{"id":7361,"date":"2021-07-06T20:00:06","date_gmt":"2021-07-07T01:00:06","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=7361"},"modified":"2026-04-05T20:05:38","modified_gmt":"2026-04-06T01:05:38","slug":"s1eva2021paoi_t3-interpolar-modelo-de-contagios-2020","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2021paoi_t3-interpolar-modelo-de-contagios-2020\/","title":{"rendered":"s1Eva2021PAOI_T3 Interpolar, modelo de contagios 2020"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2021PAOI_T3 Interpolar, modelo de contagios 2020<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Los datos de los pacientes casos graves entre las semanas 11 a la 20, que son el intervalo donde ser\u00e1 v\u00e1lido el polinomio de interpolaci\u00f3n son:<\/p>\n\n\n\n

semana<\/td>11<\/strong><\/td>12<\/td>13<\/strong><\/td>14<\/td>15<\/td>16<\/strong><\/td>17<\/td>18<\/strong><\/td>19<\/td>20<\/strong><\/td><\/tr>
casos graves<\/td>1503<\/strong><\/td>3728<\/td>7154<\/strong><\/td>6344<\/td>4417<\/td>3439<\/strong><\/td>2791<\/td>2576<\/strong><\/td>2290<\/td>2123<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

de los cuales solo se usar\u00e1n los indicados en el literal a : 11,13,16,18,20.<\/p>\n\n\n\n

xi0 = [    9,   10,   11,   12,   13,   14,\n          15,   16,   17,   18,   19,   20,\n          21,   22,   23,   24,   25,   26 ])\nfi0 = [ 1435, 1645, 1503, 3728, 7154, 6344,\n        4417, 3439, 2791, 2576, 2290, 2123,\n        2023, 2067, 2163, 2120, 2125, 2224 ])\nxi = [  11,   13,   16,   18,   20]\nfi = [1503, 7154, 3439, 2576, 2123]\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se observa que los datos est\u00e1n ordenados en forma ascendente respecto a la variable independiente, tambi\u00e9n se determina que no se encuentran equidistantes entre si<\/strong> (13-11=2<\/em>, 16-13=3<\/em>)<\/code>. Por lo que se descarta usar el m\u00e9todo de diferencias finitas avanzadas.<\/p>\n\n\n\n
Los m\u00e9todos que se podr\u00edan usar con puntos no equidistantes en el eje semanas ser\u00edan el m\u00e9todo de diferencias divididas de Newton o el  m\u00e9todo de Lagrange.<\/p>\n\n\n\n
Seleccionando por ejemplo, Diferencias divididas de Newton, donde primero se realiza la tabla:<\/p>\n\n\n\n
xi<\/td>fi<\/td>f[x1,x0]<\/td>f[x2,x1,x0]<\/td>f[x3,x2,x1,x0]<\/td>f[x4,x3,x2,x1,x0]<\/td><\/tr>
11<\/td>1503<\/td>=(7154-1503) \/(13-11) = 2825.5<\/strong><\/td>=(-1238.33-2835.5) \/(16-11) = -812.76<\/strong><\/td>=(161.36-(-812.76)) \/(18-11) = 139.16<\/strong><\/td>=(-15.73-139.16) \/(20-11) = -17.21<\/strong><\/td><\/tr>
13<\/td>7154<\/td>(3439-7154) \/(16-13) = -1238.33<\/strong><\/td>(-431.5-(-1238.33)) \/(18-13) = 161.36<\/strong><\/td>(51.25-161.36) \/(20-13)= -15.73<\/strong><\/td>----<\/td><\/tr>
16<\/td>3439<\/td>(2576-3439) \/(18-16) = -431.5<\/strong><\/td>(-226.5-(-431.5)) \/(20-16) = 51.25<\/strong><\/td>----<\/td> <\/td><\/tr>
18<\/td>2576<\/td>(2123-2576) \/(20-18) = -226.5<\/strong><\/td>----<\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
20<\/td>2123<\/td>----<\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
con lo que se puede construir el polinomio usando las diferencias divididas para el intervalo dado:<\/p>\n\n\n\n
[2825.5    -812.76  139.16  -17.21]<\/code><\/pre>\n\n\n p_4(x) = 1503 + 2825.5(x-11) - 812.76(x - 13)(x - 11) <\/span>\n\n\n + 139.16(x - 16)(x - 13)(x - 11) <\/span>\n\n\n - 17.21(x - 18)(x - 16) (x - 13) (x - 11) <\/span>\n\n\n\n
