{"id":7405,"date":"2021-07-06T20:00:45","date_gmt":"2021-07-07T01:00:45","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=7405"},"modified":"2026-04-05T20:04:43","modified_gmt":"2026-04-06T01:04:43","slug":"s1eva2021paoi_t2-atencion-hospitalaria-con-medicamentos-limitados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2021paoi_t2-atencion-hospitalaria-con-medicamentos-limitados\/","title":{"rendered":"s1Eva2021PAOI_T2 Atenci\u00f3n hospitalaria con medicamentos limitados"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2021PAOI_T2 Atenci\u00f3n hospitalaria con medicamentos limitados<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a<\/h2>\n\n\n\n

Se plantea el sistema de ecuaciones de acuerdo a la cantidad de medicamentos que se administra a cada tipo de paciente, siendo las variables X=[a,b,c,d] de acuerdo a la tabla:<\/p>\n\n\n\n

<\/th>Ni\u00f1os<\/th>Adolescentes<\/th>Adultos<\/th>Adultos Mayores<\/th>Medicamentos \/semana<\/th><\/tr><\/thead>
Medicamento_A<\/td>0.3<\/td>0.4<\/td>1.1<\/td>4.7<\/td>3500<\/td><\/tr>
Medicamento_B<\/td>1<\/td>3.9<\/td>0.15<\/td>0.25<\/td>3450<\/td><\/tr>
Medicamento_C<\/td>0<\/td>2.1<\/td>5.6<\/td>1.0<\/td>6500<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n 0.3 a + 0.4 b + 1.1 c + 4.7 d = 3500 <\/span>\n\n\n a + 3.9 b + 0.15 c + 0.25 d = 3450 <\/span>\n\n\n 0 a +2.1 b + 5.6 c + 1.0 d = 6500 <\/span>\n\n\n\n

Mostrando que el n\u00famero de inc\u00f3gnitas no es igual al n\u00famero de ecuaciones, por lo que ser\u00eda necesario de disponer de otra ecuaci\u00f3n, o  usar una variable libre.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

literal b<\/h2>\n\n\n\n

Siguiendo las indicaciones sobre la variable libre que sea para el grupo de pacientes ni\u00f1os, te tiene que<\/p>\n\n\n 0.4 b + 1.1 c + 4.7 d = 3500 - 0.3 K <\/span>\n\n\n 3.9 b + 0.15 c + 0.25 d = 3450 - K<\/span>\n\n\n 2.1 b + 5.6 c + 1.0 d = 6500 - 0 K<\/span>\n\n\n\n

y haciendo K = 100, se convierte en :<\/p>\n\n\n 0.4 b + 1.1 c + 4.7 d = 3500 - 0.3(100) = 3470<\/span>\n\n\n 3.9 b + 0.15 c + 0.25 d = 3450 - 100 = 3350<\/span>\n\n\n 2.1 b + 5.6 c + 1.0 d = 6500 - 0 = 6500<\/span>\n\n\n\n

literal c<\/h2>\n\n\n\n

Antes de desarrollar el ejercicio para el algoritmo se requiere convertir el sistema de ecuaciones a su forma matricial. Por lo que se plantea la matriz aumentada:<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 0.4 & 1.1 & 4.7 & \\Big| & 3470 \\\\ 3.9 & 0.15 &0.25 & \\Big| & 3350 \\\\ 2.1 & 5.6 & 1.0 &\\Big| & 6500\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

Se realiza el pivoteo parcial por filas, que al aplicar en la primera columna, se intercambia la primera y segunda fila, de tal forma que el mayor valor quede en la primera casilla de la diagonal.<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 3.9 & 0.15 &0.25 & \\Big| & 3350 \\\\ 0.4 & 1.1 & 4.7 & \\Big| & 3470 \\\\ 2.1 & 5.6 & 1.0 &\\Big| & 6500\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

se continua el mismo proceso para la segunda casilla de la diagonal hacia abajo, se aplica tambi\u00e9n pivoteo parcial,<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 3.9 & 0.15 &0.25 & \\Big| & 3350 \\\\ 2.1 & 5.6 & 1.0 &\\Big| & 6500 \\\\ 0.4 & 1.1 & 4.7 & \\Big| & 3470 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

