{"id":8580,"date":"2022-11-25T18:05:49","date_gmt":"2022-11-25T23:05:49","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=8580"},"modified":"2026-04-05T20:00:11","modified_gmt":"2026-04-06T01:00:11","slug":"s1eva2022paoii_t3-trayectoria-de-dron-con-polinomios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2022paoii_t3-trayectoria-de-dron-con-polinomios\/","title":{"rendered":"s1Eva2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios<\/a><\/p>\n\n\n\n

La variable independiente para la trayectoria es tiempo, con datos en el vector de ti.<\/p>\n\n\n\n

ti  = [0, 1, 2, 3, 4]\nxti = [2, 1, 3, 4, 2]\nyti = [0, 1, 5, 1, 0]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Considerando que los puntos marcan posiciones por donde debe pasar el dron y se define la trayectoria, se usar\u00e1n todos los puntos. Cada polinomio ser\u00e1 de grado 4<\/strong> al incluir los 5 puntos disponibles para cada eje.<\/p>\n\n\n\n
\"Trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
Nota<\/strong><\/em>: podr\u00eda usar polinomios de menor grado, siempre que considere que se debe completar la trayectoria y regresar al punto de salida.<\/p>\n\n\n px(t) = 2\\frac{(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)}{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)} <\/span>\n\n\n + 1 \\frac{(t-0)(t-2)(t-3)(t-4)}{(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)} <\/span>\n\n\n + 3 \\frac{(t-0)(t-1)(t-3)(t-4)}{(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)} <\/span>\n\n\n + 4 \\frac{(t-0)(t-1)(t-2)(t-4)}{(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)} <\/span>\n\n\n + 2 \\frac{(t-0)(t-1)(t-2)(t-3)}{(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)} <\/span>\n\n\n\n
simplificando con el algoritmo:<\/p>\n\n\n px(t) = \\frac{1}{12}t^4 - \\frac{7}{6}t^3 + \\frac{53}{12}t^2 - \\frac{13}{3}t + 2 <\/span>\n\n\n\n
Realizando lo mismo con el algoritmo para polinomio de Lagrange se obtiene:<\/p>\n\n\n py(t) = \\frac{11}{12}t^4 - \\frac{22}{3}t^3 + \\frac{205}{12}t^2 - \\frac{29}{3}t <\/span>\n\n\n\n
se muestra la gr\u00e1fica de trayectorias por cada eje vs tiempo<\/p>\n\n\n\n
\"Trayectoria<\/figure>\n\n\n\n
Observaciones<\/strong>: La trayectoria usada tiene el mismo punto de salida como de retorno. La trayectoria presenta l\u00f3bulos que podr\u00edan ser reducidos y minimizar uso de recursos como bater\u00eda.<\/p>\n\n\n\n
Considere usar trazadores c\u00fabicos y observe la misma gr\u00e1fica de trayectorias x(t) vs y(t).<\/p>\n\n\n\n
Resultado con el algoritmo:<\/p>\n\n\n\n
Polinomio de Lagrange x: \nx**4\/12 - 7*x**3\/6 + 53*x**2\/12 - 13*x\/3 + 2\nPolinomio de Lagrange y: \n11*x**4\/12 - 22*x**3\/3 + 205*x**2\/12 - 29*x\/3<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Interpolacion de Lagrange\n# divisoresL solo para mostrar valores\nimport numpy as np\nimport sympy as sym\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nti  = [0,1,2,3,4]\nxti = [2,1,3,4,2]\nyti = [0,1,5,1,0]\n\n# PROCEDIMIENTO\nx = sym.Symbol('x')\n\ndef interpola_lagrange(xi,yi):\n    '''\n    Interpolaci\u00f3n con m\u00e9todo de Lagrange\n    resultado: polinomio en forma simb\u00f3lica\n    '''\n    # PROCEDIMIENTO\n    n = len(xi)\n    x = sym.Symbol('x')\n    # Polinomio\n    polinomio = 0\n    for i in range(0,n,1):\n        # Termino de Lagrange\n        termino = 1\n        for j  in range(0,n,1):\n            if (j!=i):\n                termino = termino*(x-xi[j])\/(xi[i]-xi[j])\n        polinomio = polinomio + termino*yi[i]\n    # Expande el polinomio\n    polinomio = polinomio.expand()\n    return(polinomio)\n\n# para ejex\npolinomiox = interpola_lagrange(ti,xti)\npolisimplex = polinomiox.expand()\npx = sym.lambdify(x,polisimplex)\n\n# para ejey\npolinomioy = interpola_lagrange(ti,yti)\npolisimpley = polinomioy.expand()\npy = sym.lambdify(x,polisimpley)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(ti)\nb = np.max(ti)\nti = np.linspace(a,b,muestras)\npxi = px(ti)\npyi = py(ti)\n\n# SALIDA\nprint('Polinomio de Lagrange x: ')\nprint(polisimplex)\nprint('Polinomio de Lagrange y: ')\nprint(polisimpley)\n\n# Gr\u00e1fica\nfigura, enplano = plt.subplots()\nplt.scatter(xti,yti, color='red')\nplt.plot(pxi,pyi)\nplt.ylabel('y(t)')\nplt.xlabel('x(t)')\nplt.title('trayectoria 2D')\nplt.grid()\n\nfigura, entiempo = plt.subplots()\nplt.plot(ti,pxi, label = 'px')\nplt.plot(ti,pyi, label = 'py')\nplt.legend()\nplt.title('posicion en tiempo')\nplt.xlabel('t')\nplt.ylabel('p(t)')\nplt.grid()\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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