Jacobi<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/em><\/strong>: Burden 7.3 p334, Rodr\u00edguez 5.1 p154, Chapra 11.2.1p312<\/p>\n\n\n\n Los m\u00e9todos iterativos para sistemas de ecuaciones, son semejantes al m\u00e9todo de punto fijo<\/a> para b\u00fasqueda de ra\u00edces, requieren un punto inicial para la b\u00fasqueda \"de la ra\u00edz o soluci\u00f3n\" que satisface el sistema. Se plantea considerar aproximaciones o iteraciones de forma sucesiva desde un punto de partida o inicial X<\/strong>0<\/sub>, hacia una soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones.<\/p>\n\n\n\n Las iteraciones pueden ser o no, convergentes.<\/p>\n\n\n\n Para describir el m\u00e9todo iterativo de Jacobi<\/strong>, se usa como ejemplo: un sistema de 3 inc\u00f3gnitas y 3 ecuaciones, diagonalmente dominante<\/strong>, planteado en su forma matricial.<\/p>\n\n\n \\begin{cases} a_{0,0} x_0+a_{0,1}x_1+a_{0,2} x_2 = b_{0} \\\\ a_{1,0} x_0+a_{1,1}x_1+a_{1,2} x_2 = b_{1} \\\\ a_{2,0} x_0+a_{2,1}x_1+a_{2,2} x_2 = b_{2} \\end{cases} <\/span>\n\n\n\n La expresi\u00f3n para encontrar nuevos valores usando la matriz de coeficientes A, el vector de constantes B y como inc\u00f3gnitas X es:<\/p>\n\n\n x_i = \\bigg(b_i - \\sum_{j=0, j\\neq i}^n a_{i,j}x_j\\bigg) \\frac{1}{a_{ii}} <\/span>\n\n\n\n El m\u00e9todo de Jacobi<\/strong>, reescribe las expresiones despejando la inc\u00f3gnita de la diagonal en cada ecuaci\u00f3n. El patr\u00f3n que se observa en las ecuaciones despejadas, se describe en la f\u00f3rmula para xi<\/sub><\/strong> de la fila i<\/strong>, que se usar\u00e1 en el algoritmo en Python.<\/p>\n\n\n x_0 = \\frac{b_{0} -a_{0,1}x_1 -a_{0,2} x_2 }{a_{0,0}} <\/span>\n\n\n x_1 = \\frac{b_{1} -a_{1,0} x_0 -a_{1,2} x_2}{a_{1,1}} <\/span>\n\n\n x_2 = \\frac{b_{2} -a_{2,0} x_0 - a_{2,1} x_1}{a_{2,2}} <\/span>\n\n\n\n La convergencia del m\u00e9todo iterativo se puede revisar usando el n\u00famero de condici\u00f3n de la matriz de coeficientes A<\/strong>. Un resultado cercano a 1<\/em>, implica que el sistema ser\u00e1 convergente.<\/p>\n\n\n\n cond(A) = ||A|| ||A-1<\/sup>||<\/p>\n\n\n\n Usando de forma experimental los ejercicios de las evaluaciones de la secci\u00f3n matriciales iterativos, el n\u00famero de condici\u00f3n<\/strong> no deber\u00eda superar el valor de 7 para que el sistema sea convergente. Puede revisar que si es mayor, el m\u00e9todo tiende a no ser convergente. Aunque los textos del libro no lo indican directamente,<\/p>\n\n\n\n Jacobi<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: 1Eva2011TII_T2 Sistema de Ecuaciones, diagonal dominante<\/a><\/p>\n\n\n\n Considere el siguiente sistema de ecuaciones A.X=B dado por:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\\\7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Luego del pivoteo parcial por filas<\/a>, el sistema de ecuaciones a usar para el m\u00e9todo de Jacobi es:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} 7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\\\-2x+5y+9z=1\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Desarrolle el ejercicio usando el m\u00e9todo de Jacobi<\/strong>, tomando como vector inicial X<\/strong>0<\/sub>=[0,0,0] y tolera<\/strong>ncia de 0.0001.