{"id":9161,"date":"2024-01-31T11:05:12","date_gmt":"2024-01-31T16:05:12","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=9161"},"modified":"2026-04-05T20:42:56","modified_gmt":"2026-04-06T01:42:56","slug":"s2eva2023paoii_t1-volumen-solido-revolucion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s2eva30\/s2eva2023paoii_t1-volumen-solido-revolucion\/","title":{"rendered":"s2Eva2023PAOII_T1 Volumen por s\u00f3lido de revoluci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 2Eva2023PAOII_T1 Volumen por solido de revoluci\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

El volumen se calcula a partir de la expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n V = \\int_{a}^{b} \\pi (f(x))^2 dx <\/span>\n\n\n\n

\"Integra<\/figure>\n\n\n\n

literal a y c<\/h3>\n\n\n\n

Para el volumen con f(x) con al menos 3 tramos y un m\u00e9todo de Simpson, directamente se puede usar 3\/8. Por lo que se Se reemplaza en la f\u00f3rmula de volumen del s\u00f3lido de revoluci\u00f3n f(x) con:<\/p>\n\n\n f(x) = \\sqrt{\\sin (x\/2)} <\/span>\n\n\n\n

obteniendo:<\/p>\n\n\n V_{fx} = \\int_{a}^{b} \\pi \\Big(\\sqrt{\\sin (x\/2)} \\Big)^2 dx = \\int_{a}^{b} \\pi \\sin (x\/2) dx <\/span>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n dentro del integral se denomina como fv<\/sub>:<\/p>\n\n\n f_v (x)= \\pi \\sin (x\/2) <\/span>\n\n\n\n

en el intervalo [0.1, 1.8],  con al menos 3 tramos, se requieren 4 muestras con tama\u00f1o de paso hf<\/sub>: y truncando a 4 decimales los resultados calculados con Python.<\/p>\n\n\n h_f =\\frac{b-a}{tramos} = \\frac{1.8-0.1}{3} = 0.5666<\/span>\n\n\n\n

los puntos de muestra quedan np.linspace(0.1,1.8,3+1)<\/code>:<\/p>\n\n\n\n

xis<\/sub>= [0.1, 0.6666, 1.2333, 1.8 ]<\/p>\n\n\n\n

El integral se calcula con los puntos de muestra,<\/p>\n\n\n V_{fx} = \\frac{3}{8} (0.5666) \\Big( f_v(0.1) +3 f_v(0.6666) +<\/span>\n\n\n + 3 f_v(1.2333)+ f_v(1.8)\\Big) <\/span>\n\n\n\n

recordando que se usa en radianes,<\/p>\n\n\n V_{fx} = \\frac{3}{8} (0.5666) \\Bigg( \\pi \\sin \\Big(\\frac{0.1}{2}\\Big) +3 \\pi \\sin \\Big(\\frac{0.6666}{2}\\Big) + <\/span>\n\n\n + 3 \\pi \\sin\\Big(\\frac{1.2333}{2}\\Big)+ \\pi \\sin \\Big(\\frac{1.8}{2}\\Big)\\Bigg) <\/span>\n\n\n = \\frac{3}{8} (0.5666) \\Big( 0.1570+3 (1.0279) + <\/span>\n\n\n + 3 (1.8168)+ 2.4608\\Big) <\/span>\n\n\n\n

literal d<\/strong>. el volumen generado por f(x) tiene como resultado:<\/p>\n\n\n V_{fx} = 2.3698 <\/span>\n\n\n\n

la cota de error para fx es el orden de O(h5<\/sup>) = O(0.56665<\/sup>) = O(0.05843), queda como tarea completar la cota de error total.<\/p>\n\n\n\n

literal b y c<\/h3>\n\n\n\n

Para el volumen con g(x) con al menos 2 tramos y Cuadratura de Gauss de dos puntos, se reemplaza en la f\u00f3rmula de volumen de s\u00f3lido de revoluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n g(x) = e^{x\/3} - 1 <\/span>\n\n\n V_{gx} = \\int_{a}^{b} \\pi (e^{x\/3} - 1)^2 dx <\/span>\n\n\n\n

