{"id":9036,"date":"2023-08-31T08:05:07","date_gmt":"2023-08-31T13:05:07","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=9036"},"modified":"2026-04-05T20:44:24","modified_gmt":"2026-04-06T01:44:24","slug":"s2eva2023paoi_t1-material-para-medalla-de-academia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva30\/s2eva2023paoi_t1-material-para-medalla-de-academia\/","title":{"rendered":"s2Eva2023PAOI_T1 Material para medalla de academia"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 2Eva2023PAOI_T1 Material para medalla de academia<\/a><\/p>\n\n\n\n

\"Medalla<\/figure>\n\n\n\n f(x) = 2-8\\Big( \\frac{1}{2} - x \\Big)^2 <\/span>\n\n\n 0 \\le x < 1 <\/span>\n\n\n g(x) = -\\Big( 1-x\\Big)\\ln \\Big( 1- x \\Big) <\/span>\n\n\n\n

Para f(x)<\/strong> se usar\u00e1 Simpson de 1\/3 que requiere al menos dos tramos para aplicar:<\/p>\n\n\n\n

a.<\/strong> Realice el planteamiento de las ecuaciones para el ejercicio.<\/p>\n\n\n I\\cong \\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)] <\/span>\n\n\n\n

b.<\/strong> Describa el criterio usado para determinar el n\u00famero de tramos usado en cada caso.<\/p>\n\n\nh = \\frac{b-a}{2} = \\frac{1-0}{2} = 0.5 <\/span>\n\n\n\n

c.<\/strong> Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n I_{fx}\\cong \\frac{0.5}{3}[f(0)+4f(0.5) + f(1)] <\/span>\n\n\n f(0) = 2-8\\Big( \\frac{1}{2} - (0) \\Big)^2 = 0<\/span>\n\n\n f(0.5) = 2-8\\Big( \\frac{1}{2} - (0.5) \\Big)^2 = 2<\/span>\n\n\n f(1) = 2-8\\Big( \\frac{1}{2} - (1) \\Big)^2 = 0<\/span>\n\n\n I_{fx} = \\frac{1}{6}[0+4(2) + 0] = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3} = 1.3333 <\/span>\n\n\n\n

cota de error O(h5) = O(0.55<\/sup>)= O(0.03125)<\/p>\n\n\n\n

Para g(x)<\/strong> se usar\u00e1 Simpson de 3\/8 que requiere al menos tres tramos para aplicar:<\/p>\n\n\n I\\cong \\frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1) +3 f(x_2)+f(x_3)] <\/span>\n\n\nh = \\frac{b-a}{3} = \\frac{1-0}{3} = 0.3333 <\/span>\n\n\n I_{gx}\\cong \\frac{3(0.3333)}{8}[f(0)+3f(0.3333) +3 f(0.6666)+f(1)] <\/span>\n\n\n g(0) = -\\Big( 1-0\\Big)\\ln \\Big( 1- 0 \\Big) = 0 <\/span>\n\n\n g(0.3333) = -\\Big( 1-0.3333\\Big)\\ln \\Big( 1- 0.3333 \\Big) = 0.2703 <\/span>\n\n\n g(0.6666) = -\\Big( 1-0.6666\\Big)\\ln \\Big( 1- 0.6666 \\Big) = 0.3662 <\/span>\n\n\n g(0.9999) = -\\Big( 1-0.9999\\Big)\\ln \\Big( 1- 0.9999 \\Big) = 0 <\/span>\n\n\n\n

para la evaluaci\u00f3n num\u00e9rica de 1 se usa un valor muy cercano desplazado con la tolerancia aplicada.<\/p>\n\n\n I_{gx}\\cong \\frac{3(0.3333)}{8}[0+3(0.2703) + 3(0.3662)+0] = 0.2387<\/span>\n\n\n\n

d.<\/strong> Indique el resultado obtenido para el \u00e1rea requerida y la cota de error
Area = I_{fx} - I_{gx} = 1.3333 - 0.2387 = 1.0945<\/p>\n\n\n\n

cota de error = O(0.03125) + O(0.00411) = 0.03536<\/p>\n\n\n\n

e. Encuentre el valor del tama\u00f1o de paso si se requiere una cota de error de 0.00032<\/p>\n\n\n\n

