{"id":8382,"date":"2022-08-31T17:50:20","date_gmt":"2022-08-31T22:50:20","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=8382"},"modified":"2026-04-05T20:47:29","modified_gmt":"2026-04-06T01:47:29","slug":"s2eva2022paoi_t1-comparar-integrales-simpson-cuadraturagauss","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva30\/s2eva2022paoi_t1-comparar-integrales-simpson-cuadraturagauss\/","title":{"rendered":"s2Eva2022PAOI_T1 Comparar integrales num\u00e9ricos Simpson y Cuadratura de Gauss"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 2Eva2022PAOI_T1 Comparar integrales num\u00e9ricos Simpson y Cuadratura de Gauss<\/a><\/p>\n\n\n\n

Literal a. Integral con Simpson 1\/3<\/h3>\n\n\n\n

Para la ecuaci\u00f3n en el intervalo x entre [0,3] aplicando dos veces la f\u00f3rmula en el intervalo se requieren al menos dos tramos cada Simpson de 1\/3. Por lo que la cantidad de tramos es 4 (dos por cada formula, y dos f\u00f3rmulas) que corresponden a 5 muestras.<\/p>\n\n\n\n

El tama\u00f1o de paso se calcula como:<\/p>\n\n\n h = \\frac{b-a}{tramos}=\\frac{3-0}{4} = \\frac{3}{4} = 0.75 <\/span>\n\n\n\n

representados en una gr\u00e1fica como<\/p>\n\n\n\n

\"2Eva2022PAOI_T1<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n A = \\int_0^3 \\frac{e^x \\sin(x)}{1+x^2} \\delta x <\/span>\n\n\n\n

con lo que se define la funci\u00f3n del integral f(x)<\/p>\n\n\n f(x) = \\frac{e^x \\sin(x)}{1+x^2} <\/span>\n\n\n\n

Con lo que aplicando la f\u00f3rmula se puede obtener los valores de las muestras:<\/p>\n\n\n\n

