inversa<\/a><\/p>\n\n\n\n usando:<\/p>\n\n\n\n 1\/z<\/a><\/p>\n\n\n\n z<\/a><\/p>\n\n\n\n z\/(z - 2)<\/a><\/p>\n\n\n\n fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Lathi 5.1-1 p495, Oppenheim 10.3 p757<\/p>\n\n\n\n Muchas de las transformadas X[z] de inter\u00e9s pr\u00e1ctico son fracciones de polinomios en El m\u00e9todo de fracciones parciales funciona dado que para cada x[n] transformable con n\u22650 le corresponde una X[z] \u00fanica definida para |z|>a y viceversa. Para lo mostrado, se supone que se usa la fracci\u00f3n parcial mas simple.<\/p>\n\n\n\n inversa<\/a><\/p>\n\n\n\n usando:<\/p>\n\n\n\n 1\/z<\/a><\/p>\n\n\n\n z<\/a><\/p>\n\n\n\n z\/(z - 2)<\/a><\/p>\n\n\n\n fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejemplo 10.13 p761, Lathi Ejemplo 5.1 p490<\/p>\n\n\n\n Continuando con el ejercicio presentado para convertir x[n] a X[z], se tiene que:<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{1}{1-a z^{-1}}\\text{ , } |z|>|a|<\/span>\n\n\n\n la expresi\u00f3n se puede expandir en series se potencias y obtener los primeros t\u00e9rminos de la secuencia de x[n]. Los t\u00e9rminos son \u00fatiles si se se requieren los m<\/strong> primeros t\u00e9rminos de la secuencia, es decir n<\/strong> se encuentra en [0,m<\/strong>-1]<\/p>\n\n\n\n Al final de la serie F[z] se muestra un t\u00e9rmino con el orden del error.<\/p>\n\n\n\n De los t\u00e9rminos mostrados, se observa que X[n] = an<\/sup><\/p>\n\n\n\n Usando por ejemplo inversa<\/a><\/p>\n\n\n\n usando:<\/p>\n\n\n\n 1\/z<\/a><\/p>\n\n\n\n z<\/a><\/p>\n\n\n\n z\/(z - 2)<\/a><\/p>\n\n\n\n fracciones parciales<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejemplo 10.13 p761, Lathi Ejemplo 5.1 p490<\/p>\n\n\n\n Si la expresi\u00f3n se usa de la forma simplificada, que es la m\u00e1s com\u00fan para tratar las expresiones con Sympy, el algoritmo anterior para las series no realiza la misma respuesta.<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{z}{z-a}\\text{ , } \\Big|z|>|a|<\/span>\n\n\n X[z] = \\frac{1}{1-a z^{-1}}\\text{ , } \\Big|z|>|a|<\/span>\n\n\n\n Para este caso se multiplica el numerador y denominador por 1\/z, obteniendo la expresi\u00f3n del ejemplo anterior. Para generar la serie se realiza el, cambio de variable Z=1\/z para generar la serie sobre Z. Luego se restablece en la expresi\u00f3n antes de mostrar los t\u00e9rminos, y se obtiene el mismo resultado.<\/p>\n\n\n\n De los t\u00e9rminos mostrados, se observa que X[n] = an<\/sup><\/p>\n\n\n\n El algoritmo presentado puede ser tomado como punto de partida para los siguientes ejercicios. Realizado para explicaci\u00f3n conceptual.<\/p>\n\n\n\n inversa<\/a><\/p>\n\n\n\n usando:<\/p>\n\n\n\n 1\/z<\/a><\/p>\n\n\n\n z<\/a><\/p>\n\n\n\n z\/(z - 2)<\/a><\/p>\n\n\n\n fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong>: Oppenheim Ejemplo 10.13 p761, Lathi Ejemplo 5.1 p490<\/p>\n\n\n\n Continuando con el ejercicio presentado para convertir x[n] a X[z], se tiene que:<\/p>\n\n\n X[z] = \\frac{1}{1-a z^{-1}}\\text{ , } |z|>|a|<\/span>\n\n\n X[z] = \\frac{z}{z-a}\\text{ , } \\Big|z|>|a|<\/span>\n\n\n\n siendo la expresi\u00f3n de ingreso al algoritmo:<\/p>\n\n\n\n el resultado es:<\/p>\n\n\n\n El algoritmo presentado puede ser tomado como punto de partida para los siguientes ejercicios. Realizado para explicaci\u00f3n conceptual.<\/p>\n\n\n\n inversa<\/a><\/p>\n\n\n\n usando:<\/p>\n\n\n\n 1\/z<\/a><\/p>\n\n\n\n z<\/a><\/p>\n\n\n\n z\/(z - 2)<\/a><\/p>\n\n\n\n fracciones parciales<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Transformada z Inversa<\/h2>\n\n\n\n
z<\/code>, que pueden ser expresadas como una suma de fracciones parciales cuya inversa puede ser revisada en una tabla de transformadas z<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejemplo - Transformada z inversa de una fracci\u00f3n X[1\/z]<\/h2>\n\n\n\n
