{"id":8961,"date":"2023-07-05T07:10:28","date_gmt":"2023-07-05T12:10:28","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=8961"},"modified":"2026-04-05T19:59:52","modified_gmt":"2026-04-06T00:59:52","slug":"s1eva2023paoi_t1-desacople-de-cohete-de-dos-etapas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s1eva30\/s1eva2023paoi_t1-desacople-de-cohete-de-dos-etapas\/","title":{"rendered":"s1Eva2023PAOI_T1 Desacople de cohete de dos etapas"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 1Eva2023PAOI_T1 Desacople de cohete de dos etapas<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a. Planteamiento<\/h3>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n a usar seg\u00fan el enunciado es y usando los valores dados es:<\/p>\n\n\n v = u \\ln\\Big(\\frac{m_0}{m_0-qt}\\Big) - gt <\/span>\n\n\n 800 = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 t}\\Big) - 9.8 t <\/span>\n\n\n\n

con lo que la funci\u00f3n para buscar la ra\u00edz es:<\/p>\n\n\n f(t) = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 t}\\Big) - 9.8 t -800<\/span>\n\n\n\n

Literal b. Intervalo de b\u00fasqueda<\/h3>\n\n\n\n

Para el intervalo de b\u00fasqueda se puede usar una gr\u00e1fica e interpretar el punto a buscar alrededor de 800 m\/s. Que de la gr\u00e1fica se observa que un intervalo alrededor de 35 ser\u00eda v\u00e1lido para el m\u00e9todo de la Bisecci\u00f3n. Para otros m\u00e9todos abiertos, tambi\u00e9n es posible deducir un punto t0.<\/p>\n\n\n\n

La validaci\u00f3n se muestra con la primera iteraci\u00f3n al evaluar f(30) que es negativo y f(40) que es de signo positivo.<\/p>\n\n\n\n

\"hot<\/figure>\n\n\n\n

Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n

\n# 1Eva_2023PAOI_T1 Desacople de cohete de dos etapas\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nv = lambda t: 1870*np.log(195000\/(195000-2500*t))-9.8*t\na = 0\nb = 40\ntramos = 51\n\n# PROCEDIMIENTO\nti = np.linspace(a,b,tramos)\nvi = v(ti)\n\n# SALIDA\nplt.plot(ti,vi)\nplt.xlabel('ti')\nplt.ylabel('vi')\nplt.title('Velocidad vertical vs tiempo')\nplt.grid()\nplt.show()\n\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal c. Desarrollo con algoritmo de Bisecci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n
itera =0, intervalo [30,40]<\/p>\n\n\n f(30) = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 (30)}\\Big) - 9.8 (30) -800 = -186.100<\/span>\n\n\n f(40) = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 (40)}\\Big) - 9.8 (40) -800 = 152.759<\/span>\n\n\n c= \\frac{a+b}{2}= \\frac{30+40}{2} = 35 <\/span>\n\n\n f(35) = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 (35)}\\Big) - 9.8 (35) -800 = -29.399<\/span>\n\n\n\n
error = tramo = |40-30| = 10<\/p>\n\n\n\n
como f(a) y f(c) son del mismo signo, el intervalo nuevo ser\u00e1 [35,40]<\/p>\n\n\n\n
itera =1 , intervalo [35,40]<\/p>\n\n\n c= \\frac{35+40}{2} = 37.5 <\/span>\n\n\n f(37.5) = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 (37.5)}\\Big) - 9.8 (37.5) -800 = 58.111 <\/span>\n\n\n\n
error = tramo = |40-35| = 5<\/p>\n\n\n\n
como f(c) y f(b) son del mismo signo, el intervalo nuevo ser\u00e1 [35,37.5]<\/p>\n\n\n\n
itera =2 , intervalo [35,37.5]<\/p>\n\n\n c= \\frac{37.5+35}{2} = 36.25 <\/span>\n\n\n f(36.25) = 1870 \\ln\\Big(\\frac{195000}{195000-2500 (36.25)}\\Big) - 9.8 (36.25) -800 = 13.518 <\/span>\n\n\n\n
error = tramo = |37.5-35| = 2.5<\/p>\n\n\n\n
como f(c) y f(b) son del mismo signo, el intervalo nuevo ser\u00e1 [35,36.25]<\/p>\n\n\n\n
[ i, a,    c,     b,     f(a),    f(c),   f(b),   tramo]\n  1 30.000 35.000 40.000 -186.100 -29.399 152.759 10.000 \n  2 35.000 37.500 40.000 -29.399   58.111 152.759  5.000 \n  3 35.000 36.250 37.500 -29.399   13.518 58.111   2.500 \n  4 35.000 35.625 36.250 -29.399   -8.144 13.518   1.250 \n  5 35.625 35.938 36.250 -8.144     2.635 13.518   0.625 \n  6 35.625 35.781 35.938 -8.144    -2.767 2.635    0.312 \n  7 35.781 35.859 35.938 -2.767    -0.069 2.635    0.156 \n  8 35.859 35.898 35.938 -0.069     1.282 2.635    0.078 \nraiz:  35.8984375\n>>>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
literal d. tolerancia y errores<\/h3>\n\n\n\n
La tolerancia depende de la escala a la que se mide y el instrumento de medici\u00f3n. Si consideramos d\u00e9cimas de segundo la tolerancia ser\u00e1 de 10-1<\/sup>. \u00f3 0.1<\/p>\n\n\n\n
Los errores entre iteraciones se muestran en el literal anterior.<\/p>\n\n\n\n
literal e. convergencia<\/h3>\n\n\n\n
Los errores en cada iteraci\u00f3n disminuye, lo que muestra que el m\u00e9todo converge. Luego de 8 iteraciones se encuentra el tiempo ti a usar como 35.8 s.<\/p>\n\n\n\n
Se adjunta el algoritmo de la bisecci\u00f3n ajustado para el ejercicio. La gr\u00e1fica es complementaria a la presentada en el literal b, que puede ser incorporada al mismo algoritmo para la presentaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h3>\n\n\n
\n# Algoritmo de Bisecci\u00f3n\n# 1Eva_2023PAOI_T1 Desacople de cohete de dos etapas\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda t: 1870*np.log(195000\/(195000-2500*t))-9.8*t -800\na = 30\nb = 40\ntolera = 0.1\n\n# PROCEDIMIENTO\ntabla = []\ntramo = b-a\n\nfa = fx(a)\nfb = fx(b)\ni = 1\nwhile (tramo>tolera):\n    c = (a+b)\/2\n    fc = fx(c)\n    tabla.append([i,a,c,b,fa,fc,fb,tramo])\n    i = i + 1\n                 \n    cambia = np.sign(fa)*np.sign(fc)\n    if (cambia<0):\n        b = c\n        fb = fc\n    else:\n        a=c\n        fa = fc\n    tramo = b-a\nc = (a+b)\/2\nfc = fx(c)\ntabla.append([i,a,c,b,fa,fc,fb,tramo])\ntabla = np.array(tabla)\n\nraiz = c\n\n# SALIDA\nnp.set_printoptions(precision = 4)\nprint('[ i, a, c, b, f(a), f(c), f(b), tramo]')\n# print(tabla)\n\n# Tabla con formato\nn=len(tabla)\nfor i in range(0,n,1):\n    unafila = tabla[i]\n    formato = '{:.0f}'+' '+(len(unafila)-1)*'{:.3f} '\n    unafila = formato.format(*unafila)\n    print(unafila)\n    \nprint('raiz: ',raiz)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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