xi= [0. 0.75   1.5    2.25   3.    ]\nfi= [0. 0.9235 1.3755 1.2176 0.2834]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Nota<\/strong><\/em>: realizar las expresiones completas para las f\u00f3rmulas si no adjunta el algoritmo en Python<\/p>\n\n\n\n
Aplicando Simpson de 1\/3 en cada tramo se tiene:<\/p>\n\n\n A_s= \\frac{1}{3} \\Big( \\frac{3}{4} \\Big ) \\Big( 0 + 4(0.9235) + 1.3755 \\Big) +<\/span>\n\n\n + \\frac{1}{3} \\Big( \\frac{3}{4} \\Big ) \\Big( 1.3755 + 4(1.2176) +0.2834 \\Big)<\/span>\n\n\n A_s = 2.8998<\/span>\n\n\n\n
Literal b. Integral con Cuadratura de Gauss<\/h3>\n\n\n\n
Para usar dos veces el m\u00e9todo de Cuadratura de Gauss se usan dos intervalos, con lo que las muestras en x ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n
xj= [0. 1.5 3. ]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
se calculan los valores para el tramo [0, 1.5]:<\/p>\n\n\n x_{a1} = \\frac{0+1.5}{2} - \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\frac{1.5-0}{2} = 0.3169 <\/span>\n\n\n x_{b1} = \\frac{0+1.5}{2} + \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\frac{1.5-0}{2} = 1.1830 <\/span>\n\n\n A_{g1} =\\frac{1.5-0}{2} \\Big( f(0.3169)+f(1.1830)\\Big) = 1.2361<\/span>\n\n\n\n
se calculan los valores para el tramo [1.5, 3]:<\/p>\n\n\n x_{a2} = \\frac{1.5+3}{2} - \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\frac{3-1.5}{2} = 1.8169<\/span>\n\n\n x_{b2} = \\frac{1.5+3}{2} + \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\frac{3-1.5}{2} = 2.6830 <\/span>\n\n\n A_{g2} =\\frac{3-1.5}{2} \\Big( f(1.8169)+f(2.6830)\\Big) = 1.6329<\/span>\n\n\n\n
El total del integral para el intervalo  [0,3]<\/p>\n\n\n A_g = A_{g1} + A_{g2} = 2.8691 <\/span>\n\n\n\n
Al comparar los resultados entre los m\u00e9todos del literal a y b<\/p>\n\n\n errado = |A_s - A_g| = 2.8998 - 2.8691 = 0.0307 <\/span>\n\n\n\n
Instrucciones integradas en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 2Eva_2022PAOI_T1\n# Comparar integrales num\u00e9ricos Simpson\n#   y Cuadratura de Gauss\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: (np.exp(x)*np.sin(x))\/(1+x**2)\na = 0\nb = 3\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Aplicando Simpson 1\/3\ntramos = 4\nmuestras = tramos+1\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\nhs = xi[1]-xi[0]\nAs = (1\/3)*(3\/4)*(fi[0]+4*fi[1]+fi[2])\nAs = As + (1\/3)*(3\/4)*(fi[2]+4*fi[3]+fi[4])\nerradoS = 2*(hs**5)\n\n# Aplicando Cuadratura de Gauss\ntramosG = 2\nmuestrasG = tramosG+1\nxj = np.linspace(a,b,muestrasG)\nhg = xj[1]-xj[0]\n\nxa1 = (xj[0]+xj[1])\/2 - (1\/np.sqrt(3))*(xj[1]-xj[0])\/2\nxb1 = (xj[0]+xj[1])\/2 + (1\/np.sqrt(3))*(xj[1]-xj[0])\/2\nAg1 = (hg\/2)*(fx(xa1)+fx(xb1))\n\nxa2 = (xj[1]+xj[2])\/2 - (1\/np.sqrt(3))*(xj[2]-xj[1])\/2\nxb2 = (xj[1]+xj[2])\/2 + (1\/np.sqrt(3))*(xj[2]-xj[1])\/2\nAg2 = (hg\/2)*(fx(xa2)+fx(xb2))\n\nAg = Ag1 + Ag2\n\n# error entre m\u00e9todos\nerrado = np.abs(As-Ag)\n\n# SALIDA\nprint('xi=',xi)\nprint('fi=',fi)\nprint('A Simpson =', As)\nprint('error Truncamiento Simpson 2*(h^5):',\n      erradoS)\nprint('Cuadratura de Gauss xa,xb por tramos:',\n      [xa1,xb1,xa2,xb2])\nprint('  fx(xa),fx(xb) por tramos:',\n      [fx(xa1),fx(xb1),fx(xa2),fx(xb2)])\nprint('  integral de cada tramo:', [Ag1,Ag2])\nprint('A Gauss =', Ag)\nprint('errado entre Simpson y Gauss',errado)\n\n# Grafica con mejor resolucion\nxk = np.linspace(a,b,5*tramos+1)\nfk = fx(xk)\n\nplt.plot(xk,fk)\nplt.plot(xi,fi,'o')\nfor unx in xi:\n    plt.axvline(unx,color='red',\n                linestyle='dotted')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.title('(np.exp(x)*np.sin(x))\/(1+x**2)')\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 2Eva2022PAOI_T1 Comparar integrales num\u00e9ricos Simpson y Cuadratura de Gauss Literal a. Integral con Simpson 1\/3 Para la ecuaci\u00f3n en el intervalo x entre [0,3] aplicando dos veces la f\u00f3rmula en el intervalo se requieren al menos dos tramos cada Simpson de 1\/3. Por lo que la cantidad de tramos es 4 (dos por cada […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[49],"tags":[58,54],"class_list":["post-8382","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s2eva30","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8382","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8382"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8382\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23899,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8382\/revisions\/23899"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8382"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8382"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8382"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}