X[z]: \n z \n------\n-a + z\n\n F[z]:\n 2 3 4 5 6 \n a a a a a a \/1 \\\n1 + - + -- + -- + -- + -- + -- + O|--; z -> oo|\n z 2 3 4 5 6 | 7 |\n z z z z z \\z \/\nT\u00e9rminos x[n] entre[0,7]\n[1, a, a**2, a**3, a**4, a**5, a**6]\n\n x[n] con a= 1\/2\n[1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625]<\/code><\/pre>\n\n\n\na=1\/2<\/code>, se obtiene como resultado de x[n],<\/p>\n\n\n\n![\"Transformada](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/TransformadaZ_Ej01Xz_Xn.png\")
<\/figure>\n\n\n\n>>> xi\n[1.0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625]<\/code><\/pre>\n\n\n\n2.1 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# transformada z inversa de X[z]\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nz = sym.symbols('z',)\nn = sym.symbols('n', nonnegative=True)\na = sym.symbols('a')\nu = sym.Heaviside(n)\n\nXz = 1\/(1-a*z**(-1))\n\n# valor a como racional en dominio 'ZZ' enteros\na_k = sym.Rational(1\/2).limit_denominator(100)\n\nm = 7 # T\u00e9rminos a graficar\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Series de potencia z**(-1)\nFz = sym.series(Xz,z**(-1), n=m)\n\n# Terminos de X[n]\nxn = []\ntermino = Fz.args\nfor i in range(0,m,1):\n xn.append(termino[i]*(z**i))\n \n# SALIDA\nprint('X[z]: ')\nsym.pprint(Xz)\nprint('\\n F[z]:')\nsym.pprint(Fz)\nprint('\\n T\u00e9rminos x[n] entre [0,'+str(m)+']')\nprint(xn)\n\n# GRAFICA valores ---------------\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# Terminos de X[n]\nxi = [] ; ki=[]\nfor i in range(0,m,1):\n valor = xn[i].subs({z:1,a:a_k})\n xi.append(float(valor))\n ki.append(i)\n\nprint('\\n x[n] con a=',a_k)\nprint(xi)\n\n# grafica entrada x[n]\nplt.axvline(0,color='grey')\nplt.stem(ki,xi,label='x[n]')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('x[n]')\nplt.title(r'x[n]= $'+str(sym.latex(xn))+'$')\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Ejemplo. Transformada z inversa de una fracci\u00f3n dada con X[z]<\/h2>\n\n\n\n
3.1 Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# transformada z inversa de X[z]\n# supone que la expresi\u00f3n son fracciones parciales\nimport sympy as sym\n\n# INGRESO\nz = sym.symbols('z')\nn = sym.symbols('n', integer=True, positive=True)\na = sym.symbols('a')\n\nXz = z\/(z-a)\n\n# valor a como racional en dominio 'ZZ' enteros\na_k = sym.Rational(1\/2).limit_denominator(100)\n\nm = 7 # T\u00e9rminos a graficar\n\n# PROCEDIMIENTO\n# expresi\u00f3n Xz con z para aplicar serie\n# separa numerador y denominador\n[Pz,Qz] = Xz.as_numer_denom()\nPz = (Pz*(1\/z)).expand(1\/z)\nQz = (Qz*(1\/z)).expand(1\/z)\n\n# cambia Z por 1\/z\nZ = sym.symbols('Z')\nPZ = Pz.subs(1\/z,Z)\nQZ = Qz.subs(1\/z,Z)\nXZ = PZ\/QZ\n\n# Series de potencia de Z\nFZ = sym.series(XZ,Z, n=m)\nFz = FZ.subs(Z,1\/z) # restituye 1\/z\n\n# Terminos de X[n]\nxn = []\ntermino = Fz.args\nfor i in range(0,m,1):\n xn.append(termino[i]*(z**i))\n\n# SALIDA\nprint('X[z]: ')\nsym.pprint(Xz)\nprint('\\n F[z]:')\nsym.pprint(Fz)\nprint('T\u00e9rminos x[n] entre[0,'+str(m)+']')\nprint(xn)\n\n# GRAFICA valores ---------------\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n# Terminos de X[n]\nxi = [] ; ki=[]\nfor i in range(0,m,1):\n valor = xn[i].subs({z:1,a:a_k})\n xi.append(float(valor))\n ki.append(i)\n\nprint('\\n x[n] con a=',a_k)\nprint(xi)\n\n# grafica entrada x[n]\nplt.axvline(0,color='grey')\nplt.stem(ki,xi,label='x[n]')\nplt.xlabel('n')\nplt.ylabel('x[n]')\nplt.title(r'x[n]= $'+str(sym.latex(xn))+'$')\nplt.grid()\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Ejemplo. Transformada z inversa de una fracci\u00f3n X[1\/z]<\/h2>\n\n\n\n
F = z\/(z - 2)<\/code><\/pre>\n\n\n\nf[n] : 2**n*Heaviside(n)\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n4.1 Algoritmo Python para z\/(z - 2) con telg1001.py<\/h3>\n\n\n
\n# transformada z propiedades con Sympy\n# aplicar luego de buscar en tabla de pares\nimport sympy as sym\nimport telg1001 as ss\n\n# INGRESO\nn = sym.Symbol('n', real=True)\nz = sym.Symbol('z')\nu = sym.Heaviside(n)\n\n# (a**n)*f[n] <--> F(z\/a)\nF = z\/(z - 2) #f = (2**n)*u\n\n# PROCEDIMIENTO\nfn = ss.inverse_z_transform(F,z,n)\n\n# SALIDA\nprint('f[n] :',fn)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n