{"id":9202,"date":"2024-02-15T12:00:21","date_gmt":"2024-02-15T17:00:21","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=9202"},"modified":"2026-04-05T21:06:48","modified_gmt":"2026-04-06T02:06:48","slug":"s3eva2023paoii_t1-interseccion-con-circulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2023paoii_t1-interseccion-con-circulo\/","title":{"rendered":"s3Eva2023PAOII_T1 Intersecci\u00f3n con c\u00edrculo"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2023PAOII_T1 Intersecci\u00f3n con c\u00edrculo<\/a><\/p>\n\n\n\n

Encuentre las ra\u00edces de las ecuaciones simultaneas siguientes:<\/p>\n\n\n\n

literal a y b<\/h3>\n\n\n\n

Use el enfoque gr\u00e1fico para obtener los valores iniciales.<\/p>\n\n\n 2y+1.75 x = 35.25 <\/span>\n\n\n (y-7.6)^2 + (x-8.6)^2 = (6.7)^2 <\/span>\n\n\n\n

se despeja la variable dependiente de cada ecuaci\u00f3n, para la primera:<\/p>\n\n\n f(x) = y = \\frac{35.25}{2} - \\frac{1.75}{2} x <\/span>\n\n\n\n

para la segunda:<\/p>\n\n\n (y-7.6)^2 = (6.7)^2 - (x-8.6)^2 <\/span>\n\n\n g(x) = y = \\sqrt{(6.7)^2 - (x-8.6)^2} + 7.6 <\/span>\n\n\n\n

Al buscar la intersecci\u00f3n entre f(x) y g(x) se puede encontrar con la raiz de:<\/p>\n\n\n distancia(x) = f(x) - g(x) <\/span>\n\n\n distancia(x) = \\Big( \\frac{35.25}{2} - \\frac{1.75}{2} x\\Big) - \\Big(\\sqrt{(6.7)^2 - (x-8.6)^2} + 7.6\\Big) <\/span>\n\n\n\n

La primera ecuaci\u00f3n es una recta, por lo que no aporta a las cotas de la gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n

La segunda ecuaci\u00f3n es la general de un c\u00edrculo centrado en (7.6, 8.6) y radio 6.7, por lo que se considera el intervalo para la gr\u00e1fica entre:<\/p>\n\n\n [7.6 -6.7, 7.6+6.7] <\/span>\n\n\n [0.9, 14.3] <\/span>\n\n\n\n

Con lo que se puede formar la gr\u00e1fica de la parte superior del c\u00edrculo en Python:<\/p>\n\n\n\n

