{"id":6220,"date":"2020-06-05T07:15:23","date_gmt":"2020-06-05T12:15:23","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=6220"},"modified":"2026-04-05T19:45:42","modified_gmt":"2026-04-06T00:45:42","slug":"s1eva2010tii_t1-aproximar-con-polinomio","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva10\/s1eva2010tii_t1-aproximar-con-polinomio\/","title":{"rendered":"s1Eva2010TII_T1 Aproximar f(x) con polinomio"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong><\/em>: 1Eva2010TII_T1 Aproximar f(x) con polinomio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n

Opci\u00f3n 1. Usando el polinomio de Taylor<\/h3>\n\n\n\n

Usando Unidad 1 Polinomio de Taylor<\/a>, supondremos que:  x0=0<\/p>\n\n\n\n

El polinomio de Taylor requerido es de: grado 2<\/p>\n\n\n P_{n}(x) = f(x_0)+\\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) +<\/span>\n\n\n + \\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + <\/span>\n\n\n\n

Se escribe la funci\u00f3n f(x) y sus derivadas para el polinomio:<\/p>\n\n\n f(x) = e^x \\cos (x) +1 <\/span>\n\n\n\n

primera derivada<\/p>\n\n\n f'(x) = e^x \\cos (x) - e^x \\sin(x) <\/span>\n\n\n f'(x) = e^x (\\cos (x) - \\sin(x)) <\/span>\n\n\n\n

segunda derivada<\/p>\n\n\n f''(x) = e^x( \\cos (x) - \\sin(x))+ <\/span>\n\n\n+ e^x (-\\sin(x) - \\cos(x)) <\/span>\n\n\n f''(x) = -2 e^x \\sin(x)) <\/span>\n\n\n\n

Punto de referencia x0 = 0, tomado como ejemplo dentro del intervalo.<\/p>\n\n\n\n

Observaci\u00f3n<\/strong><\/em>: escriba las expresiones, reemplazando los valores. Un criterio de evaluaci\u00f3n es que, si en la lecci\u00f3n o examen no tuvo tiempo<\/strong> para usar la calculadora, se puede evaluar si realizaba las operaciones con el punto de referencia y expresiones correctas.<\/p>\n\n\n f(0) = e^0 \\cos (0) +1 = 2<\/span>\n\n\n f'(0) = e^0(\\cos (0) - \\sin(0)) = 1 <\/span>\n\n\n f''(0) = -2 e^0 \\sin(0)) = 0<\/span>\n\n\n\n

Sustituci\u00f3n en el polinomio de Taylor planteado:<\/p>\n\n\n p_2(x) = f(x_0) + \\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 <\/span>\n\n\n P_{2}(x) = 2+\\frac{1}{1} (x-0) +<\/span>\n\n\n + \\frac{0}{2}(x-0)^2 + <\/span>\n\n\n P_{2}(x) = 2+ x <\/span>\n\n\n\n

El error referenciado a los otros puntos ser\u00e1:<\/p>\n\n\n errado = |f(x)-p(x)| <\/span>\n\n\n errado = \\Big|\\Big( e^x \\cos (x) +1 \\Big) - (2+ x)\\Big| <\/span>\n\n\n\n

usando un punto diferente a x0=0, como x = \u03c0\/2<\/p>\n\n\n errado = \\Big| \\Big( e^{\\frac{\\pi}{2}}\\cos \\Big( \\frac{\\pi}{2} \\Big) +1 \\Big) - \\Big(2+ \\frac{\\pi}{2}\\Big) \\Big| <\/span>\n\n\n errado = | 1 - 3.5707| = 2.5707 <\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Tarea<\/strong>: calcular el error,  para x = \u03c0, verificando que pase por los puntos requeridos.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Opci\u00f3n 2. Usando el polinomio de interpolaci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

Siguiendo la unidad 4 para interpolaci\u00f3n, el polinomio requerido tiene la forma:<\/p>\n\n\n p(x) = a + bx + cx^2<\/span>\n\n\n\n

por lo que conociendo los pares ordenados por donde debe pasar se puede plantear las ecuaciones y encontrar a,b,c.<\/p>\n\n\n f(0) = e^0 \\cos (0) +1 = 2<\/span>\n\n\n f(\\pi\/2) = e^{\\pi\/2} \\cos (\\pi \/2) +1 = 1(0)+1 =1 <\/span>\n\n\n f(\\pi) = e^{\\pi} \\cos (\\pi) +1 = e^{\\pi} +1 <\/span>\n\n\n\n

se encuentra que a = 2 cuando x = 0 y que reemplazando los valores de x =\u03c0\/2 y x=\u03c0 se tiene:<\/p>\n\n\n\n

