Regla trapecio<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo xi,fi<\/a> Referencia<\/strong>: Chapra 21.1 p621 Burden 4.3 p142, Rodr\u00edguez 7.1.1 p27<\/p>\n\n\n\n I \\cong \\frac{h}{2}(f(x_0)+f(x_1))<\/span>\n\n\n\n La integraci\u00f3n num\u00e9rica con la regla del trapecio usa un polinomio de primer grado<\/strong> como aproximaci\u00f3n de f(x) entre los extremos del intervalo [a,b].<\/p>\n\n\n\n Es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes.<\/p>\n\n\n\n I = \\int_{a}^{b} f(x) dx \\cong \\int_{a}^{b} f_1 (x) dx <\/span>\n\n\n\n usando el intervalo entre [a,b] el polinomio se aproxima con una l\u00ednea recta:<\/p>\n\n\n\n f_1 (x) = f(a) + \\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) <\/span>\n\n\n\n el \u00e1rea bajo esta l\u00ednea recta es una aproximaci\u00f3n de la integral de f(x) entre los l\u00edmites a y b<\/p>\n\n\n\n El resultado del integral es la regla del trapecio para el intervalo [a,b]:<\/p>\n\n\n\n I \\cong (b-a) \\frac{f(a)+f(b)}{2}<\/span>\n\n\n\n que se interpreta como la multiplicaci\u00f3n entre la base y altura promedio de un trapecio. Tambi\u00e9n se llega al resultando sumando las \u00e1reas de sus componentes: rect\u00e1ngulo y tri\u00e1ngulo.<\/p>\n\n\n\n Para disminuir el error, para un intervalo mas grande [a,b] se divide el intervalo en varios tramos<\/strong> de tama\u00f1o h<\/strong>. El integral de un tramo se define como:<\/p>\n\n\n\n h = \\frac{b-a}{tramos}<\/span>\n\n\n\n I \\cong \\frac{h}{2}(f(x_i)+f(x_i+h))<\/span>\n\n\n\n I \\cong \\frac{h}{2}(f(x_i)+f(x_{i+1}))<\/span>\n\n\n\n El error de truncamiento se encuentra como el integral del t\u00e9rmino que le sigue al polinomio de Taylor en la aproximaci\u00f3n, es decir el de grado 2, que al integrarlo tiene un orden de h3<\/sup>. (Rodr\u00edguez p275)<\/p>\n\n\n\n error_{truncar} = -\\frac{h^3}{12}f''(z)<\/span>\n\n\n\n a < z < b<\/p>\n\n\n\n Regla trapecio<\/a><\/p>\n\n\n\n Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n Algoritmo xi,fi<\/a> Para integrar la funci\u00f3n en el intervalo [1,3] con 4, 16, 32 ,64 y 128 tramos,<\/p>\n\n\n\nf(x)= \\sqrt {(x)} \\sin(x)<\/span>\n\n\n\n Tramos<\/strong> = 4<\/p>\n\n\n\n El intervalo [1,3] se divide en tramos con tama\u00f1o de paso h<\/strong><\/p>\n\n\n\n h=\\frac{b-a}{tramos}=\\frac{3-1}{4}= 0.5<\/span>\n\n\n\n para cada tramo, el \u00e1rea de un trapecio es:<\/p>\n\n\n\nA_1 = \\frac{0.5}{2} (f(1)+f(1+0.5))= 0.5157<\/span>\n\n\n\nA_2 = \\frac{0.5}{2} (f(1.5)+f(1.5+0.5))= 0.6269<\/span>\n\n\n\nA_3 = \\frac{0.5}{2} (f(2)+f(2+0.5))= 0.5580<\/span>\n\n\n\nA_4 = \\frac{0.5}{2} (f(2.5)+f(2.5+0.5))= 0.2976<\/span>\n\n\n\n y el integral de todo el intervalo es la suma de todos los trapecios.<\/p>\n\n\n\n Integral = A_1+ A_2+ A_3+A_4 = 1.9984<\/span>\n\n\n\n Siguiendo el procedimiento, para cada cantidad de tramos en el intervalo, los resultados ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n .<\/p>\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n1. Regla del Trapecio<\/h2>\n\n\n\n
![\"regla](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/reglatrapecio_ani.gif\")
<\/figure>\n\n\n\n
\n\n\n\n
<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n2. Ejercicio de Integraci\u00f3n con el m\u00e9todo del trapecio<\/h2>\n\n\n\n
![\"regla](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/reglatrapecio01.png\")
<\/figure>\n\n\n\n<\/figure>\n\n\n\ntramos: 4\nIntegral fx con trapecio: 1.99841708623<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"reglat](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/reglatrapecio02.png\")
<\/figure>\n\n\n\ntramos: 16\nIntegral fx con trapecio: 2.05019783717<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"regla](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/reglatrapecio03.png\")
<\/figure>\n\n\n\ntramos: 32\nIntegral fx con trapecio: 2.052772<\/code><\/pre>\n\n\n\n![\"regla](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/08\/reglatrapecio04.png\")
<\/figure>\n\n\n\ntramos: 64\nIntegral fx con trapecio: 2.05341563776<\/code><\/pre>\n\n\n\ntramos: 128\nIntegral fx con trapecio: 2.05357647096<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n