interpola pulso<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: McClellan 4-3.1 p141<\/p>\n\n\n\n Un sistema que convierte una se\u00f1al y[n] en forma D<\/strong>iscreta a la forma C<\/strong>ont\u00ednua y(t), conocido como D-to-C, usa interpolaci\u00f3n para rellenar los espacios entre muestras. En el proceso se deben considerar efectos como el \"aliasing\" y \"folding\".<\/p>\n\n\n\n La implementaci\u00f3n del concepto D-to-C en un sistema f\u00edsico o \"hardware\" se los conoce como Convertidor Digital-Anal\u00f3gico (DAC) que completa los espacios entre muestras con un pulso p(t)<\/p>\n\n\n y(t) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} y[n] p(t-nTs)<\/span>\n\n\n\n interpola pulso<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Un pulso simple, sim\u00e9trico es un pulso rectangular de la forma:<\/p>\n\n\n p(t) = \\begin{cases} 1 & -\\frac{1}{2} T_s \\lt t \\leq \\frac{1}{2} T_s \\\\ 0 & otro caso \\end{cases}<\/span>\n\n\n\n Para una se\u00f1al senoidad de frecuencia 83Hz y amplitud unitaria se obtienen las muestras x<\/strong>[n]. La frecuencia de muestreo f<\/strong>s es de 200Hz. El proceso de re-construcci\u00f3n de x<\/strong>(t) llena los espacios entre muestras usando el pulso descrito en p<\/strong>(t). En \u00e9ste caso p<\/strong>(t) es un pulso rectangular.<\/p>\n\n\n\n Los valores de las muestras x[n[ se presentan marcados con puntos para como una referencia en la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n Si consideramos un muestreo de se\u00f1al a frecuencia fs=200Hz, se tiene que el pulso tiene una duraci\u00f3n T<\/strong>s = 5 ms y amplitud 1. Cada t\u00e9rmino de interpola pulso<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n El algoritmo se divide en: La se\u00f1al x(t) se convierte a discreta usando una tasa de muestras f<\/strong>s. Para observar la se\u00f1al x(t), se indica el n\u00famero de periodos nT<\/strong> de la frecuencia f<\/strong>0. Como ejemplo en la gr\u00e1fica se realizan nT=2.3 periodos de la se\u00f1al cosenoidal.<\/p>\n\n\n\n La se\u00f1al de x(t) se suaviza visualmente al usar el factor fs_veces<\/strong> como sobre-muestreo respecto a f<\/strong>s. En este caso se usa fs=16. lo que genera muestras de se\u00f1al cada Para el relleno de los espacios entre muestras x[n] se usa un modelo de pulso rectangular de tama\u00f1o Los valores de tiempo en la gr\u00e1fica deben considerar la cantidad de muestras x[n], el ancho del pulso, el tiempo de inicio si es o no causal y la frecuencia de muestreo. El proceso se lo agrupa en la funci\u00f3n El proceso de reconstrucci\u00f3n de x(t) con pulsos consiste en repetir los valores del vector de un pulso<\/strong> en los tiempos que se dispone de una nueva muestra xki<\/strong>. En el caso que el ancho del pulso sea mayor que 1, los valores de los pulsos se traslapan y se requiere sumar los valores en un solo vector xn_pulsos<\/strong> . El efecto de \u00e9sta operaci\u00f3n se detalla mejor con las se\u00f1ales triangular y Sinc(t) por tener un ancho de pulso mayor a 1.<\/p>\n\n\n\n Por el momento cada pulso se replica en cada muestra x[n] de la primera figura en la gr\u00e1fica usando un color diferente. El resultado final de xn_pulsos<\/strong> se presenta en la segunda gr\u00e1fica como x(t) pulsos.<\/p>\n\n\n interpola pulso<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n interactiva<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Instrucci\u00f3nes adicionales al algoritmo anterior<\/p>\n\n\n interpola pulso<\/a><\/p>\n\n\n\n pulso rectangular<\/a><\/p>\n\n\n\n algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Interpolaci\u00f3n con Pulsos<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Interpolaci\u00f3n con Pulso rectangular, Zero-Order Hold<\/h2>\n\n\n\n