La expresi\u00f3n dentro del integral se denomina como gv<\/sub>:<\/p>\n\n\n g_v = \\pi (e^{x\/3} - 1)^2 <\/span>\n\n\n\n

en el intervalo [0.1, 1.8],  con al menos 2 tramos, se requieren 3 muestras con tama\u00f1o de paso hg<\/sub>:<\/p>\n\n\n h_g =\\frac{b-a}{tramos} = \\frac{1.8-0.1}{2} = 0.85 <\/span>\n\n\n\n

xic<\/sub> = [0.1, 0.95, 1.8 ]<\/p>\n\n\n\n

tramo 1<\/em><\/strong>: [0.1, 0.95] , a = 0.1 , b= 0.95, truncando a 4 decimales<\/p>\n\n\n x_a = \\frac{0.95+0.1}{2} - \\frac{0.95-0.1}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 0.2796<\/span>\n\n\n x_b = \\frac{0.95+0.1}{2} + \\frac{0.95-0.1}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 0.7703<\/span>\n\n\n g_v(0.2796) = \\pi (e^{0.2796\/3} - 1)^2 = 0.02998 <\/span>\n\n\n g_v(0.7703) = \\pi (e^{0.7703\/3} - 1)^2 = 0.2692 <\/span>\n\n\n V_{c1} = \\frac{0.95-0.1}{2}(g_v(0.2796) + g_v(0.7703))<\/span>\n\n\n V_{c1} = \\frac{0.95-0.1}{2}(0.02998 + 0.2692)<\/span>\n\n\n V_{c1} = 0.1271 <\/span>\n\n\n\n

tramo 2<\/strong><\/em>: [0.95, 1.8] , a = 0.95 , b= 1.8<\/p>\n\n\n x_a = \\frac{1.8+0.95}{2} - \\frac{1.8-0.95}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 1.1296 <\/span>\n\n\n x_b = \\frac{1.8+0.95}{2} - \\frac{1.8-0.95}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 1.6203 <\/span>\n\n\n g_v(1.1296) = \\pi (e^{1.1296\/3} - 1)^2 = 0.6567 <\/span>\n\n\n g_v(1.6203) = \\pi (e^{1.6203\/3} - 1)^2 = 1.6115 <\/span>\n\n\n V_{c2} = \\frac{1.8-0.95}{2}(g_v(1.1296) + g_v(1.6203))<\/span>\n\n\n V_{c2} = \\frac{1.8-0.95}{2}(0.6567 + 1.6115)<\/span>\n\n\n V_{c2} = 0.9640 <\/span>\n\n\n\n

literal d.<\/strong> volumen generado por g(x)<\/p>\n\n\n V_{gx} = V_{c1} + V_{c2} = 0.1271 + 0.9640 = 1.0912<\/span>\n\n\n\n

completar la cota de error para cuadratura de Gauss de dos puntos.<\/p>\n\n\n\n

literal e<\/strong>. El volumen de revoluci\u00f3n se genera como la resta del volumen de f(x) y volumen g(x)<\/p>\n\n\n V = V_{fx} - V_{gx} = 2.3698 - 1.0912 = 1.2785<\/span>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Algoritmo con Python<\/h2>\n\n\n\n

Los resultados usando el algoritmo con las operaciones usadas en el planteamiento son:<\/p>\n\n\n\n