Si el factor de mayor error es de Simpson 1\/3, se considera como primera aproximaci\u00f3n que:<\/p>\n\n\n\n

cota de error O(h5<\/sup>) = O(0.00032), h = (0.00032)(1\/5)<\/sup> = 0.2
es decir el n\u00famero de tramos es de al menos (b-a)\/tramos = 0.2 , tramos = 5.
El n\u00famero de tramos debe ser par en Simpson de 1\/3, por lo que se toma el entero mayor tramos=6 y el tama\u00f1o de paso recomendado es al menos 1\/6. EL error al aplicar 3 veces la formula es 3(O((1\/6)5<\/sup>)) = 0.0003858.<\/p>\n\n\n\n

Lo que podr\u00eda indicar que es necesario al menos dos tramos adicionales con h=1\/8 y error O(0,00012) que cumple con el requerimiento.<\/p>\n\n\n\n

Se puede aplicar el mismo criterio para Simpson 3\/8 y se combinan los errores para verificar que cumplen con el requerimiento.<\/p>\n\n\n\n

Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n\n

Resultados<\/p>\n\n\n\n

Ifx:  1.3333332933359998\nIgx:  0.238779092876627\nArea:  1.094554200459373<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"Medalla<\/figure>\n\n\n\n
Instrucciones en Python usando las funciones<\/p>\n\n\n
\n# 2Eva_2023PAOI_T1 Material para medalla de academia\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ndef integrasimpson13_fi(xi,fi,tolera = 1e-10):\n    ''' sobre muestras de fi para cada xi\n        integral con m\u00e9todo de Simpson 1\/3\n        respuesta es np.nan para tramos desiguales,\n        no hay suficientes puntos.\n    '''\n    n = len(xi)\n    i = 0\n    suma = 0\n    while not(i>=(n-2)):\n        h = xi[i+1]-xi[i]\n        dh = abs(h - (xi[i+2]-xi[i+1]))\n        if dh<tolera:# tramos iguales\n            unS13 = (h\/3)*(fi[i]+4*fi[i+1]+fi[i+2])\n            suma = suma + unS13\n        else:  # tramos desiguales\n            suma = 'tramos desiguales'\n        i = i + 2\n    if i<(n-1): # incompleto, faltan tramos por calcular\n        suma = 'tramos incompletos, faltan '\n        suma = suma ++str((n-1)-i)+' tramos'\n    return(suma)\n\ndef integrasimpson38_fi(xi,fi,tolera = 1e-10):\n    ''' sobre muestras de fi para cada xi\n        integral con m\u00e9todo de Simpson 3\/8\n        respuesta es np.nan para tramos desiguales,\n        no hay suficientes puntos.\n    '''\n    n = len(xi)\n    i = 0\n    suma = 0\n    while not(i>=(n-3)):\n        h  = xi[i+1]-xi[i]\n        h1 = (xi[i+2]-xi[i+1])\n        h2 = (xi[i+3]-xi[i+2])\n        dh = abs(h-h1)+abs(h-h2)\n        if dh<tolera:# tramos iguales\n            unS38 = fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3]\n            unS38 = (3\/8)*h*unS38\n            suma = suma + unS38\n        else:  # tramos desiguales\n            suma = 'tramos desiguales'\n        i = i + 3\n    if (i+1)<n: # incompleto, tramos por calcular\n        suma = 'tramos incompletos, faltan '\n        suma = suma +str(n-(i+1))+' tramos'\n    return(suma)\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: 2-8*(0.5-x)**2\ngx = lambda x: -(1-x)*np.log(1-x)\na = 0\nb = 1-1e-4\nmuestras1 = 2+1\nmuestras2 = 3+1\n\n# PROCEDIMIENTO\nxi1 = np.linspace(a,b,muestras1)\nxi2 = np.linspace(a,b,muestras2)\nfi = fx(xi1)\ngi = gx(xi2)\n\nIfx = integrasimpson13_fi(xi1,fi)\nIgx = integrasimpson38_fi(xi2,gi)\nArea = Ifx - Igx\n\n# SALIDA\nprint('Ifx: ', Ifx)\nprint('Igx: ', Igx)\nprint('Area: ', Area)\n\nplt.plot(xi1,fi,'ob',label='f(x)')\nplt.plot(xi2,gi,'or', label='g(x)')\nplt.grid()\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\n\n# curvas suave con mas muestras (no en evaluaci\u00f3n)\nxi = np.linspace(a,b,51)\nfxi = fx(xi)\ngxi = gx(xi)\nplt.fill_between(xi,fxi,gxi,color='navajowhite')\nplt.plot(xi,fxi,color='blue',linestyle='dotted')\nplt.plot(xi,gxi,color='red',linestyle='dotted')\n\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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