![\"Pulso](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/PulsoRectangular01.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n![\"Interpola](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/InterpolaPulsoRectangular_animate.gif\")
<\/figure>\n\n\n\nx<\/strong>[n]p<\/strong>(t-nT<\/strong>s)<\/code> crea una secci\u00f3n plana de amplitud x[n] centrada en nT<\/strong>s, como se muestra en la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n2.1 Algoritmo en Python para un pulso<\/h3>\n\n\n
\n# D-to-C, Interpolacion con pulso rectangular\n# ejemplo 4.3.2 p142\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nfs = 200 # Hz muestreo\nfs_veces = 16 # suavizar x(t), sobremuestreo\ntitulo = 'pulso rectangular'\nnT = 2 # graficar periodos de la se\u00f1al\n\n# pulso rectangular\npulso_causal = True # No causal, pulso centrado en cero\npulso_ancho = 1\ndutyc = 1 # entre [0,1] duty_cycle\n\n# PROCEDIMIENTO\nTs = 1\/fs\ndtc = Ts\/fs_veces # suavizar x(t), sobremuestreo\n\n#u = lambda t: np.piecewise(t,t>=0,[1,0])\nu = lambda t: np.heaviside(t,1)\n# pulso rectangular\n#dutyc = 1 # entre [0,1] duty_cycle\nu1 = lambda t: u(t+Ts*dutyc\/2)\nu2 = lambda t: u(t-Ts*dutyc\/2)\nrectangular = lambda t: u1(t) - u2(t) \n\n# x[n] interpolacion en Ts, a muestreo fs\nt_unpulso = np.arange(-Ts\/2*nT,Ts\/2*nT+dtc,dtc)\nunpulso = rectangular(t_unpulso)\n\n# SALIDA\nprint('muestras:',len(t_unpulso))\nprint('t_unpulso:',t_unpulso)\n\n# GRAFICA de un pulso\nplt.axhline(0,color='Black')\nplt.axvline(-Ts,color='red',linestyle='dotted')\nplt.axvline(Ts,color='red',linestyle='dotted')\n\n# p(t) componentes\nplt.plot(t_unpulso,unpulso, color='green',linestyle='dashed',\n label='p_rect(t)')\nplt.stem([0],[1],linefmt = 'C1:', label='xn[0]')\n\n# grafica entorno\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('amplitud')\ntexto = titulo + ' ; fs='+str(fs)\ntexto = texto +' ; Ts='+str(Ts)\nplt.title(texto)\nplt.grid()\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Algoritmo en Python Interpola con pulso rectangular<\/h2>\n\n\n\n
- c\u00e1lculo de x(t)
- c\u00e1lculo de x[n]
- reconstrucci\u00f3n x(t) a partir de x[n] usando pulsos
- gr\u00e1fica x(t)
- gr\u00e1fica de x[n]<\/p>\n\n\n\n![\"interpola](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2024\/11\/interpolaPulsoRectangular01.png\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\nTs\/fs_veces<\/code> denominado en el algoritmo como tama\u00f1o de paso dtc.<\/p>\n\n\n\nTs=1\/fs<\/code> que se copia cada vez que se avanza un espacio T<\/strong>s,<\/p>\n\n\n\npulso_ti()<\/code>. El ancho del pulso cambia acorde a la forma del pulso a usar, triangular o Sinc(t). El pulso tambi\u00e9n se suaviza para la gr\u00e1fica con fs_veces.<\/p>\n\n\n\n\n# D-to-C, Interpolacion con pulso rectangular\n# ejemplo 4.3.2 p142\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\n# se\u00f1al x(t)\nf0 = 83 # frecuencia de senal\nfase0 = 0 # [0,2*np.pi]\nxt = lambda t: np.cos(2*np.pi*f0*t + fase0)\n\nfs = 200 # Hz muestreo\nfs_veces = 16 # suavizar x(t), sobremuestreo\nnT = 2.3 # graficar periodos de la se\u00f1al\n\ntitulo = 'Interpola x(t) pulso rectangular '\n# pulso rectangular\npulso_causal = True # No causal, pulso centrado en cero\npulso_ancho = 1\ndutyc = 1 # entre [0,1] duty_cycle\n\ncasicero = 1e-10 # cero para valores menores\n\n# PROCEDIMIENTO\nTs = 1\/fs # tama\u00f1o de paso con fs\nT = 1\/f0 # periodo de se\u00f1al\ndtc = Ts\/fs_veces # suavizar x(t), sobremuestreo\n\n# muestreo x(t)\nti = np.arange(0,nT*T+dtc,dtc)\nxti = xt(ti)\nti_max = max(ti)\n\n# muestreo x[n]\nmuestras_n = 2\nif ti_max>=Ts: # varias muestras\n muestras_n = int(ti_max\/Ts)+1\nki = np.arange(0,muestras_n,1,dtype=int)\ntki = ki*Ts # muestras x[n]\nxki = xt(tki)\ntkj = tki # x[n] alias0\nti_0 = ti # No Causal, pulso centrado en cero\nif pulso_causal: # Causal\n tkj = tki + Ts*pulso_ancho\/2 \n ti_0 = ti + Ts*pulso_ancho\/2\nxti_0 = xti\n\ndef pulso_ti(muestras_n,fs,fs_veces,ancho=1,causal=True):\n ''' tiempos para las n muestras x(t) con pulsos a frecuencia fs.