<\/p>\n\n\n\n Jacobi<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para el m\u00e9todo de Jacobi, se usan las ecuaciones reordenas con el pivoteo parcial por filas<\/a>, para que en lo posible sea diagonal dominante que mejora la convergencia. El resultado del algoritmo a partir de las ecuaciones presentadas al inicio es:<\/p>\n\n\n\n Se despejan la inc\u00f3gnita de la diagonal en cada ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n x=\\frac{6-y-z}{7} <\/span>\n\n\n y= \\frac{-26+3x+z}{7} <\/span>\n\n\n z=\\frac{1+2x-5y}{9} <\/span>\n\n\n\n El vector inicial X<\/strong>0<\/sub>=[0,0,0] representa un punto de partida, valores estimados o semilla para buscar la soluci\u00f3n a las variables x0<\/sub>,y0<\/sub>,z0<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n Como las ecuaciones son el comportamiento del 'sistema<\/strong><\/em>', se usan con X<\/strong>0<\/sub> para obtener un nuevo<\/strong> y mejor valor estimado para la soluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n itera = 0<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n X_0=[x_0,y_0,z_0] <\/span>\n\n\n X_0=[0,0,0] <\/span>\n\n\n x_1=\\frac{6-(0)-(0)}{7} =\\frac{6}{7}=0.8571<\/span>\n\n\n y_1= \\frac{-26+3(0)+(0)}{7} =\\frac{-26}{7}=-3.7142<\/span>\n\n\n z_1=\\frac{1+2(0)-5(0)}{9} =\\frac{1}{9}=0.1111<\/span>\n\n\n X_1=[0.8571, -3.7142, 0.1111] <\/span>\n\n\n\n Para revisar si se est\u00e1 m\u00e1s cerca de la soluci\u00f3n, se calculan las diferencias<\/strong>, tramos o desplazamientos entre los valores nuevos y anteriores:<\/p>\n\n\n \\text{diferencias}=X_1-X_0<\/span>\n\n\n =[0.8571-0, -3.7142-0, 0.1111-0]<\/span>\n\n\n\n Para estimar el valor del error<\/strong>, se presenta un valor simplificado o escalar de las diferencias (norma<\/a> del error). Por simplicidad se usa el valor de magnitud m\u00e1xima<\/strong> de los errores. Se usa como variable 'errado<\/strong>', para evitar el conflicto de nombre de variable error usada como palabra reservada en Python:<\/p>\n\n\n \\text{errado}= max \\Big|\\text{diferencias}\\Big|<\/span>\n\n\n \\text{errado}= max \\Big|[0.8571, -3.7142, 0.1111]\\Big| = 3.7142<\/span>\n\n\n\n Al comparar el valor errado<\/strong> con la tolera<\/strong>ncia, se observa que el error a\u00fan es mayor que lo tolera<\/strong>do. Por lo que se contin\u00faa con otra iteraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n itera = 1<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n X_1=[x_1,y_1,z_1] <\/span>\n\n\n X_1=[0.8571, -3.7142, 0.1111] <\/span>\n\n\n x_2=\\frac{6-(-3.7142)-(0.1111)}{7} = 1.3718<\/span>\n\n\n y_2= \\frac{-26+3(0.8571)+(0.1111)}{7} =-3.3310<\/span>\n\n\n z_2=\\frac{1+2(0.8571)-5(-3.7142)}{9} =2.3650<\/span>\n\n\n X_2=[1.3718, -3.3310, 2.3650] <\/span>\n\n\n \\text{diferencias}=|X_2-X_1|<\/span>\n\n\n=|[0.8571-1.3718, -3.3310-(-3.7142), 2.3650-0.1111]|<\/span>\n\n\n\n itera = 2<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n X_2=[1.3718, -3.3310, 2.3650] <\/span>\n\n\n x_3=\\frac{6-(-3.3310)-(2.3650)}{7} = 0.9951 <\/span>\n\n\n y_3= \\frac{-26+3(1.3718)+(2.3650)}{7} = -2.7884 <\/span>\n\n\n