Simplificando el algoritmo se tiene:<\/p>\n\n\n p_4(x) = - 1172995.28 + 298304.50 x <\/span>\n\n\n - 27840.50x^2 + 1137.36x^3 - 17.21 x^4 <\/span>\n\n\n\n
\"1Eva2021PAOI<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal b<\/h2>\n\n\n\n
El c\u00e1lculo de los errores se puede realizar usando el polinomio de grado 4 encontrado, notando que los errores deber\u00edan ser cero para los puntos usados para el modelo del polinomio.<\/p>\n\n\n\n
xi<\/th>fi<\/th>p4<\/sub>(x)<\/th>|error|<\/th><\/tr><\/thead>
11<\/td>1503<\/td>1503<\/td>0<\/td><\/tr>
12<\/strong><\/td>3728<\/td>6110.96<\/td>2382.96<\/strong><\/td><\/tr>
13<\/td>7154<\/td>7154<\/td>0<\/td><\/tr>
14<\/td>6344<\/td>6293.18<\/td>50.81<\/td><\/tr>
15<\/td>4417<\/td>4776.52<\/td>359.52<\/td><\/tr>
16<\/td>3439<\/td>3439<\/td>0<\/td><\/tr>
17<\/td>2791<\/td>2702.53<\/td>88.46<\/td><\/tr>
18<\/td>2576<\/td>2576<\/td>0<\/td><\/tr>
19<\/td>2290<\/td>2655.22<\/td>365.22<\/td><\/tr>
20<\/td>2123<\/td>2123<\/td>0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal c<\/h2>\n\n\n\n
Podr\u00eda aplicarse uno de varios criterios, lo importante por lo limitado del tiempo en la evaluaci\u00f3n son las conclusiones y recomendaciones expresadas en el literal e, basadas en lo realizado en los literales c y d. Teniendo como opciones:<\/p>\n\n\n\n
- cambiar uno de los puntos seleccionados, manteniendo as\u00ed el grado del polinomio
- aumentar el n\u00famero de puntos usados para armar el polinomio con grado mayor
- dividir el intervalo en uno o mas segmentos, con el correspondiente n\u00famero de polinomios.<\/p>\n\n\n\n
Se desarrolla la opci\u00f3n de cambiar uno de los puntos seleccionados<\/strong>, usando para esta ocasi\u00f3n como repaso la interpolaci\u00f3n de Lagrange. Para los puntos se usa el punto con mayor error de la tabla del literal anterior y se elimina el punto pen\u00faltimo, es decir se usa la semana 12 en lugar de la semana 18 de la siguiente forma:<\/p>\n\n\n\n
xi = [  11,   12,   13,   16,   20]\nfi = [1503, 3728, 7154, 3439, 2123]<\/code><\/pre>\n\n\n p_4(x) = 1503 \\frac{(x-12)(x-13)(x-16)(x-20)}{(11-12)(11-13)(11-16)(11-20)} <\/span>\n\n\n + 3728\\frac{(x-11)(x-13)(x-16)(x-20)}{(12-11)(12-13)(12-16)(12-20)} <\/span>\n\n\n + 7154\\frac{(x-11)(x-12)(x-16)(x-20)}{(13-11)(13-12)(13-16)(13-20)}<\/span>\n\n\n + 3439\\frac{(x-11)(x-12)(x-13)(x-20)}{(16-11)(16-12)(16-13)(16-20)}<\/span>\n\n\n + 2123\\frac{(x-11)(x-12)(x-13)(x-16)}{(20-11)(20-12)(20-13)(20-16)}<\/span>\n\n\n\n
Simplificando el polinomio:<\/p>\n\n\n p_4(x) = \\frac{46927445}{21} - \\frac{1655552687}{2520} x + \\frac{715457663}{10080}x^2 <\/span>\n\n\n - \\frac{8393347}{2520} x^3 + \\frac{577153}{10080} x^4<\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n\n
El c\u00e1lculo de los errores se puede realizar usando el polinomio de grado 4 encontrado, notando que los errores deber\u00edan ser cero para los puntos usados para el modelo del polinomio.<\/p>\n\n\n\n
xi<\/th>fi<\/th>p4(x)<\/th>error<\/th><\/tr><\/thead>
11<\/td>1503<\/td>1503<\/td>0<\/td><\/tr>
12<\/td>3728<\/td>3728<\/td>0<\/td><\/tr>
13<\/td>7154<\/td>7154<\/td>0<\/td><\/tr>
14<\/td>6344<\/td>8974.01<\/td>2630.01<\/td><\/tr>
15<\/td>4417<\/td>7755.22<\/td>3338.22<\/td><\/tr>
16<\/td>3439<\/td>3439<\/td>0<\/td><\/tr>
17<\/td>2791<\/td>-2659.13<\/td>-5450.13<\/td><\/tr>
18<\/td>2576<\/td>-7849.45<\/td>-10425.45<\/td><\/tr>
19<\/td>2290<\/td>-8068.1<\/td>-10358.1<\/td><\/tr>
20<\/td>2123<\/td>2123<\/td>0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal e<\/h2>\n\n\n\n