\n Para suavizar el pulso se usa fs_veces para el sobremuestreo.\n El ancho del pulso es veces el periodo de muestreo (1\/Ts)\n Si es causal el tiempo inicia en t=0, centrado en cero.\n Si no es causal el tiempo inicia t en mitad de intervalo.\n '''\n Ts = 1\/fs # muestreo periodo\n dtc = Ts\/fs_veces # suavizar pulso(t), sobremuestreo\n t_Ts = np.arange(0,Ts,dtc) # tiempo en periodo Ts sobremuestreado\n \n mitad = Ts*ancho\/2\n t_mitad = np.arange(0,mitad,dtc)\n t_pulsos = np.copy(t_mitad) # mitad de primer pulso\n for i in range(1,muestras_n,1):\n t_pulsos = np.concatenate((t_pulsos,t_Ts + t_pulsos[-1]+dtc))\n # mitad de \u00faltimo pulso para muestra_n\n t_pulsos = np.concatenate((t_pulsos,t_mitad + t_pulsos[-1]+dtc))\n\n # https:\/\/blog.espol.edu.ec\/telg1001\/sistemas-causales-y-no-causales\/\n if causal == False: # centrado en cero\n t_pulsos = t_pulsos - mitad\n return(t_pulsos)\n\n# x[n] interpolacion en Ts, a muestreo fs\nt_pulsos = pulso_ti(muestras_n,fs,fs_veces,\n pulso_ancho,pulso_causal)\n\nhttps:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/ss-unidades\/ss-u01\/senales-escalon-e-impulso\/\n#u = lambda t: np.piecewise(t,t>=0,[1,0])\nu = lambda t: np.heaviside(t,1)\n# pulso rectangular entre [-(1\/fs)\/2,(1\/fs)\/2], no causal\nu1 = lambda t: u(t+Ts*dutyc\/2)\nu2 = lambda t: u(t-Ts*dutyc\/2)\nrectangular = lambda t: u1(t) - u2(t) \n\n# unpulso muestreo\nt_unpulso = pulso_ti(1,fs,fs_veces,\n pulso_ancho,pulso_causal)\nt_pulsoEval= t_unpulso\nif pulso_causal:\n t_pulsoEval = t_unpulso-Ts*pulso_ancho\/2\nunpulso = rectangular(t_pulsoEval)\nmuestras_pulso = len(t_unpulso)\n\n# reconstruye x(t) con pulsos\nmuestras_N = len(xki)\nmitad_pulso = int(muestras_pulso\/2)\npulsos_vacio = np.zeros(len(t_pulsos),dtype=float)\nxn_pulsos = np.copy(pulsos_vacio)\nxk_pulsos = []\nfor j in range(0,muestras_N,1): # x(t) pulsos\n k0 = int(j*fs_veces)\n kn = k0 + muestras_pulso\n pulsoj = np.copy(pulsos_vacio)\n pulsoj[k0:kn]= pulsoj[k0:kn] + unpulso*xki[j]\n xk_pulsos.append(pulsoj)\n xn_pulsos = xn_pulsos+pulsoj\n \n# SALIDA\nprint('fs:',fs,'Hz ; Ts:',Ts,' s')\nprint('pulso_causal:',pulso_causal,' : dutycycle:',dutyc)\nprint('muestras_pulso:',muestras_pulso)\nprint('t_unpulso:',t_unpulso)\nprint('muestras_tiempo:',len(t_pulsos))\n\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3.1 Gr\u00e1fica con Python<\/h3>\n\n\n\n
\n# GRAFICAS ----------------------------\nfig, [graf_t,graf_n] = plt.subplots(2,1)\n\n# x(t) grafico entorno\nt_causal = 0\nif pulso_causal:\n t_causal = Ts*pulso_ancho\/2\ngraf_t.axhline(0,color='black')\ngraf_t.axvline(0,color='black')\ngraf_t.set_xlabel('t')\ngraf_t.set_ylabel('amplitud')\ngraf_t.set_xlim([t_pulsos[0]-t_causal,\n t_pulsos[-1]-t_causal])\ngraf_t.grid()\ntexto = titulo + ' ; f0='+str(f0)\ntexto = texto + ' ; fs='+str(fs)\ntexto = texto + ' ; causal:'+str(pulso_causal)\ngraf_t.set_title(texto)\n# x(t) componentes\ngraf_t.plot(ti,xti,label='x(t)')\ngraf_t.stem(tki,xki,label='x[n]',linefmt = 'C1:')\nfor i in range(0,muestras_N,1):\n graf_t.plot(t_pulsos-t_causal,xk_pulsos[i],\n linestyle='dashed')\ngraf_t.legend()\n\n# x[n] grafico entorno\ngraf_n.axhline(0,color='black')\ngraf_n.axvline(0,color='black')\ngraf_n.set_xlabel('t')\ngraf_n.set_ylabel('amplitud')\ngraf_n.set_xlim([t_pulsos[0],t_pulsos[-1]])\ngraf_n.grid()\n# x[n] componentes\ngraf_n.plot(ti_0,xti_0,linestyle='dotted',\n label='x(t)')\ngraf_n.stem(tkj,xki,label='x[n]',linefmt = 'C1:')\ngraf_n.plot(t_pulsos,xn_pulsos,\n label='x(t) pulso',\n lw=2, color='orange')\n\ngraf_n.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n