{"id":8313,"date":"2022-07-10T15:25:14","date_gmt":"2022-07-10T20:25:14","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=8313"},"modified":"2026-04-05T20:01:56","modified_gmt":"2026-04-06T01:01:56","slug":"s1eva2022paoi_t3-interpolar-crecimiento-de-contagios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2022paoi_t3-interpolar-crecimiento-de-contagios\/","title":{"rendered":"s1Eva2022PAOI_T3 Interpolar crecimiento de contagios"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2022PAOI_T3 Interpolar crecimiento de contagios<\/a><\/p>\n\n\n\n

D\u00eda del mes<\/td>1<\/td>8<\/td>15<\/td>22<\/td><\/tr>
Contagios<\/td>1<\/td>5.6<\/td>27<\/td>43.5<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que se usar\u00eda usando el m\u00e9todo de interpolaci\u00f3n polin\u00f3mica<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

El modelo de polinomio de grado m\u00e1ximo que se puede obtener es grado 3:<\/p>\n\n\n p_3(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 <\/span>\n\n\n\n

por lo que usando los valores de los puntos dados en la tabla:<\/p>\n\n\n p_3(1) = a_0 + a_1 (1) + a_2 (1)^2 + a_3 (1)^3 = 1<\/span>\n\n\n p_3(8) = a_0 + a_1 (8) + a_2 (8)^2 + a_3 (8)^3 = 5.6<\/span>\n\n\n p_3(15) = a_0 + a_1 (15) + a_2 (15)^2 + a_3 (15)^3 = 27 <\/span>\n\n\n p_3(22) = a_0 + a_1 (22) + a_2 (22)^2 + a_3 (22)^3 = 43.5 <\/span>\n\n\n\n

b) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada.<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2\\\\ 1 & 8 & 8^2 & 8^3 \\\\ 1 & 15 & 15^2 & 15^3 \\\\ 1 & 22 & 22^2 & 22^3 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} a_0 \\\\ a_1 \\\\ a_2 \\\\ a_3 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 56 \\\\ 27 \\\\43.5 \\end{pmatrix}<\/span>\n\n\n\n

matriz aumentada,<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2 & 1 \\\\ 1 & 8 & 8^2 & 8^3 & 56 \\\\ 1 & 15 & 15^2 & 15^3 & 27\\\\ 1 & 22 & 22^2 & 22^3 & 43.5\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

c) Desarrolle el pivoteo parcial por filas, indicando las operaciones realizadas en \u00e9ste proceso<\/p>\n\n\n\n

pivoteo parcial por filas<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2 & 1 \\\\ 1 & 22 & 22^2 & 22^3 & 43.5 \\\\ 1 & 15 & 15^2 & 15^3 & 27 \\\\ 1 & 8 & 8^2 & 8^3 & 56\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

d) Usando el m\u00e9todo directo de Gauss-Jordan, muestre las expresiones necesarias para el algoritmo.<\/p>\n\n\n\n

eliminaci\u00f3n hacia adelante<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1^2 & 1^2 & 1 \\\\ 1-1 & 22-1 & 22^2-1^2 & 22^3 -1^3& 43.5 - 1\\\\ 1-1 & 15-1 & 15^2 -1^2& 15^3 -1^3& 27 -1\\\\ 1-1 & 8-1 & 8^2 -1^2& 8^3 -1^3& 56-1\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\\\ 0 & 14 & 224 & 3376& 26\\\\ 0 & 7 & 63& 511 & 55\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\\\ 0 & 14-\\frac{14}{21} 21 & 224-\\frac{14}{21}483& 3376 -\\frac{14}{21}10647& 26-\\frac{14}{21}42.5\\\\ 0 & 7-\\frac{7}{21}21 & 63-\\frac{7}{21}483& 511-\\frac{7}{21}10647 & 55-\\frac{7}{21}42.5\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\\\ 0 & 0 &-98 & -3722& -2.33 \\\\ 0 & 0 & -98 & -3038 & 40.83 \\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\\\ 0 & 0 &-98 & -3722& -2.33 \\\\ 0 & 0 & -98-\\frac{98}{-98}98 & -3038 -\\frac{98}{-98}3722& 40.83 -\\frac{98}{-98}(-2.33)\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 21 & 483 & 10647& 42.5 \\\\ 0 & 0 &-98 & -3722& -2.33 \\\\ 0 & 0 & 0 & 686 & -7.23\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

realizando el proceso de eliminaci\u00f3n hacia atr\u00e1s, semejante al m\u00e9todo anterior se obtiene<\/p>\n\n\n \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2.98\\\\ 0 & 1 & 0 & 0& -2.39 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0.424 \\\\ 0 & 0 & 0 &1 & -0.0105\\end{pmatrix} <\/span>\n\n\n\n

con lo que el vector resultado es:<\/p>\n\n\n X= [2.98, -2.39, 0.42, -0.0105] <\/span>\n\n\n\n

