{"id":8016,"date":"2022-08-03T10:49:43","date_gmt":"2022-08-03T15:49:43","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=8016"},"modified":"2026-01-09T06:41:58","modified_gmt":"2026-01-09T11:41:58","slug":"minimos-cuadrados-con-python","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u08\/minimos-cuadrados-con-python\/","title":{"rendered":"8.2 Regresi\u00f3n por M\u00ednimos cuadrados con Python"},"content":{"rendered":"\n

Referencia<\/strong><\/em>: Chapra 17.1.2 p 469. Burden 8.1 p499<\/p>\n\n\n\n

Criterio de ajuste a una l\u00ednea recta por m\u00ednimos cuadrados<\/h3>\n\n\n\n

Una aproximaci\u00f3n de la relaci\u00f3n entre los puntos xi<\/sub>, yi<\/sub> por medio de un polinomio de grado 1, busca minimizar la suma de los errores residuales de los datos.<\/p>\n\n\n y_{i,modelo} = p_1(x) = a_0 + a_1 x_i <\/span>\n\n\n\n

Se busca el valor m\u00ednimo para los cuadrados de las diferencias entre los valores de yi<\/sub> con la l\u00ednea recta.<\/p>\n\n\n\n

\"M\u00ednimos<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n S_r = \\sum_{i=1}^{n} \\Big( y_{i,medida} - y_{i,modelo} \\Big)^2<\/span>\n\n\n S_r= \\sum_{i=1}^{n} \\Big( y_{i} - (a_0 + a_1 x_i) \\Big)^2<\/span>\n\n\n\n

para que el error acumulado sea m\u00ednimo, se deriva respecto a los coeficientes de la recta a0<\/sub> y a1<\/sub> y se iguala a cero,<\/p>\n\n\n \\frac{\\partial S_r}{\\partial a_0}= (-1)2 \\sum_{i=1}^{n} \\Big( y_{i} - a_0 - a_1 x_i \\Big)<\/span>\n\n\n \\frac{\\partial S_r}{\\partial a_1}= (-1)2 \\sum_{i=1}^{n} \\Big( y_{i} - a_0 - a_1 x_i \\Big)x_i<\/span>\n\n\n 0 = \\sum_{i=1}^{n} y_i - \\sum_{i=1}^{n} a_0 - \\sum_{i=1}^{n} a_1 x_i<\/span>\n\n\n 0= \\sum_{i=1}^{n} y_i x_i - \\sum_{i=1}^{n} a_0x_i - \\sum_{i=1}^{n} a_1 x_i^2 <\/span>\n\n\n\n

simplificando,<\/p>\n\n\n \\sum_{i=1}^{n} a_0 + a_1 \\sum_{i=1}^{n} x_i = \\sum_{i=1}^{n} y_{i}<\/span>\n\n\n a_0 \\sum_{i=1}^{n} x_i + a_1 \\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \\sum_{i=1}^{n} y_i x_i <\/span>\n\n\n\n

que es un conjunto de dos ecuaciones lineales simultaneas con dos inc\u00f3gnitas a0<\/sub> y a1<\/sub>, los coeficientes del sistema de ecuaciones son las sumatorias que se obtienen completando la siguiente tabla:<\/p>\n\n\n\n

xi<\/sub><\/th>yi<\/sub><\/th>xi<\/sub>yi<\/sub><\/td>xi<\/sub>2<\/sup><\/td>yi<\/sub>2<\/sup><\/td><\/tr>
x0<\/sub><\/td>y0<\/sub><\/td>x0<\/sub>y0<\/sub><\/td>x0<\/sub>2<\/sup><\/td>y0<\/sub>2<\/sup><\/td><\/tr>
...<\/td>...<\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
...<\/td>...<\/td> <\/td> <\/td> <\/td><\/tr>
\u2211 xi<\/sub><\/th>\u2211 yi<\/sub><\/th>\u2211 xi<\/sub>yi<\/sub><\/td>\u2211 xi<\/sub>2<\/sup><\/td>\u2211 yi<\/sub>2<\/sup><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n \\begin{bmatrix} n & \\sum x_i \\\\ \\sum x_i & \\sum x_i^2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a_0 \\\\ a_1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\sum y_i \\\\ \\sum x_i y_i \\end{bmatrix}<\/span>\n\n\n\n

cuya soluci\u00f3n es:<\/p>\n\n\n a_1 = \\frac{n \\sum x_i y_i - \\sum x_i \\sum y_i}{n \\sum x_i^2 - \\big( \\sum x_i \\big) ^2 }<\/span>\n\n\n a_0 = \\overline{y} - a_1 \\overline{x}<\/span>\n\n\n\n

usando la media de los valores en cada eje para encontrar a0<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Coeficiente de correlaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

El coeficiente de correlaci\u00f3n se puede obtener con las sumatorias anteriores usando la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n r= \\frac{n \\sum x_i y_i - \\big( \\sum x_i \\big) \\big( \\sum y_i\\big)} {\\sqrt{n \\sum x_i^2 -\\big(\\sum x_i \\big) ^2 }\\sqrt{n \\sum y_i^2 - \\big( \\sum y_i \\big)^2}}<\/span>\n\n\n\n

En un ajuste perfecto, Sr<\/sub> = 0 y r = r2<\/sup> = 1, significa que la l\u00ednea explica
el 100% de la variabilidad de los datos.<\/p>\n\n\n\n

Aunque el coeficiente de correlaci\u00f3n ofrece una manera f\u00e1cil de medir la bondad del ajuste, se deber\u00e1 tener cuidado de no darle m\u00e1s significado del que ya tiene.<\/p>\n\n\n\n

El solo hecho de que r sea \u201ccercana\u201d a 1 no necesariamente significa que el ajuste sea \u201cbueno\u201d. Por ejemplo, es posible obtener un valor relativamente alto de r cuando la relaci\u00f3n entre y<\/code> y x<\/code> no es lineal.<\/p>\n\n\n\n

Los resultados indicar\u00e1n que el modelo lineal explic\u00f3 r2<\/sup> % de la incertidumbre original<\/p>\n\n\n\n

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