Con lo que el sistema queda listo para resolver por cualquier m\u00e9todo.<\/p>\n\n\n\n

Si seleccionamos Gauss-Seidel, el vector inicial de acuerdo al enunciado ser\u00e1 X0=[100,100,100]<\/p>\n\n\n\n

y las ecuaciones a resolver son:<\/p>\n\n\n b = \\frac{3350 - 0.15 c - 0.25 d}{3.9} <\/span>\n\n\n c = \\frac{6500 - 2.1 b - 1.0 d}{5.6} <\/span>\n\n\n d = \\frac{3470- 0.4 b - 1.1 c}{4.7}<\/span>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 1<\/h3>\n\n\n\n

X0=[100,100,100]<\/p>\n\n\n b = \\frac{3350 - 0.15(100) - 0.25 (100)}{3.9} = 848.71 <\/span>\n\n\n c = \\frac{6500 - 2.1 (848.71 ) - 1.0 (100)}{5.6} = 824.58<\/span>\n\n\n d = \\frac{3470- 0.4 (848.71 ) - 1.1 (824.58)}{4.7} = 473.07<\/span>\n\n\n\n

X1=[848.71, 824.58, 473.07]<\/p>\n\n\n\n

diferencia = [848.71, 824.58, 473.07] - [100,100,100]<\/p>\n\n\n\n

diferencia = [748.71, 724.58, 373.07]<\/p>\n\n\n\n

error = max|diferencia| = 748.71<\/p>\n\n\n\n

resultado del error es mayor que tolerancia de 0.01, se continua con la siguiente iteraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 2<\/h3>\n\n\n\n

X1=[848.71, 824.58, 473.07]<\/p>\n\n\n b = \\frac{3350 - 0.15 (824.58) - 0.25 (473.07)}{3.9} = 796.93 <\/span>\n\n\n c = \\frac{6500 - 2.1 (796.93) - 1.0 (473.07)}{5.6} = 777.38 <\/span>\n\n\n d = \\frac{3470- 0.4 (796.93) - 1.1 (777.38)}{4.7} = 488.53 <\/span>\n\n\n\n

X2 = [796.93, 777.38, 488.53]<\/p>\n\n\n\n

diferencia = [796.93, 777.38, 488.53]  - [848.71, 824.58, 473.07]<\/p>\n\n\n\n

diferencia = [-51.78 ,  -47.2, 15.52]<\/p>\n\n\n\n

error = max|diferencia| = 51.78<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n 3<\/h3>\n\n\n\n

X2 = [796.93, 777.38, 488.53]<\/p>\n\n\n b = \\frac{3350 - 0.15 (777.38) - 0.25 (488.53)}{3.9} = 797.75<\/span>\n\n\n c = \\frac{6500 - 2.1 (797.75) - 1.0 (488.53)}{5.6} = 774.31 <\/span>\n\n\n d = \\frac{3470- 0.4 (797.75) - 1.1 (774.31)}{4.7} = 489.18 <\/span>\n\n\n\n

x3 = [ 797.75, 774.31, 489.18]<\/p>\n\n\n\n

diferencias = [ 797.75, 774.31, 489.18] - [796.93, 777.38, 488.53]<\/p>\n\n\n\n

diferencias = [0.82, -3.07, 0.65]<\/p>\n\n\n\n

error = max|diferencia| = 3.07<\/p>\n\n\n\n

Observaci\u00f3n, el error disminuye en cada iteraci\u00f3n, por lo que el sistema converge.<\/p>\n\n\n\n

soluci\u00f3n con el algoritmo, solo se toma la parte entera de la respuesta, pues los pacientes son n\u00fameros enteros.<\/p>\n\n\n\n

