDO del curso\u00a0 M\u00e9todos Num\u00e9ricos.<\/p>\n\n\n\n

3. Desarrollo con un simulador usando:<\/p>\n\n\n\n

3.1 diagrama de bloques
<\/em><\/strong>3.2 diagrama de circuito<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Se presentan los casos en las siguientes p\u00e1ginas.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Entrada-Salida<\/a><\/p>\n\n\n\n

RLC\/ec diferencial<\/a><\/p>\n\n\n\n

notaci\u00f3n D<\/a><\/p>\n\n\n\n

RC\/ec_diferencial<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Entrada-Salida RLC\/ec diferencial notaci\u00f3n D RC\/ec_diferencial 1. Modelo Entrada-Salida Referencia: Lathi 1.8 p111, Schaum\/Hsu 2.5.B p60, Oppenheim 2.56.d p160, p700 La descripci\u00f3n de un sistema en t\u00e9rminos de las mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida. Una forma es describir la relaci\u00f3n entre salida\/entrada se expresa usando operadores de diferenciaci\u00f3n D: La respuesta […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-ss-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[171],"tags":[],"class_list":["post-522","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ss-u03"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/522","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=522"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/522\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21493,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/522\/revisions\/21493"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=522"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=522"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=522"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}