{"id":8536,"date":"2022-11-25T17:29:13","date_gmt":"2022-11-25T22:29:13","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=8536"},"modified":"2026-04-05T20:01:31","modified_gmt":"2026-04-06T01:01:31","slug":"s1eva2022paoii_t1-esfera-flotando-en-agua","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2022paoii_t1-esfera-flotando-en-agua\/","title":{"rendered":"s1Eva2022PAOII_T1 Esfera flotando en agua"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2022PAOII_T1 Esfera flotando en agua<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"esfera<\/figure>\n\n\n\n

Seg\u00fan el principio de Arqu\u00edmedes, la fuerza de flotaci\u00f3n o empuje<\/strong> es igual al peso<\/strong> de el fluido desplazado por la porci\u00f3n sumergida de un objeto.<\/p>\n\n\n F_{empuje} = F_{peso} <\/span>\n\n\n \\rho_{agua} V_{sumergido} \\text{ } g = \\rho_{esfera}V_{esfera} \\text{ } g <\/span>\n\n\n V_{sumergido} = \\frac{\\rho_{esfera}}{\\rho_{agua}}V_{esfera} <\/span>\n\n\n V_{esfera} - V_{sobreagua} = \\frac{\\rho_{esfera}}{\\rho_{agua}}V_{esfera} <\/span>\n\n\n V_{sobreagua} = \\Big( 1- \\frac{\\rho_{esfera}}{\\rho_{agua}}\\Big) V_{esfera} <\/span>\n\n\n V_{esfera} = \\frac{4}{3}\\pi r^3 <\/span>\n\n\n \\frac{\\pi h^2}{3}(3r-h) = \\Big( 1- \\frac{\\rho_{esfera}}{\\rho_{agua}}\\Big) \\frac{4}{3}\\pi r^3 <\/span>\n\n\n h^2(3r-h) = \\Big( 1- \\frac{\\rho_{esfera}}{\\rho_{agua}}\\Big) 4 r^3 <\/span>\n\n\n\n

El planteamiento para la b\u00fasqueda de ra\u00edces es f(x) = 0, que para este caso ser\u00e1:<\/p>\n\n\n f(h) = h^2(3r-h) - \\Big( 1 - \\frac{\\rho_{esfera}}{\\rho_{agua}}\\Big) 4 r^3 = 0<\/span>\n\n\n\n

usando los valores dados para el ejercicio, r=1 y \u03c1esfera <\/sub>= 200 Kg\/m3<\/sup> y \u03c1agua<\/sub>    <\/sub>= 1000 kg\/m3<\/sup> se tiene que:<\/p>\n\n\n f(h) = h^2(3-h) - \\Big( 1 - \\frac{200}{1000}\\Big) 4 <\/span>\n\n\n f(h) = h^2(3-h) - \\frac{16}{5} <\/span>\n\n\n\n

Se observa la gr\u00e1fica de f(h) en el intervalo de h entre[0,2] interpretado como totalmente sumergida y totalmente flotando sobre el agua, confirmando que existe una ra\u00edz<\/p>\n\n\n\n

\"esfera<\/figure>\n\n\n\n

Para el caso de aplicar el m\u00e9todo del punto fijo<\/strong> se plantea que x=g(x),<\/p>\n\n\n h = g(h) <\/span>\n\n\n h^2(3-h) = \\frac{16}{5} <\/span>\n\n\n\n

con lo que se puede plantear dos ecuaciones al despejar h<\/p>\n\n\n h = \\sqrt{ \\frac{16}{5(3-h)}} <\/span>\n\n\n h = 3-\\frac{16}{5 h^2} <\/span>\n\n\n\n

Iteraciones de la primera ecuaci\u00f3n<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

itera = 0 ; h = h0<\/sub> = 0.5 ;<\/p>\n\n\n g(h) = \\sqrt{ \\frac{16}{5(3-0.5)}} = 1.1313<\/span>\n\n\n tramo = |1.1313-0.5|=0.6313<\/span>\n\n\n\n

itera = 1 ; h = 1.1313 ;<\/p>\n\n\n g(h) = \\sqrt{ \\frac{16}{5(3-1.1313)}} = 1.3086<\/span>\n\n\n tramo = |1.3086-1.1313| = 0.1772 <\/span>\n\n\n\n

itera = 2 ; h = 1.3086 ;<\/p>\n\n\n g(h) = \\sqrt{ \\frac{16}{5(3-1.3086)}} = 1.3754 <\/span>\n\n\n tramo = |1.3754-1.3086| = 0.0668 <\/span>\n\n\n\n

Observando los errores o tramos en cada iteraci\u00f3n se tiene que se reduce, el m\u00e9todo converge.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

resultados.txt<\/h3>\n\n\n\n
x,g(x),tramo\n0.5 1.131370849898476 0.631370849898476\n1.131370849898476 1.308619626317284 0.17724877641880799\n1.308619626317284 1.3754802083033437 0.06686058198605971\n1.3754802083033437 1.4035002223557855 0.02802001405244181\n1.4035002223557855 1.4157629993958152 0.012262777040029649\n1.4157629993958152 1.4212317895316 0.005468790135784829\n1.4212317895316 1.4236912066694054 0.0024594171378053975\n1.4236912066694054 1.424801422465215 0.0011102157958096104\n1.424801422465215 1.4253034412081806 0.0005020187429656264\nraiz: 1.4253034412081806\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"esfera<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Algoritmo de punto fijo\n# [a,b] intervalo de b\u00fasqueda\n# error = tolera\n\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ndef puntofijo(gx,a,tolera, iteramax = 15):\n    i = 1 # iteraci\u00f3n\n    b = gx(a)\n    tramo = abs(b-a)\n    print('x,g(x),tramo')\n    print(a,b,tramo)\n    while(tramo>=tolera and i<=iteramax ):\n        a = b\n        b = gx(a)\n        tramo = abs(b-a)\n        print(a,b,tramo)\n        i = i + 1\n    respuesta = b\n    \n    # Validar respuesta\n    if (i>=iteramax ):\n        respuesta = np.nan\n    return(respuesta)\n\n# PROGRAMA ---------\n# INGRESO\nfx = lambda h: h**2*(3-h)-16\/5\ngx = lambda h: np.sqrt(16\/(5*(3-h)))\n\n#fx = lambda h: h**2*(3-h)-16\/5\n#gx = lambda h: 3-16\/(5*(h**2))\n\nx0 = 0.5\ntolera = 0.001\niteramax = 50  # itera m\u00e1ximo\na = 0     # intervalo\nb = 2\nmuestras = 51  # gr\u00e1fico\n\n# PROCEDIMIENTO\nrespuesta = puntofijo(gx,x0,tolera)\n\n# SALIDA\nprint('raiz:',respuesta)\n\nhi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(hi)\ngi = gx(hi)\nplt.plot(hi,fi,label='f(h)')\nplt.plot(hi,gi,label='g(h)')\nplt.plot(hi,hi,label='Identidad')\nplt.axhline(0,color='grey')\nplt.grid()\nplt.xlabel('h')\nplt.ylabel('f(h)')\nplt.title('esfera sumergida')\nplt.legend()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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