respuesta X: [797.83, 774.16, 489.20]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
con lo que el primer resultado es:<\/p>\n\n\n\n
 X = [797, 774, 489]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
literal d<\/h2>\n\n\n\n
Si la cantidad de pacientes presentados en una semana es la que se indica en el enunciado [350,1400,1500,1040], se determina que el sistema hospitalario estatal no podr\u00e1 atender a todos los pacientes al compara con la capacidad encontrada en el literal c.<\/p>\n\n\n\n
Hay un exceso de 2129 pacientes encontrados por grupo:<\/p>\n\n\n\n
exceso = [350, 1400, 1500, 1040] - [100, 797, 774, 489] = [250, 603, 726, 551]<\/p>\n\n\n\n
con lo que se recomienda una medida de confinamiento para disminuir los contagios y poder atender a los pacientes que se presenten.<\/p>\n\n\n\n
literal e<\/h3>\n\n\n\n
Siendo K = 0, al estar vacunados todos los ni\u00f1os, y suponiendo que la vacuna es una cura, se tiene:<\/p>\n\n\n 0.4 b + 1.1 c + 4.7 d = 3500 - 0.3 K = 3500 <\/span>\n\n\n 3.9 b + 0.15 c + 0.25 d = 3450 - K = 3450 <\/span>\n\n\n 2.1 b + 5.6 c + 1.0 d = 6500 - 0 k = 6500 <\/span>\n\n\n\n
pivoteado parcialmente por filas se tiene:<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 3.9 & 0.15 &0.25 & \\Big| & 3450 \\\\ 2.1 & 5.6 & 1.0 &\\Big| & 6500 \\\\ 0.4 & 1.1 & 4.7 & \\Big| & 3500 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n
Resolviendo por un m\u00e9todo directo:<\/p>\n\n\n\n
se obtiene:<\/p>\n\n\n\n
respuesta X: [823.46, 763.35, 495.94]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
que al compararse con la capacidad anterior en n\u00fameros enteros se encuentra una diferencia de un incremento de 21 pacientes neto ante la condici\u00f3n de usar todos los medicamentos disponibles.<\/p>\n\n\n\n
diferencia = [823, 763, 495] - [797, 774, 489] = [26, -11, 6]<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
 Instrucciones en Python<\/h2>\n\n\n
\n# M\u00e9todo de Gauss-Seidel\n# soluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones\n# por m\u00e9todos iterativos\n\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nA = np.array([[0.4, 1.10, 4.7 ],\n              [3.9, 0.15, 0.25],\n              [2.1, 5.60, 1.0  ]])\nk = 100\nB = np.array([3500.-0.3*k,3450-1*k,6500-0*k])\n\nX0  = np.array([100.0,100,100])\n\ntolera = 0.001\niteramax = 100\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Matriz aumentada\nBcolumna = np.transpose([B])\nAB  = np.concatenate((A,Bcolumna),axis=1)\nAB0 = np.copy(AB)\n\n# Pivoteo parcial por filas\ntamano = np.shape(AB)\nn = tamano[0]\nm = tamano[1]\n\n# Para cada fila en AB\nfor i in range(0,n-1,1):\n    # columna desde diagonal i en adelante\n    columna = abs(AB[i:,i])\n    dondemax = np.argmax(columna)\n    \n    # dondemax no est\u00e1 en diagonal\n    if (dondemax !=0):\n        # intercambia filas\n        temporal = np.copy(AB[i,:])\n        AB[i,:]  = AB[dondemax+i,:]\n        AB[dondemax+i,:] = temporal\n\nA = np.copy(AB[:,:n])\nB = np.copy(AB[:,n])\n\n# Gauss-Seidel\ntamano = np.shape(A)\nn = tamano[0]\nm = tamano[1]\n#  valores iniciales\nX = np.copy(X0)\ndiferencia = np.ones(n, dtype=float)\nerrado = 2*tolera\n\nitera = 0\nwhile not(errado<=tolera or itera>iteramax):\n    # por fila\n    for i in range(0,n,1):\n        # por columna\n        suma = 0 \n        for j in range(0,m,1):\n            # excepto diagonal de A\n            if (i!=j): \n                suma = suma-A[i,j]*X[j]\n        \n        nuevo = (B[i]+suma)\/A[i,i]\n        diferencia[i] = np.abs(nuevo-X[i])\n        X[i] = nuevo\n    print(X)\n    errado = np.max(diferencia)\n    itera = itera + 1\n\n# Respuesta X en columna\nX = np.transpose([X])\n\n# revisa si NO converge\nif (itera>iteramax):\n    X=0\n# revisa respuesta\nverifica = np.dot(A,X)\n\n# SALIDA\nprint('respuesta X: ')\nprint(X)\nprint('verificar A.X=B: ')\nprint(verifica)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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