{"id":9212,"date":"2024-02-15T12:10:30","date_gmt":"2024-02-15T17:10:30","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=9212"},"modified":"2026-04-05T21:06:31","modified_gmt":"2026-04-06T02:06:31","slug":"s3eva2023paoii_t2-perfil-de-un-peon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2023paoii_t2-perfil-de-un-peon\/","title":{"rendered":"s3Eva2023PAOII_T2 perfil de un pe\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2023PAOII_T2 perfil de un pe\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

literal a y b<\/h3>\n\n\n\n
\"Un<\/figure>\n\n\n\n

Para el planteamiento de los polinomios, es necesario observar la gr\u00e1fica proporcionada para el ejercicio y la correspondiente tabla de datos:<\/p>\n\n\n\n

xi<\/sub><\/td>0<\/td>3<\/td>5<\/td>9.985<\/td>14.97<\/td>17.97<\/td>40.04<\/td>43.29<\/td>51.6456<\/td>60<\/td><\/tr>
yi<\/sub><\/td>15<\/td>15<\/td>13.25<\/td>14.155<\/td>9.676<\/td>9.676<\/td>4.64<\/td>4.64<\/td>8.976<\/td>0<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Para el intervalo [0,3], El perfil se describe con una constante, por lo tanto:<\/p>\n\n\n p_1(x) = 15<\/span>\n\n\n\n

Para el intervalo [3,5] el perfil se describe como una recta con pendiente negativa.<\/p>\n\n\n p_2(x) =a_0 + a_1 x <\/span>\n\n\n a_1 = \\frac{ 13.25-15}{5-3} = -0.875<\/span>\n\n\n p_2(5) = 13.25 =a_0 -0.875 (5) <\/span>\n\n\n a_0 = 13.25 +0.875 (5) = 17.625 <\/span>\n\n\n p_2(x) = -0.875 x + 17.625 <\/span>\n\n\n\n

Para el con los puntos xi = [5, 9.985, 14.97] el perfil se describe con tres puntos, por lo que el polinomio de interpolaci\u00f3n puede ser de grado 2. Usando el m\u00e9todo de Lagrange:<\/p>\n\n\n p_3(x) =\\frac{(x-9.985)( x-14.97)}{(5-9.985)( 5-14.97)} 13.25 + <\/span>\n\n\n +\\frac{(x-5)( x-14.97)}{(9.985-5)( 9.985-14.97)} 14.155 + <\/span>\n\n\n +\\frac{(x-5)( x-9.985)}{(14.97-5)( 14.97-9.985)} 9.676 + <\/span>\n\n\n\n

simplificando la expresi\u00f3n con Python y Sympy:<\/p>\n\n\nP_3(x) = -0.1083 x^2 + 1.8047 x + 6.9341 <\/span>\n\n\n\n

\"Un<\/figure>\n\n\n\n

literal c<\/h3>\n\n\n\n

El error para los polinomios acorde a la gr\u00e1fica proporcionada es cero para los tramos [0,3] y [3,5], dado que el primero es una constante y el segundo es una recta con pendiente.<\/p>\n\n\n\n

El error de mayor magnitud se presenta con la interpolaci\u00f3n entre el c\u00edrculo de la ecuaci\u00f3n del tema 1 y el polinomio de grado 2 en el intervalo [5, 14.97]. Tomando como ejemplo el punto intermedio del tramo derecho en:<\/p>\n\n\n x_k = \\frac{14.97-5}{4} + 9.985= 12.4775 <\/span>\n\n\n p_3(12.4775) = -0.1083(12.4775)^2 + 1.8047(12.4775) + 6.9341 <\/span>\n\n\n = 12.5889 <\/span>\n\n\n f(12.4775) = \\sqrt{6.7^2-(12.4775-8.6)^2} + 7.6 = 13.0639 <\/span>\n\n\nerrado = |p_3(12.4775) - f(12.4775)| = 0.4750 <\/span>\n\n\n\n

literal d<\/h3>\n\n\n\n

Se puede mejorar la aproximaci\u00f3n del polinomio aumentando el grado y n\u00famero de puntos a usar dentro del intervalo. El resultado se deber\u00eda acercar mas al perfil superior del c\u00edrculo de referencia del tema 1.<\/p>\n\n\n\n

Resultados para el intervalo [5, 14.97]<\/h3>\n\n\n\n
    valores de fi:  [13.25   14.1552  9.6768]\ndivisores en L(i):  [ 49.70045  -24.850225  49.70045 ]\n\nPolinomio de Lagrange, expresiones\n0.266597183727713*(x - 14.97)*(x - 9.985) \n- 0.569620596996607*(x - 14.97)*(x - 5.0) \n+ 0.194702462452553*(x - 9.985)*(x - 5.0)\n\nPolinomio de Lagrange: \n-0.108320950816341*x**2 + 1.80477420224566*x + 6.93415275918024\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 3Eva_2023PAOII_T2 perfil de un pe\u00f3n\nimport sympy as sym\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\n# INGRESO\nxj=[ 0, 3, 5.  , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60]\nyj=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768,  9.67,  4.64,  4.64,  8.9768, 0.]\n\n\n#  Datos de prueba\nia = 2\nib = 4+1\nxi = np.array(xj[ia:ib])\nfi = np.array(yj[ia:ib])\n\ng = lambda x: np.sqrt(6.7**2-(x-8.6)**2) + 7.6\nmuestras = 21\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Polinomio de Lagrange\nn = len(xi)\nx = sym.Symbol('x')\npolinomio = 0\ndivisorL = np.zeros(n, dtype = float)\nfor i in range(0,n,1):\n    \n    # Termino de Lagrange\n    numerador = 1\n    denominador = 1\n    for j  in range(0,n,1):\n        if (j!=i):\n            numerador = numerador*(x-xi[j])\n            denominador = denominador*(xi[i]-xi[j])\n    terminoLi = numerador\/denominador\n\n    polinomio = polinomio + terminoLi*fi[i]\n    divisorL[i] = denominador\n\n# simplifica el polinomio\npolisimple = polinomio.expand()\n\n# para evaluaci\u00f3n num\u00e9rica\npx = sym.lambdify(x,polisimple)\n\n# Puntos para la gr\u00e1fica\nmuestras = 101\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\npxi = np.linspace(a,b,muestras)\npfi = px(pxi)\ngi = g(pxi)\n\n# SALIDA\nprint('    valores de fi: ',fi)\nprint('divisores en L(i): ',divisorL)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange, expresiones')\nprint(polinomio)\nprint()\nprint('Polinomio de Lagrange: ')\nprint(polisimple)\n\n# Gr\u00e1fica\nplt.plot(xi,fi,'o', label = 'Puntos')\nplt.plot(pxi,pfi, label = 'Polinomio')\nplt.plot(pxi,gi, label = 'g(x)')\nplt.legend()\nplt.xlabel('xi')\nplt.ylabel('fi')\nplt.title('Interpolaci\u00f3n Lagrange')\nplt.grid()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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