z_3=\\frac{1+2(1.3718)-5(-3.3310)}{9} = 2.2665 <\/span>\n\n\n X_3=[0.99514, -2.7884, 2.2665] <\/span>\n\n\n \\text{diferencias}=|X_3-X_2| <\/span>\n\n\n=|[0.99514-1.3718, -2.7884-(-3.3310), 2.2665-2.3650]| <\/span>\n\n\n\n En cada iteraci\u00f3n el valor de error disminuye, por lo que se estima que el m\u00e9todo converge<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Al usar el algoritmo, de los resultados se observa que se detiene luego de 14 iteraciones, los errores son menores a la tolera<\/strong>ncia:<\/p>\n\n\n\n Jacobi<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para el algoritmo se usa el sistema de ecuaciones en su forma matricial A.X=B. Se asume que se ha aplicado el pivoteo parcial por filas<\/a> y matriz aumentada (luego se a\u00f1ade como una funci\u00f3n). Se asegura que A<\/strong>, X<\/strong> y B<\/strong> sean arreglos de n\u00fameros reales.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. El m\u00e9todo iterativo de Jacobi<\/h2>\n\n\n\n
![\"M\u00e9todo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/jacobi_animado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\nnp.linalg.cond(A)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
Pivoteo parcial por filas AB:\n[[ 7. 1. 1. 6.]\n [ -3. 7. -1. -26.]\n [ -2. 5. 9. 1.]]\nA:\n[[ 7. 1. 1.]\n [-3. 7. -1.]\n [-2. 5. 9.]]\nB:\n[ 6. -26. 1.]<\/code><\/pre>\n\n\n \\begin{cases} 7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\\\-2x+5y+9z=1\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n [0.8571, -3.7142, 0.1111]\n-[0. , 0. , 0. ]\n__________________________\n [0.8571, -3.7142, 0.1111]<\/code><\/pre>\n\n\n \\text{diferencias}=[0.8571, -3.7142, 0.1111]<\/span>\n\n\n\n [1.3718, -3.3310, 2.3650]\n-[0.8571, -3.7142, 0.1111] \n__________________________\n[0.51474, -0.38322, 2.25397]<\/code><\/pre>\n\n\n \\text{diferencias}= |[0.51474, -0.38322, 2.25397]|<\/span>\n\n\n \\text{errado}=max |X_2-X_1|= 2.2539<\/span>\n\n\n\n [ 0.9951, -2.7884, 2.2665]\n-[ 1.3718, -3.3310, 2.3650] \n__________________________\n [-0.3767, 0.5426, 0.0985]<\/code><\/pre>\n\n\n \\text{diferencias}=|[-0.3767, 0.5426, 0.0985]| <\/span>\n\n\n \\text{errado}=max |X_2-X_1|= 0.5425<\/span>\n\n\n\n![\"M\u00e9todo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/jacobi_x_itera_errores.png\")
<\/figure>\n\n\n\nIteraciones Jacobi\nitera,[X]\n ,errado,|diferencia|\n0 [0. 0. 0.]\n nan\n1 [ 0.85714 -3.71429 0.11111]\n 3.7142857142857144 [0.85714 3.71429 0.11111]\n2 [ 1.37188 -3.33107 2.36508]\n 2.2539682539682544 [0.51474 0.38322 2.25397]\n3 [ 0.99514 -2.78847 2.26657]\n 0.5425979915775843 [0.37674 0.5426 0.09851]\n4 [ 0.9317 -2.964 1.8814]\n 0.3851635892452223 [0.06344 0.17553 0.38516]\n...\n 0.0003598675094789 [2.30116e-04 3.59868e-04 6.47473e-05]\n13 [ 1.00004 -3.00002 2.00007]\n 0.0002510632800638 [4.21600e-05 1.07871e-04 2.51063e-04]\n14 [ 0.99999 -2.99997 2.00002]\n 5.393476706316e-05 [5.12763e-05 5.39348e-05 5.05593e-05]\nMetodo de Jacobi\nnumero de condici\u00f3n: 1.9508402675105447\nX: [ 0.99999 -2.99997 2.00002]\nerrado: 5.3934767063168465e-05\niteraciones: 14<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n4. Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n