El cambio aplicado a los puntos usados<\/strong> en el modelo del polinomio disminuy\u00f3 el error entre las semanas 11 a 13. Sin embargo la magnitud del error aument\u00f3<\/strong>  para las semanas posteriores a la 13, es decir aument\u00f3 la distorsi\u00f3n de la estimaci\u00f3n y se recomienda realizar otras pruebas<\/strong> para mejorar el modelo aplicando los otros criterios<\/strong> para determinar el que tenga mejor desempe\u00f1o respecto a la medida de error.<\/p>\n\n\n\n
\"1eva2021paoiconfinamiento2020_literalc\"<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Literal a y b. Desarrollado a partir del algoritmo desarrollado en clases:<\/p>\n\n\n
\n# Polinomio interpolaci\u00f3n\n# Diferencias Divididas de Newton\n# Tarea: Verificar tama\u00f1o de vectores,\n#        verificar puntos equidistantes en x\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nxi0 = np.array([    9,   10,   11,   12,   13,   14,\n                   15,   16,   17,   18,   19,   20,\n                   21,   22,   23,   24,   25,   26 ])\nfi0 = np.array([ 1435, 1645, 1503, 3728, 7154, 6344,\n                 4417, 3439, 2791, 2576, 2290, 2123,\n                 2023, 2067, 2163, 2120, 2125, 2224 ])\n\nxi1 = np.array([   11,   12,   13,   14,   15,   16,\n                   17,   18,   19,   20 ])\nfi1 = np.array([ 1503, 3728, 7154, 6344, 4417, 3439,\n                 2791, 2576, 2290, 2123 ])\n\nxi = np.array([  11,   13,   16,   18,   20])\nfi = np.array([1503, 7154, 3439, 2576, 2123])\n\n# PROCEDIMIENTO\n\n# Tabla de Diferencias Divididas Avanzadas\ntitulo = ['i   ','xi  ','fi  ']\nn = len(xi)\nki = np.arange(0,n,1)\ntabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)\ntabla = np.transpose(tabla)\n\n# diferencias divididas vacia\ndfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\ntabla = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)\n\n# Calcula tabla, inicia en columna 3\n[n,m] = np.shape(tabla)\ndiagonal = n-1\nj = 3\nwhile (j < m):\n    # A\u00f1ade t\u00edtulo para cada columna\n    titulo.append('F['+str(j-2)+']')\n\n    # cada fila de columna\n    i = 0\n    paso = j-2 # inicia en 1\n    while (i < diagonal):\n        denominador = (xi[i+paso]-xi[i])\n        numerador = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]\n        tabla[i,j] = numerador\/denominador\n        i = i+1\n    diagonal = diagonal - 1\n    j = j+1\n\n# POLINOMIO con diferencias Divididas\n# caso: puntos equidistantes en eje x\ndDividida = tabla[0,3:]\nn = len(dfinita)\n\n# expresi\u00f3n del polinomio con Sympy\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = fi[0]\nfor j in range(1,n,1):\n    factor = dDividida[j-1]\n    termino = 1\n    for k in range(0,j,1):\n        termino = termino*(x-xi[k])\n    polinomio = polinomio + termino*factor\n\n# simplifica multiplicando entre (x-xi)\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# polinomio para evaluacion num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polisimple)\n\n# calcula errores en intervalo usado\npfi1 = px(xi1)\nerrado1 = np.abs(fi1-pfi1)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision = 4)\nprint('Tabla Diferencia Dividida')\nprint([titulo])\nprint(tabla)\nprint('dDividida: ')\nprint(dDividida)\nprint('polinomio: ')\nprint(polinomio)\nprint('polinomio simplificado: ' )\nprint(polisimple)\nprint('errores en intervalo:')\nprint(xi1)\nprint(errado1)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi0,fi0,'o', label = 'Puntos')\nplt.plot(xi,fi,'ro', label = 'Puntos')\nfor i in range(0,n,1):\n    etiqueta = '('+str(xi[i])+','+str(fi[i])+')'\n    plt.annotate(etiqueta,(xi[i],fi[i]))\nplt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.title('Diferencias Divididas - Newton')\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
