{"id":561,"date":"2016-12-10T14:03:39","date_gmt":"2016-12-10T19:03:39","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/estg1003\/?p=561"},"modified":"2026-04-04T10:53:22","modified_gmt":"2026-04-04T15:53:22","slug":"pares-de-variables-aleatorias-continuas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/stp-u02eva\/pares-de-variables-aleatorias-continuas\/","title":{"rendered":"Pares de variables aleatorias cont\u00ednuas"},"content":{"rendered":"\n<p><strong>Referencia:<\/strong> Le\u00f3n-Garc\u00eda 5.2.1 p241, Gubner 7.2 p295, Ross 2.5.1 p.44<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Pares de variables aleatorias<\/h2>\n\n\n\n<p>Muchos experimentos involucran varias variables aleatorias, pues miden diferentes valores del experimento, por ejemplo:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Medir el voltaje de un circuito en varios puntos para un tiempo dado<\/li>\n\n\n\n<li>Medir repetidamente el voltaje de un circuito en un punto para varios tiempos.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Para m\u00e1s de una variable se usa:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>la funci\u00f3n de densidad conjunta, funci\u00f3n de distribuci\u00f3n acumulada conjunta, y funci\u00f3n de densidad de los eventos que tienen un comportamiento conjunto en dos variables aleatorias.<\/li>\n\n\n\n<li>El valor esperado<\/li>\n\n\n\n<li>para determinar cuando dos variables son independientes y cuantificar su grado de correlaci\u00f3n cuando no son independientes<\/li>\n\n\n\n<li>para obtener probabilidades condicionales que involucran un par de variables aleatorias.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Se define para dos variables aleatorias X y Y la funci\u00f3n conjunta de distribuci\u00f3n de probabilidades acumuladas por:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> F(a,b) = P(X \\leq a, Y \\leq b ) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> -\\infty&lt;a, b&lt;\\infty <\/span>\n\n\n\n<p>la distribuci\u00f3n:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> F_X(a) = P(X \\leq a) = P(X \\leq a, Y&lt;\\infty ) = <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = F(a,\\infty) <\/span>\n\n\n\n<p>y de forma similar:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> F_Y(b) = P(Y \\leq b) = P(X&lt;\\infty, Y \\leq b) = <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = F(\\infty, b) <\/span>\n\n\n\n<p>En el caso que X y Y sean variables aleatorias discretas, se define las funcion conjunta de probabilidad de masa como:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p(x,y) = P(X=x,Y=y) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p_X (x)= \\sum_{y:p(x,y)&gt;0} p(x,y) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> p_Y (y)= \\sum_{x:p(x,y)&gt;0} p(x,y) <\/span>\n\n\n\n<p>En el caso que X y Y sean variables aleatorias cont\u00ednuas:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> P(X \\in A, Y \\in B) = \\int_B \\int_A f(x,y) \\delta x \\delta y <\/span>\n\n\n\n<p>donde la funci\u00f3n densidad de probabilidad para X se puede obtener conociendo que f(x,y) tienen que:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> P(X \\in A) = P(X \\in A, Y \\in (-\\infty,\\infty)) <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{A} f(x,y) \\delta x \\delta y <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\int_{A} f_X(x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n<p>donde<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> f_X (x) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x,y) \\delta y <\/span>\n\n\n\n<p>de forma similar para el caso de Y:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> f_Y (y) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x,y) \\delta x <\/span>\n\n\n\n<p>se debe cumplir que:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} f_{XY} (x,y) \\delta x \\delta y =1 <\/span>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ejemplo Gubner 7.9 p296.<\/h2>\n\n\n\n<p>Muestre que:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> f_{XY}(x,y) = \\frac{1}{2 \\pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)\/2} <\/span>\n\n\n\n<p>es una funci\u00f3n densidad conjunta de probabilidad v\u00e1lida<\/p>\n\n\n\n<p><em>soluci\u00f3n: <\/em><\/p>\n\n\n\n<p>dado que f<sub>XY<\/sub> es positiva, se debe mostrar que el integral es 1.<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> f_{XY}(x,y) = \\frac{e^{-(y-x)^2 \/2}}{\\sqrt{2\\pi}} \\frac{e^{-x^2 \/2}}{\\sqrt{2\\pi}} <\/span>\n\n\n\n<p>haciendo el doble integral:<\/p>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} f_{XY} (x,y) \\delta x \\delta y = <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{1}{2 \\pi} e^{-(2x^2-2xy+y^2)\/2} \\delta x \\delta y <\/span>\n\n\n<span class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\"> \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-x^2 \/2}}{\\sqrt{2\\pi}}\\big( \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{e^{-(y-x)^2 \/2}}{\\sqrt{2\\pi}} \\delta y\\big) \\delta x <\/span>\n\n\n\n<p>el integral interior est\u00e1 en funci\u00f3n de y, y es una densidad normal con media y varianza uno. Por lo que el integral interior es uno.<br>El integral exterior es una Normal con media cero y varianza 1, lo que tambi\u00e9n integra a 1.<\/p>\n\n\n\n<p>Por lo que el integral resulta en 1 y cumple con que sea positivo y resulte 1 para ser una funci\u00f3n densidad conjunta de probabilidad.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Referencia: Le\u00f3n-Garc\u00eda 5.2.1 p241, Gubner 7.2 p295, Ross 2.5.1 p.44 Pares de variables aleatorias Muchos experimentos involucran varias variables aleatorias, pues miden diferentes valores del experimento, por ejemplo: Para m\u00e1s de una variable se usa: Se define para dos variables aleatorias X y Y la funci\u00f3n conjunta de distribuci\u00f3n de probabilidades acumuladas por: la distribuci\u00f3n: [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-stp-unidades","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-561","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-stp-u02eva"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/561","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=561"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/561\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":22157,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/561\/revisions\/22157"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=561"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=561"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=561"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}