{"id":7860,"date":"2021-11-26T21:51:16","date_gmt":"2021-11-27T02:51:16","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=7860"},"modified":"2026-04-05T20:03:54","modified_gmt":"2026-04-06T01:03:54","slug":"s1eva2021paoii_t2-interseccion-de-funciones-obstruccion-radioenlace","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2021paoii_t2-interseccion-de-funciones-obstruccion-radioenlace\/","title":{"rendered":"s1Eva2021PAOII_T2 Intersecci\u00f3n de funciones \u2013 Obstrucci\u00f3n Radioenlace"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2021PAOII_T2 Intersecci\u00f3n de funciones - Obstrucci\u00f3n Radioenlace<\/a><\/p>\n\n\n\n

Planteamiento del ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Para analizar la obstrucci\u00f3n se usan las expresiones del polinomio encontrado en el tema anterior y la funci\u00f3n descrita en el enunciado. Se debe encontrar las distancias en las que ambas expresiones son iguales, o tambi\u00e9n:<\/p>\n\n\n p(d)- f(d) = 0 <\/span>\n\n\n\n

\"Enlace<\/figure>\n\n\n\n

a. Establezca un intervalo de an\u00e1lisis para cada ra\u00edz.<\/p>\n\n\n\n

Seg\u00fan la gr\u00e1fica presentada en el Tema 1 se tendr\u00e1n que encontrar dos ra\u00edces:<\/p>\n\n\n\n

[0,700]  y [700,1300]<\/p>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n a usar en el ejercicio se obtiene como:<\/p>\n\n\n p_{3}(d) = 85.0+ 0.05941 d - 0.0001015 d^2 +3.842x10^{-8}d^3 <\/span>\n\n\n\n

y para el radio de fresnel:<\/p>\n\n\n f(d) = h_{antena} - r <\/span>\n\n\n r = \\sqrt{\\frac{n \\lambda d_1 d_2}{d_1+d_2}} <\/span>\n\n\n d_2 = d_{enlace} - d_1 <\/span>\n\n\n\n

reemplazando los valores en las expresiones<\/p>\n\n\n f(d) = 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 d_1 (3700-d_1}{3700}} <\/span>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n para el ejercicio en el intervalo de obstrucci\u00f3n seg\u00fan la gr\u00e1fica del tema 1 es:<\/p>\n\n\n g(d) = p(d)- f(d) = 0 <\/span>\n\n\n g(d) = 85.0+ 0.05941 d - 0.0001015 d^2 +3.842x10^{-8}d^3 -<\/span>\n\n\n - 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 d_1 (3700-d_1}{3700}} <\/span>\n\n\n\n

Dado que es un ejercicio que se utiliza muchas veces en el an\u00e1lisis de radioenlaces, se utilizar\u00eda un algoritmo para aplicarlo en diferentes situaciones.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

b. Realice al menos 3 iteraciones con el m\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n para encontrar la primera ra\u00edz (izquierda)<\/p>\n\n\n\n

a = 0, b = 700<\/p>\n\n\n\n

con a = 0<\/p>\n\n\n g(0) = p(0)- f(0) = -15 <\/span>\n\n\n p(0) = 85.0+ 0.05941 (0) - 0.0001015 (0)^2 +3.842x10^{-8}(0)^3 = 85<\/span>\n\n\n f(d) = 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 d_1 (3700-d_1}{3700}} =100 <\/span>\n\n\n\n

con b = 700<\/p>\n\n\n g(700) = p(700)- f(700) = 3.67 <\/span>\n\n\n p(700) = 85.0+ 0.05941 (700) - 0.0001015 (700)^2 +3.842x10^{-8}(700)^3<\/span>\n\n\n f(700) = 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 (700) (3700-(700)}{3700}} <\/span>\n\n\n\n

como hay cambio de signo entre g(a) y g(b), debe existir una raiz en el intervalo<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n  1<\/strong><\/p>\n\n\n c= \\frac{a+b}{2} = \\frac{700-0}{2} = 350 <\/span>\n\n\n p(350) = 85.0+ 0.05941 (350) - 0.0001015 (350)^2 +3.842x10^{-8}(350)^3 <\/span>\n\n\n f(350) = 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 (350) (3700-(350}{3700}} <\/span>\n\n\n g(350) = p(350)- f(350) = 5.199 <\/span>\n\n\n\n

como la referencia es<\/p>\n\n\n g(0) = -15 <\/span>\n\n\n g(700) = 3.67 <\/span>\n\n\n\n

hay cambio de signo entre [0,350]<\/p>\n\n\n\n

error estimado = 350-0 = 350<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n  2<\/strong><\/p>\n\n\n c= \\frac{a+b}{2} = \\frac{350-0}{2} = 175 <\/span>\n\n\n p(175) = 85.0+ 0.05941 (175) - 0.0001015 (175)^2 +3.842x10^{-8}(175)^3 <\/span>\n\n\n f(175) = 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 (175) (3700-(175}{3700}} <\/span>\n\n\n g(175) = -113.1 <\/span>\n\n\n\n

como la referencia es<\/p>\n\n\n g(0) = -15 <\/span>\n\n\n g(350) = 5.199 <\/span>\n\n\n\n

hay cambio de signo entre [175,350]<\/p>\n\n\n\n

error estimado = 350-175 = 175<\/p>\n\n\n\n

iteraci\u00f3n  3<\/strong><\/p>\n\n\n c= \\frac{a+b}{2} = \\frac{175-350}{2} = 262.5 <\/span>\n\n\n p(262.5) = 85.0+ 0.05941 (262.5) - 0.0001015 (262.5)^2 +3.842x10^{-8}(262.5)^3 <\/span>\n\n\n f(262.5) = 100 - \\sqrt{\\frac{1 (0.3278 (262.5) (3700-(262.5}{3700}} <\/span>\n\n\n g(262.5) = 3.23 <\/span>\n\n\n\n

Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n\n

resultado usando el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n

[ i, a, c, b, f(a), f(c), f(b), tramo]\n1 0.000 350.000 700.000 -15.000 5.199 3.670 700.000 \n2 0.000 175.000 350.000 -15.000 -0.113 5.199 350.000 \n3 175.000 262.500 350.000 -0.113 3.237 5.199 175.000 \n4 175.000 218.750 262.500 -0.113 1.755 3.237 87.500 \n5 175.000 196.875 218.750 -0.113 0.872 1.755 43.750 \n6 175.000 185.938 196.875 -0.113 0.393 0.872 21.875 \n7 175.000 180.469 185.938 -0.113 0.143 0.393 10.938 \n8 175.000 177.734 180.469 -0.113 0.016 0.143 5.469 \n9 175.000 176.367 177.734 -0.113 -0.048 0.016 2.734 \n10 176.367 177.051 177.734 -0.048 -0.016 0.016 1.367 \n11 177.051 177.393 177.734 -0.016 -0.000 0.016 0.684 \n12 177.393 177.563 177.734 -0.000 0.008 0.016 0.342 \n13 177.393 177.478 177.563 -0.000 0.004 0.008 0.171 \n14 177.393 177.435 177.478 -0.000 0.002 0.004 0.085 \n15 177.393 177.414 177.435 -0.000 0.001 0.002 0.043 \n16 177.393 177.403 177.414 -0.000 0.000 0.001 0.021 \n17 177.393 177.398 177.403 -0.000 0.000 0.000 0.011 \n18 177.393 177.395 177.398 -0.000 -0.000 0.000 0.005 \n19 177.395 177.397 177.398 -0.000 0.000 0.000 0.003 \n20 177.395 177.396 177.397 -0.000 0.000 0.000 0.001 \n21 177.395 177.396 177.396 -0.000 0.000 0.000 0.001 \nraiz:  177.39558219909668\n       raiz en:  177.39558219909668\nerror en tramo:  0.000667572021484375<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/p>\n\n\n
\n# Algoritmo de Bisecci\u00f3n\n# [a,b] se escogen de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n\n# error = tolera\n\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\np = lambda d: 85.0 + 0.05941*d - 0.0001015*d**2 +3.842e-8*d**3\nf = lambda d: 100 - np.sqrt(1*(0.3278)*d*(3700-d)\/3700) \nfx = lambda d: p(d)- f(d)\na_todo = 0\nb_todo = 1300\na = 0\nb = 700\ntolera = 0.001\n\nmuestras = 41\n\n# PROCEDIMIENTO\n# PROCEDIMIENTO\ntabla = []\ntramo = b-a\n\nfa = fx(a)\nfb = fx(b)\ni = 1\nwhile (tramo>tolera):\n    c = (a+b)\/2\n    fc = fx(c)\n    tabla.append([i,a,c,b,fa,fc,fb,tramo])\n    i = i + 1\n                 \n    cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)\n    if (cambia<0):\n        b = c\n        fb = fc\n    else:\n        a=c\n        fa = fc\n    tramo = b-a\nc = (a+b)\/2\nfc = fx(c)\ntabla.append([i,a,c,b,fa,fc,fb,tramo])\ntabla = np.array(tabla)\n\nraiz = c\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision = 4)\nprint('[ i, a, c, b, f(a), f(c), f(b), tramo]')\n# print(tabla)\n\n# Tabla con formato\nn=len(tabla)\nfor i in range(0,n,1):\n    unafila = tabla[i]\n    formato = '{:.0f}'+' '+(len(unafila)-1)*'{:.3f} '\n    unafila = formato.format(*unafila)\n    print(unafila)\n    \nprint('raiz: ',raiz)\nprint('       raiz en: ', c)\nprint('error en tramo: ', tramo)\n\n\n# GRAFICA\nxi = np.linspace(a_todo,b_todo,muestras)\nyi = fx(xi)\npi = p(xi)\nri = f(xi)\nplt.plot(xi,yi,label='g(d)=p(d)-f(d)')\nplt.plot(xi,pi,label='p(d)')\nplt.plot(xi,ri,label='f(d)_Fresnel')\nplt.axhline(0, color='grey')\nplt.xlabel('d')\nplt.legend()\nplt.title('obstruccion Fresnel')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
c. Desarrolle al menos 3 iteraciones con el m\u00e9todo del Punto fijo para encontrar el segundo punto (derecha)<\/p>\n\n\n\n
La siguiente ra\u00edz se encuentra con algoritmo presentado o tambi\u00e9n con el algoritmo del siguiente literal usando la misma expresion g(d).<\/p>\n\n\n\n
a = 700 b= 1300<\/p>\n\n\n\n
 raiz en: 867.1000480651855\nerror en tramo: 0.00057220458984375<\/code><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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