Gauss-Seidel<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: Chapra 11.2 p310, Burden 7.3 p337, Rodr\u00edguez 5.2 p162<\/p>\n\n\n\n El m\u00e9todo de Gauss-Seidel<\/strong>, reescribe las expresiones del sistema de ecuaciones, despejando la inc\u00f3gnita de la diagonal en cada ecuaci\u00f3n. Usa el vector inicial X<\/strong>0<\/sub>, actualizando el vector X<\/strong> por cada nuevo valor calculado del vector. La diferencia principal con el m\u00e9todo de Jacobi es la actualizaci\u00f3n de X<\/strong> en cada c\u00e1lculo, por lo que las iteraciones llegan m\u00e1s r\u00e1pido al punto cuando el m\u00e9todo converge.<\/p>\n\n\n\n Las iteraciones pueden ser o no, convergentes.<\/p>\n\n\n\n La expresi\u00f3n para encontrar nuevos valores usando la matriz de coeficientes A, el vector de constantes B y como inc\u00f3gnitas X es la misma que Jacobi:<\/p>\n\n\n x_i = \\bigg(b_i - \\sum_{j=0, j\\neq i}^n a_{i,j}x_j\\bigg) \\frac{1}{a_{ii}} <\/span>\n\n\n\n La convergencia del m\u00e9todo iterativo se puede revisar usando el n\u00famero de condici\u00f3n de la matriz de coeficientes A<\/strong>. Un resultado cercano a 1<\/em>, implica que el sistema ser\u00e1 convergente.<\/p>\n\n\n\n cond(A) = ||A|| ||A-1<\/sup>||<\/p>\n\n\n\n Gauss-Seidel<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Referencia<\/strong><\/em>: 1Eva2011TII_T2 Sistema de Ecuaciones, diagonal dominante<\/a><\/p>\n\n\n\n Considere el siguiente sistema de ecuaciones AX=B dado por:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\\\7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Luego del pivoteo parcial por filas<\/a>, el sistema de ecuaciones a usar para el m\u00e9todo de Gauss-Seidel es:<\/p>\n\n\n \\begin{cases} 7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\\\-2x+5y+9z=1\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n Desarrolle el ejercicio usando el m\u00e9todo de Gauss-Seidel<\/strong>, tomando como vector inicial X0<\/sub>=[0,0,0] y tolerancia de 0.0001<\/p>\n\n\n\n Compare<\/strong> los resultados con el m\u00e9todo de Jacobi<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Gauss-Seidel<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Anal\u00edtico<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo<\/a><\/p>\n\n\n\n funci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Para el m\u00e9todo de Gauss-Seidel, se usan las ecuaciones reordenas con el pivoteo parcial por filas<\/a>, para que en lo posible sea diagonal dominante que mejora la convergencia. El resultado del algoritmo a partir de las ecuaciones presentadas al inicio es:<\/p>\n\n\n\n se reescriben despejando la inc\u00f3gnita de la diagonal en cada ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n x=\\frac{6-y-z}{7} <\/span>\n\n\n y= \\frac{-26+3x+z}{7} <\/span>\n\n\n z=\\frac{1+2x-5y}{9} <\/span>\n\n\n\n El vector inicial X0<\/sub>=[0,0,0] representa un punto de partida, valores estimados o semilla para buscar la soluci\u00f3n a las variables X0<\/sub>=[x0<\/sub>,y0<\/sub>,z0<\/sub>].<\/p>\n\n\n\n Como las ecuaciones son el comportamiento del 'sistema<\/strong><\/em>', se usan con X0<\/sub> para obtener un nuevo<\/strong> y mejor valor estimado para la soluci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n itera = 0<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n X_0=[x_0,y_0,z_0] <\/span>\n\n\n X_1 = X_0=[0,0,0] <\/span>\n\n\n x_1=\\frac{6-(0)-(0)}{7} =\\frac{6}{7}=0.8571<\/span>\n\n\n\n Se actualiza el vector X1<\/sub>,<\/p>\n\n\n X_1 = [0.8571,0,0] <\/span>\n\n\n y_1= \\frac{-26+3(0.8571)+(0)}{7} =-3.3469<\/span>\n\n\n\n Se actualiza el vector X1<\/sub>,<\/p>\n\n\n X_1 = [0.8571,-3.3469,0] <\/span>\n\n\n z_1=\\frac{1+2(0.8571)-5(-3.3469)}{9} =\\frac{1}{9}=2.161<\/span>\n\n\n X_1=[0.8571, -3.3469, 2.161] <\/span>\n\n\n\n Para revisar si se est\u00e1 m\u00e1s cerca o no de la soluci\u00f3n se calculan los desplazamientos o diferencias<\/strong> entre los valores anteriores y los nuevos:<\/p>\n\n\n \\text{diferencias}=X_1-X_0<\/span>\n\n\n =[0.8571-0, -3.3469-0, 2.161-0]<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. El m\u00e9todo iterativo de Gauss-Seidel<\/h2>\n\n\n\n
![\"M\u00e9todo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/gaussseidel_animado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\nnp.linalg.cond(A)<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n3. Desarrollo Anal\u00edtico<\/h2>\n\n\n\n
Pivoteo parcial por filas AB:\n[[ 7. 1. 1. 6.]\n [ -3. 7. -1. -26.]\n [ -2. 5. 9. 1.]]\nA:\n[[ 7. 1. 1.]\n [-3. 7. -1.]\n [-2. 5. 9.]]\nB:\n[ 6. -26. 1.]<\/code><\/pre>\n\n\n \\begin{cases} 7x+y+z=6\\\\-3x+7y-z=-26\\\\-2x+5y+9z=1\\end{cases} <\/span>\n\n\n\n [0.8571, -3.3469, 2.161]\n-[0. , 0. , 0. ]\n__________________________\n [0.8571, -3.3469, 2.161]<\/code><\/pre>\n\n\n \\text{diferencias}=[0.8571, -3.3469, 2.161]<\/span>\n\n\n\n
![\"M\u00e9todo](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/06\/gauss_seidel_x_itera_errores.png\")
<\/figure>\n\n\n\n