para f(x):\nxis= [0.1        0.66666667 1.23333333 1.8       ]\nfiv= [0.15701419 1.02791246 1.81684275 2.46089406]\nVolumenfx:  2.369836948864926\n\npara g(x):\nPor tramos: [0.1  0.95 1.8 ]\nxab= [0.2796261355944091, 0.770373864405591,\n      1.129626135594409, 1.620373864405591]\ngab= [0.02998177327492598, 0.26928904479784566,\n      0.6567986343358181, 1.6115494735531555]\nVc1= 0.12719009768092793  ; Vc2= 0.964047945852814\nVolumengx:  1.0912380435337419\n\nVolumen solido revolucion: 1.2785989053311841<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Considerando realizar los c\u00e1lculos para cada secci\u00f3n:<\/p>\n\n\n
\n# 2Eva_2023PAOII_T1 Volumen por solido de revoluci\u00f3n\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.sqrt(np.sin(x\/2))\ngx = lambda x: np.exp(x\/3)-1\na = 0.1\nb = 1.8\ntramosSimpson = 3\ntramosCGauss = 2\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Volumen para f(x) con Simpson\nfv = lambda x: np.pi*np.sin(x\/2)\nhs = (b-a)\/tramosSimpson\nxis = np.linspace(a,b,tramosSimpson +1)\nfiv = fv(xis)\nVs = (3\/8)*hs*(fiv[0]+3*fiv[1]+3*fiv[2]+ fiv[3])\n\n# Volumen para g(x) con Cuadratura de Gauss\ngv = lambda x: np.pi*(np.exp(x\/3)-1)**2\nhc = (b-a)\/tramosSimpson\nxic = np.linspace(a,b,tramosCGauss +1)\n# tramo 1\nac = xic[0]\nbc = xic[1]\nxa = (bc+ac)\/2 + (bc-ac)\/2*(-1\/np.sqrt(3)) \nxb = (bc+ac)\/2 + (bc-ac)\/2*(1\/np.sqrt(3))\nVc1 = (bc-ac)\/2*(gv(xa)+gv(xb))\nxab = [xa,xb]\ngab = [gv(xa),gv(xb)]\n# tramo 2\nac = xic[1]\nbc = xic[2]\nxa = (bc+ac)\/2 + (bc-ac)\/2*(-1\/np.sqrt(3)) \nxb = (bc+ac)\/2 + (bc-ac)\/2*(1\/np.sqrt(3))\nVc2 = (bc-ac)\/2*(gv(xa)+gv(xb))\nVc = Vc1+Vc2\nxab.append(xa)\nxab.append(xb)\ngab.append(gv(xa))\ngab.append(gv(xb))\n\n# Volumen solido revolucion\nVolumen = Vs - Vc\n\n# SALIDA\nprint("para f(x):")\nprint("xis=", xis)\nprint("fiv=", fiv)\nprint("Volumenfx: ",Vs)\nprint()\nprint("para g(x):")\nprint("Por tramos:",xic)\nprint("xab=", xab)\nprint("gab=", gab)\nprint("Vc1=",Vc1," ; Vc2=",Vc2) \nprint("Volumengx: ",Vc)\nprint()\nprint("Volumen solido revolucion:",Volumen)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
para la gr\u00e1fica presentada en el enunciado (no requerida<\/strong>) , se complementa con las instrucciones:<\/p>\n\n\n\n
\"Integra<\/figure>\n\n\n
\n# para grafica -------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\nmuestras = 21 # grafica\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\ngi = gx(xi)\nxig = np.linspace(a,b,tramosCGauss+1)\nfis = fx(xis)\ngig = gx(xig)\n\n# grafica\nplt.plot(xi,fi, label="f(x)")\nplt.plot(xi,gi, label="g(x)")\nplt.plot([0.0,2.0],[0,0], marker=".", color="blue")\nplt.fill_between(xi,fi,gi,color="lightgreen")\nplt.axhline(0)\nplt.axvline(a, linestyle="dashed")\nplt.axvline(b, linestyle="dashed")\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x), g(x)')\nplt.legend()\nplt.plot(xis,fis,'.b')\nplt.plot(xig,gig,'.r')\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
Gr\u00e1fica de s\u00f3lido de revoluci\u00f3n en 3D<\/h3>\n\n\n\n
\"Integra<\/figure>\n\n\n\n
Instrucciones en Python<\/h4>\n\n\n
\n# 2Eva_2023PAOII_T1 Volumen por solido de revoluci\u00f3n\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nfrom mpl_toolkits.mplot3d import axes3d\n\n# INGRESO\nf = lambda x: np.sqrt(np.sin(x\/2))\ng = lambda x: np.exp(x\/3)-1\n\n# eje x\nxa = 0.1\nxb = 1.8\nxmuestras = 31\n# angulo w de rotaci\u00f3n\nw_a = 0\nw_b = 2*np.pi\nw_muestras = 31\n\n# PROCEDIMIENTO\n# muestreo en x y angulo w\nxi = np.linspace(xa, xb, xmuestras)\nwi = np.linspace(w_a, w_b, w_muestras)\nX, W = np.meshgrid(xi, wi)\n\n# evalua f(x) en 3D\nYf = f(xi)*np.cos(W)\nZf = f(xi)*np.sin(W)\n\n# evalua g(x) en 3D\nYg = g(xi)*np.cos(W)\nZg = g(xi)*np.sin(W)\n\n# SALIDA\n\n# grafica 3D\nfigura = plt.figure()\ngrafica = figura.add_subplot(111, projection='3d')\n\ngrafica.plot_surface(X, Yf, Zf,\n                     color='blue', label='f(x)',\n                     alpha=0.3, rstride=6, cstride=12)\ngrafica.plot_surface(X, Yg, Zg,\n                     color='orange', label='g(x)',\n                     alpha=0.3, rstride=6, cstride=12)\n\ngrafica.set_title('Solidos de revoluci\u00f3n')\ngrafica.set_xlabel('x')\ngrafica.set_ylabel('y')\ngrafica.set_zlabel('z')\n# grafica.legend()\neleva = 45\nrota = 45\ndeltaw = 5\ngrafica.view_init(eleva, rota)\n\n# rotacion de ejes\nfor angulo in range(rota, 360+rota, deltaw ):\n    grafica.view_init(eleva, angulo)\n    plt.draw()\n    plt.pause(.001)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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