\"tema1<\/figure>\n\n\n\n

Instrucciones en Python<\/h4>\n\n\n
\n# 3Eva_2023PAOII_T1 Intersecci\u00f3n con c\u00edrculo\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nf = lambda x: -(1.75\/2)*x + (35.25\/2)\ng = lambda x: np.sqrt(6.7**2-(x-8.6)**2) + 7.6\ndistancia = lambda x: f(x)- g(x)\n\na = 0.5\nb = 16\nmuestras = 21\n\n# PROCEDIMIENTO\n# literal a y b\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = f(xi)\ngi = g(xi)\ndist_i = distancia(xi)\n\n# SALIDA - Grafica\n# literal a y b\nplt.plot(xi,fi, label='f(x)')\nplt.plot(xi,gi, label='g(x)')\nplt.plot(xi,dist_i, label='f(x)-g(x)')\nplt.axhline(0, color='black', linestyle='dashed')\nplt.axvline(5, color='red', linestyle='dashed')\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('y')\nplt.legend()\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
literal c<\/h3>\n\n\n\n
Un punto inicial de b\u00fasqueda dentro del intervalo puede ser x0=3.<\/p>\n\n\n\n
Para Newton-Raphson se usa:<\/p>\n\n\n f(x) = \\Big( \\frac{35.25}{2} - \\frac{1.75}{2} x\\Big) - \\Big(\\sqrt{(6.7)^2 - (x-8.6)^2} + 7.6\\Big) <\/span>\n\n\n \\frac{d}{dx}f(x) = -\\frac{8.6(0.1162-0.0135x)}{\\sqrt{0.0609-(0.1162x-1)^2}}-0.875 <\/span>\n\n\n\n
(derivada obtenida con sympy)<\/p>\n\n\n\n
itera = 0 ; xi = 3<\/p>\n\n\n f(3) = \\Big( \\frac{35.25}{2} - \\frac{1.75}{2} (3)\\Big) - \\Big(\\sqrt{(6.7)^2 - ((3)-8.6)^2} + 7.6\\Big) <\/span>\n\n\n \\frac{d}{dx}f(3) = -\\frac{8.6(0.1162-0.0135(3))}{\\sqrt{0.0609-(0.1162(3)-1)^2}}-0.875 <\/span>\n\n\n x_1 = x_0 - \\frac{f(3)}{\\frac{d}{dx}f(3)} = 4.55<\/span>\n\n\n tramo = |4.55-3| = 1.55<\/span>\n\n\n\n
itera = 1 ; xi = 4.55<\/p>\n\n\n f(3) = \\Big( \\frac{35.25}{2} - \\frac{1.75}{2} (4.55)\\Big) - \\Big(\\sqrt{(6.7)^2 - ((4.55)-8.6)^2} + 7.6\\Big) <\/span>\n\n\n \\frac{d}{dx}f(3) = -\\frac{8.6(0.1162-0.0135(4.55))}{\\sqrt{0.0609-(0.1162(4.55)-1)^2}}-0.875 <\/span>\n\n\n x_2 = x_1 - \\frac{f(4.55)}{\\frac{d}{dx}f(4.55)} = 4.98<\/span>\n\n\n tramo = |4.98-4.55| = 0.43<\/span>\n\n\n\n
itera = 2 ; xi = 4.98<\/p>\n\n\n f(3) = \\Big( \\frac{35.25}{2} - \\frac{1.75}{2} (4.98)\\Big) - \\Big(\\sqrt{(6.7)^2 - ((4.98)-8.6)^2} + 7.6\\Big) <\/span>\n\n\n \\frac{d}{dx}f(3) = -\\frac{8.6(0.1162-0.0135(4.98))}{\\sqrt{0.0609-(0.1162(4.98)-1)^2}}-0.875 <\/span>\n\n\n x_3 = x_2 - \\frac{f(4.98)}{\\frac{d}{dx}f(4.98)} = 4.99<\/span>\n\n\n tramo = |4.99-4.98| = 0.01<\/span>\n\n\n\n
literal d<\/h3>\n\n\n\n
El error disminuye en cada iteraci\u00f3n, por lo que el m\u00e9todo converge.<\/p>\n\n\n\n
Con el algoritmo se muestra que converge a x=5<\/p>\n\n\n\n
dfg(x) = \n     8.6*(0.116279069767442 - 0.0135208220659816*x)          \n- --------------------------------------------------- - 0.875\n     ________________________________________________        \n    \/                                              2         \n  \\\/  0.606949702541915 - (0.116279069767442*x - 1)          \n\n['xi', 'xnuevo', 'tramo']\n[[3.0000e+00 4.5524e+00 1.5524e+00]\n [4.5524e+00 4.9825e+00 4.3018e-01]\n [4.9825e+00 4.9995e+00 1.6999e-02]\n [4.9995e+00 4.9996e+00 2.3865e-05]]\nraiz en:  4.9995611025201585\ncon error de:  2.3865455016647275e-05<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 3Eva_2023PAOII_T1 Intersecci\u00f3n con c\u00edrculo\nimport sympy as sym\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\n# forma algebraica con sympy\nx = sym.Symbol('x')\nf = -(1.75\/2)*x + (35.25\/2)\ng = sym.sqrt(6.7**2-(x-8.6)**2) + 7.6\ndistancia = f - g\n\nx0 = 3\ntolera = 0.0001 # 1e-4\n\n# PROCEDIMIENTO\n# literal c\ndfg = sym.diff(distancia,x)\n# convierte a forma numerica con numpy\n# Newton-Raphson\nfx = sym.lambdify(x,distancia)\ndfx = sym.lambdify(x,dfg)\n\ntabla = []\ntramo = abs(2*tolera)\nxi = x0\nwhile (tramo>=tolera):\n    xnuevo = xi - fx(xi)\/dfx(xi)\n    tramo  = abs(xnuevo-xi)\n    tabla.append([xi,xnuevo,tramo])\n    xi = xnuevo\n\n# convierte la lista a un arreglo.\ntabla = np.array(tabla)\nn = len(tabla)\n\n# SALIDA\nprint('dfg(x) = ')\nsym.pprint(dfg)\nprint()\nprint(['xi', 'xnuevo', 'tramo'])\nnp.set_printoptions(precision = 4)\nprint(tabla)\nprint('raiz en: ', xi)\nprint('con error de: ',tramo)\n<\/pre><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejercicio: 3Eva2023PAOII_T1 Intersecci\u00f3n con c\u00edrculo Encuentre las ra\u00edces de las ecuaciones simultaneas siguientes: literal a y b Use el enfoque gr\u00e1fico para obtener los valores iniciales. se despeja la variable dependiente de cada ecuaci\u00f3n, para la primera: para la segunda: Al buscar la intersecci\u00f3n entre f(x) y g(x) se puede encontrar con la raiz de: […]<\/p>\n","protected":false},"author":8043,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"wp-custom-template-entrada-mn-ejemplo","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[52],"tags":[58,54],"class_list":["post-9202","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mn-s3eva30","tag-ejemplos-python","tag-mnumericos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9202","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8043"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9202"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9202\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":23942,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9202\/revisions\/23942"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9202"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9202"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9202"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}