{"id":6285,"date":"2020-06-10T18:53:15","date_gmt":"2020-06-10T23:53:15","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=6285"},"modified":"2026-04-05T19:45:18","modified_gmt":"2026-04-06T00:45:18","slug":"s1eva2009tii_t1-movimiento-particula-plano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva10\/s1eva2009tii_t1-movimiento-particula-plano\/","title":{"rendered":"s1Eva2009TII_T1 Movimiento de part\u00edcula en plano"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2009TII_T1 Movimiento de part\u00edcula en plano<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"s1EIIT20019T1<\/figure>\n\n\n\n

a. Planteamiento del problema<\/h2>\n\n\n\n

Las ecuaciones expresan las trayectorias de dos part\u00edculas,<\/p>\n\n\n x(t) = 3 \\sin ^{3}(t)-1<\/span>\n\n\n y(t) = 4 \\sin (t)\\cos (t)<\/span>\n\n\n\n

que para que se encuentren o choquen, sus coordenadas deber\u00edan ser iguales.<\/p>\n\n\n x(t) = y(t) <\/span>\n\n\n 3 \\sin ^{3}(t)-1 = 4 \\sin (t)\\cos (t)<\/span>\n\n\n\n

Se reordena la expresi\u00f3n, de la forma f(t) = 0 para usarla en el algoritmo de b\u00fasqueda de ra\u00edces.<\/p>\n\n\n 3 \\sin ^{3}(t)-1 - 4 \\sin (t)\\cos (t) = 0<\/span>\n\n\n f(t) = 3 \\sin ^{3}(t)-1 - 4 \\sin (t)\\cos (t)<\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n

b. Intervalo de b\u00fasqueda de ra\u00edz<\/h2>\n\n\n\n

Como la variable independiente es tiempo, el evento a buscar se supone sucede en tiempos positivos t>=0, por lo que el valor inicial a la izquierda del intervalo ser\u00e1 a=0<\/p>\n\n\n\n

Para el caso de b, a la derecha, se usa lo indicado en el enunciado para la pregunta del literal b, donde se indica t<\/strong> \u2208 [0, \u03c0\/2], por lo que b = \u03c0\/2<\/p>\n\n\n\n

[0, \u03c0\/2]<\/p>\n\n\n\n

verificando que exista cambio de signo entre f(a) y f(b)<\/p>\n\n\n f(0) = 3 \\sin ^{3}(0)-1 - 4 \\sin (0)\\cos (0) = -1<\/span>\n\n\n f(\\pi \/2) = 3 \\sin ^{3}(\\pi \/2)-1 - 4 \\sin (\\pi \/2)\\cos (\\pi \/2)<\/span>\n\n\n = 3 (1)^3-1 - 4 (1)(0) = 2<\/span>\n\n\n\n

con lo que se comprueba que al existir cambio de signo [-,+], debe existir una ra\u00edz en el intervalo.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

c. M\u00e9todo de Falsa Posici\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

Desarrollo anal\u00edtico con l\u00e1piz y papel<\/h3>\n\n\n\n

Se trata de mostrar los pasos en al menos tres iteraciones del m\u00e9todo, usando las siguientes expresiones:<\/p>\n\n\n f(t) = 3 \\sin ^{3}(t)-1 - 4 \\sin (t)\\cos (t)<\/span>\n\n\n c = b - f(b) \\frac{a-b}{f(a)-f(b)} <\/span>\n\n\n\n

[0, \u03c0\/2]<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 1<\/h4>\n\n\n a = 0 , b = \\pi\/2 <\/span>\n\n\n\n

tomando los datos al validar los puntos extremos<\/p>\n\n\n f(0) = -1 <\/span>\n\n\n f(\\pi \/2) = 2 <\/span>\n\n\n c = \\pi\/2 - 2 \\frac{0-\\pi\/2}{-1-2} = \\pi\/6 <\/span>\n\n\n f(\\pi\/6) = 3 \\sin ^{3}(\\pi\/6)-1 - 4 \\sin (\\pi\/6)\\cos (\\pi\/6)<\/span>\n\n\n = -2.3570 <\/span>\n\n\n\n

el signo de f(c) es el mismo que f(a), se ajusta el lado izquierdo<\/p>\n\n\n tramo = |c-a| = |\\pi \/6 - 0| = \\pi\/6 <\/span>\n\n\n a = c = \\pi\/6 , b = \\pi\/2<\/span>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 2<\/h4>\n\n\n a = \\pi\/6 , b = \\pi\/2 <\/span>\n\n\n f(\\pi\/6) = -2.3570 <\/span>\n\n\n f(\\pi \/2) = 2 <\/span>\n\n\n c = \\pi\/2 - 2 \\frac{\\pi\/6-\\pi\/2}{-1-2} = 1.0901 <\/span>\n\n\n f(1.0901) = 3 \\sin ^{3}(1.0901)-1 - 4 \\sin (1.0901)\\cos (1.0901)<\/span>\n\n\n = -0.5486 <\/span>\n\n\n\n

el signo de f(c) es el mismo que f(a), se ajusta el lado izquierdo<\/p>\n\n\n tramo = |c-a| = | 1.0901-\\pi\/6| = 1.0722 <\/span>\n\n\n a = c = 1.0901 , b = \\pi\/2<\/span>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 3<\/h4>\n\n\n a = 1.0901 , b = \\pi\/2 <\/span>\n\n\n f(1.0901) = -0.5486 <\/span>\n\n\n f(\\pi \/2) = 2 <\/span>\n\n\n c = \\pi\/2 - 2 \\frac{-0.5486-\\pi\/2}{-0.5486-2} = 1.19358 <\/span>\n\n\n f(1.19358) = 3 \\sin ^{3}(1.19358)-1 - 4 \\sin (1.19358)\\cos (1.19358)<\/span>\n\n\n = 0.0409 <\/span>\n\n\n\n

el signo de f(c) es el mismo que f(b), se ajusta el lado derecho<\/p>\n\n\n tramo = |b-c| = | \\pi\/2- 1.19358| = 0.3772 <\/span>\n\n\n a = 1.0901 , b = 1.19358<\/span>\n\n\n\n

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