El polinomio de interpolaci\u00f3n resultante es:<\/p>\n\n\n p(t)= 2.98 -2.39 t + 0.42 t^2 -0.0105 t^3 <\/span>\n\n\n\n

\"interpola<\/figure>\n\n\n\n

e) Para el d\u00eda 19 se encuentra que el valor correspondiente a contagios es de 37%. Estime el error presentado del modelo para ese d\u00eda.<\/p>\n\n\n p(19)= 2.98 -2.39 (19) + 0.42 (19)^2 -0.0105 (19)^3 = 38.42 <\/span>\n\n\n error = |38.42-37| = 1.42 <\/span>\n\n\n\n

f) Desarrolle el ejercicio usando otro m\u00e9todo para encontrar el polinomio de interpolaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

usando diferencias finitas<\/p>\n\n\n\n

Tabla Diferencia Finita\n[['i', 'xi', 'fi', 'df1', 'df2', 'df3', 'df4']]\n[[  0.    1.    1.    4.6  16.8 -21.7   0. ]\n [  1.    8.    5.6  21.4  -4.9   0.    0. ]\n [  2.   15.   27.   16.5   0.    0.    0. ]\n [  3.   22.   43.5   0.    0.    0.    0. ]]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
polinomio:<\/p>\n\n\n p(t) = 1+\\frac{4.6}{1! (7)}(t-1) + <\/span>\n\n\n + \\frac{16.8}{2!(7^2)}(t-1)(t-8) + <\/span>\n\n\n +\\frac{-21.7}{3!(7^3}(t-1)(t-8)(t-15) <\/span>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n\n
Para literal f<\/p>\n\n\n
\n# Polinomio interpolaci\u00f3n\n# Diferencias finitas avanzadas\n# Tarea: Verificar tama\u00f1o de vectores,\n#        verificar puntos equidistantes en x\n\nimport numpy as np\nimport math\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nxi = np.array([1,8,15,22],dtype=float)\nfi = np.array([1,5.6,27,43.5],dtype=float)\n\n# PROCEDIMIENTO\n\n# Tabla de Diferencias Finitas\ntitulo = ['i','xi','fi']\nn = len(xi)\nki = np.arange(0,n,1)\ntabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)\ntabla = np.transpose(tabla)\n\n# diferencias finitas vacia\ndfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\ntabla = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)\n\n# Calcula tabla, inicia en columna 3\n[n,m] = np.shape(tabla)\ndiagonal = n-1\nj = 3\nwhile (j < m):\n    # A\u00f1ade t\u00edtulo para cada columna\n    titulo.append('df'+str(j-2))\n    # cada fila de columna\n    i = 0\n    while (i < diagonal):\n        tabla[i,j] = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]\n        i = i+1\n    diagonal = diagonal - 1\n    j = j+1\n\n# POLINOMIO con diferencias Finitas avanzadas\n# caso: puntos equidistantes en eje x\nh = xi[1] - xi[0]\ndfinita = tabla[0,3:]\nn = len(dfinita)\n\n# expresi\u00f3n del polinomio con Sympy\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = fi[0]\nfor j in range(1,n,1):\n    denominador = math.factorial(j)*(h**j)\n    factor = dfinita[j-1]\/denominador\n    termino = 1\n    for k in range(0,j,1):\n        termino = termino*(x-xi[k])\n    polinomio = polinomio + termino*factor\n\n# simplifica multiplicando entre (x-xi)\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# polinomio para evaluacion num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polisimple)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\n\n# SALIDA\nprint('Tabla Diferencia Finita')\nprint([titulo])\nprint(tabla)\nprint('dfinita: ')\nprint(dfinita)\nprint('polinomio: ')\nprint(polinomio)\nprint('polinomio simplificado: ' )\nprint(polisimple)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')\n##for i in range(0,n,1):\n##    plt.axvline(xi[i],ls='--', color='yellow')\nplt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')\n\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.title('Interpolaci\u00f3n polin\u00f3mica')\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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