2 + (\u03c0\/2) b + (\u03c0\/2)2<\/sup> c = 1\n2 +    \u03c0  b +   (\u03c0)2<\/sup> c = e\u03c0<\/sup> +1<\/code><\/pre>\n\n\n\n
que se convierte en:<\/p>\n\n\n\n
(\u03c0\/2) b + (\u03c0\/2)2<\/sup> c = -1\n   \u03c0  b +   (\u03c0)2<\/sup> c = -(e\u03c0<\/sup> +1)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
al multiplicar la primera ecuaci\u00f3n por 2 y restando de la segunda<\/p>\n\n\n\n
- \u03c02<\/sup>\/2 c = e\u03c0<\/sup> -1\nc = (-2\/\u03c02<\/sup>)(e\u03c0<\/sup> -1)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
y sustituir c en la segunda ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
\u03c0 b + (\u03c0)2<\/sup> (-2\/\u03c02<\/sup>)(e\u03c0<\/sup> -1) = -(e\u03c0<\/sup> +1)
\u03c0 b = -(e\u03c0<\/sup> +1) + 2(e\u03c0<\/sup> -1) = -e\u03c0<\/sup> -1 + 2e\u03c0<\/sup> -2
b = (e\u03c0<\/sup> -3)\/\u03c0<\/p>\n\n\n\n
El polinomio resultante es:<\/p>\n\n\n p(x) = 2 + \\frac{e^{\\pi}-3}{\\pi}x + \\frac{-1(e^{\\pi}-1)}{\\pi ^2}x^2<\/span>\n\n\n\n
Probando respuesta con los valores en la funci\u00f3n y polinomio usando Python, se encuentra que el polinomio pasa por los puntos. <\/p>\n\n\n\n
Al observar la gr\u00e1fica observa que se cumple lo requerido pero visualiza el error de aproximaci\u00f3n usando el m\u00e9todo de la opci\u00f3n 2.<\/p>\n\n\n\n
\"s1Eva_IIT2010_T1_AN<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n\n
Algoritmo desarrollado en clase, usado como taller, modificado para el problema planteado.<\/p>\n\n\n\n
Observaci\u00f3n<\/em>: Se reordena el algoritmo para mantener ordenados y separados los bloques de ingreso, procedimiento y salida. As\u00ed los bloques pueden ser convertidos f\u00e1cilmente a funciones algor\u00edtmicas def-return<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
Observe que la variable n<\/strong><\/em> se interprete correctamente como \"t\u00e9rminos\" o \"grados\" del polinomio de Taylor.<\/p>\n\n\n
\n# Aproximaci\u00f3n Polinomio de Taylor alrededor de x0\n# f(x) en forma simb\u00f3lica con sympy\nimport numpy as np\nimport math\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO --------------------\nx = sym.Symbol('x')\nfx = sym.exp(x)*sym.cos(x) + 1\n\nx0 = 0\nn  = 3 # grado de polinomio\n\n# Intervalo para Gr\u00e1fica\na = 0\nb = np.pi\nmuestras = 21\n\n# PROCEDIMIENTO  -------------\n# construye polinomio Taylor\nk = 0 # contador de t\u00e9rminos\npolinomio = 0\nwhile (k <= n):\n    derivada   = fx.diff(x,k)\n    derivadax0 = derivada.subs(x,x0)\n    divisor   = math.factorial(k)\n    terminok  = (derivadax0\/divisor)*(x-x0)**k\n    polinomio = polinomio + terminok\n    k = k + 1\n\n# forma lambda para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\nfxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')\npxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')\n\n# evaluar en intervalo para gr\u00e1fica\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfxi = fxn(xi)\npxi = pxn(xi)\n\n# SALIDA  --------------------\nprint('polinomio p(x)=')\nprint(polinomio)\nprint()\nsym.pprint(polinomio)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi,fxi,label='f(x)')\nplt.plot(xi,pxi,label='p(x)')\n# franja de error\nplt.fill_between(xi,pxi,fxi,color='yellow')\nplt.xlabel('xi')\nplt.axvline(x0,color='green', label='x0')\nplt.axhline(0,color='grey')\nplt.title('Polinomio Taylor: f(x) vs p(x)')\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
Resultado del algoritmo<\/h2>\n\n\n\n
Revisar si el polinomio es concordante con lo realizado a l\u00e1piz y papel, de no ser as\u00ed revisar el algoritmo o los pasos realizados en papel, deben ser iguales.
Comprobando que el algoritmo est\u00e9 correcto y pueda ser usado en otros ejercicios.<\/p>\n\n\n\n
polinomio p(x)=\n-x**3\/3 + x + 2\n\n   3        \n  x         \n- -- + x + 2\n  3         <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Resultados gr\u00e1ficos para x0=0<\/h2>\n\n\n\n
Continuar con el ejercicio con x0 = \u03c0 y luego con el siguiente punto x0 = \u03c0\/2.<\/p>\n\n\n\n
Comparar resultados y presentar: Observaciones  y recomendaciones semejantes a las indicadas durante el desarrollo de la clase.<\/p>\n\n\n\n
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