Literal c y d. Se puede continuar con el algoritmo anterior. Como repaso se adjunta un m\u00e9todo diferente al anterior.<\/p>\n\n\n
\n# Interpolacion de Lagrange\n# divisores L solo para mostrar valores\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nxi0 = np.array([    9,   10,   11,   12,   13,   14,\n                   15,   16,   17,   18,   19,   20,\n                   21,   22,   23,   24,   25,   26 ])\nfi0 = np.array([ 1435, 1645, 1503, 3728, 7154, 6344,\n                 4417, 3439, 2791, 2576, 2290, 2123,\n                 2023, 2067, 2163, 2120, 2125, 2224 ])\n\nxi2 = np.array([   11,   12,   13,   14,   15,   16,\n                   17,   18,   19,   20 ])\nfi2 = np.array([ 1503, 3728, 7154, 6344, 4417, 3439,\n                 2791, 2576, 2290, 2123 ])\n\nxi = np.array([  11,   12,   13,   16,   20])\nfi = np.array([1503, 3728, 7154, 3439, 2123])\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Polinomio de Lagrange\nn = len(xi)\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0\ndivisorL = np.zeros(n, dtype = float)\nfor i in range(0,n,1):\n    \n    # Termino de Lagrange\n    numerador = 1\n    denominador = 1\n    for j  in range(0,n,1):\n        if (j!=i):\n            numerador = numerador*(x-xi[j])\n            denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])\n    terminoLi = numerador\/denominador\n\n    polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]\n    divisorL[i] = denominador\n\n# simplifica el polinomio\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polisimple)\n\n# calcula errores en intervalo usado\npfi2 = px(xi2)\nerrado2 = np.abs(fi2-pfi2)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\n\n# SALIDA\nprint('    valores de fi: ',fi)\nprint('divisores en L(i): ',divisorL)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange, expresiones')\nprint(polinomio)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange: ')\nprint(polisimple)\nprint('errores en intervalo:')\nprint(xi2)\nprint(errado2)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi0,fi0,'o', label = 'Puntos')\nplt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.title('Interpolaci\u00f3n Lagrange')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 1Eva2021PAOI_T3 Interpolar, modelo de contagios 2020 literal a Los datos de los pacientes casos graves entre las semanas 11 a la 20, que son el intervalo donde ser\u00e1 v\u00e1lido el polinomio de interpolaci\u00f3n son: semana 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 casos graves 1503 3728 7154 6344 4417 3439 2791 […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[46],"tags":[58,54],"class_list":["post-7361","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s1eva30","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7361","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7361"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7361\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23845,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7361\/revisions\/23845"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7361"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7361"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7361"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}