{"id":9235,"date":"2024-02-15T12:20:58","date_gmt":"2024-02-15T17:20:58","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/analisisnumerico\/?p=9235"},"modified":"2026-04-05T21:05:57","modified_gmt":"2026-04-06T02:05:57","slug":"s3eva2023paoii_t3-volumen-solido-revolucion-peon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-s3eva30\/s3eva2023paoii_t3-volumen-solido-revolucion-peon\/","title":{"rendered":"s3Eva2023PAOII_T3 Volumen por s\u00f3lido de revoluci\u00f3n de un pe\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Ejercicio<\/strong>: 3Eva2023PAOII_T3 Volumen por solido de revoluci\u00f3n de un pe\u00f3n<\/a><\/p>\n\n\n\n

El volumen se calcula a partir de la expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n V = \\int_{a}^{b} \\pi (f(x))^2 dx <\/span>\n\n\n\n

\"Un<\/figure>\n\n\n\n
xi=[ 0, 3, 5.  , 9.985 , 14.97 , 17.97, 40.04, 43.29, 51.6449, 60]\nyi=[15,15,13.25,14.1552, 9.6768,  9.67,  4.64,  4.64,  8.9768, 0.]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Para el intervalo [0,3]<\/h3>\n\n\n\n
La funci\u00f3n es una constante<\/p>\n\n\n\n
literal a, b y c<\/h4>\n\n\n f(x) = 15 <\/span>\n\n\n V = \\int_{0}^{3} \\pi (15)^2 dx <\/span>\n\n\n = \\pi (15)^2 x \\big|_{0}^{3} = \\pi (15)^2 (3-0) = 2120.5750 <\/span>\n\n\n\n
Para el intervalo [3,5]<\/h3>\n\n\n\n
literal a<\/h4>\n\n\n\n
La funci\u00f3n es una recta con pendiente negativa<\/p>\n\n\n f(x) = -0.875 x + 17.625 <\/span>\n\n\n V = \\int_{3}^{5} \\pi (f(x))^2 dx <\/span>\n\n\n V = \\int_{3}^{5} \\pi (-0.875 x+17.625)^2 dx <\/span>\n\n\n\n
para el integral con cuadratura de Gauss<\/p>\n\n\n g(x) = \\pi (-0.875*x+17.625)^2 <\/span>\n\n\n\n
literal b y c<\/h4>\n\n\n x_a = \\frac{5+3}{2} - \\frac{5-3}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 3.4226 <\/span>\n\n\n x_b = \\frac{5+3}{2} + \\frac{5-3}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 4.5773 <\/span>\n\n\n\n
con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:<\/p>\n\n\n I \\cong \\frac{5-3}{2}(g(3.4226) + g(4.5773)) <\/span>\n\n\n = \\frac{5-3}{2} (672.43+582.76) = 1255.1971<\/span>\n\n\n\n
Para el intervalo [5, 14.97]<\/h3>\n\n\n\n
literal a<\/h4>\n\n\n\n
Del polinomio obtenido en el ejercicio anterior para \u00e9ste intervalo<\/p>\n\n\n f(x) = -0.1083 x^2+1.8047 x + 6.9341 <\/span>\n\n\n V = \\int_{5}^{14.97} \\pi (f(x))^2 dx <\/span>\n\n\nV = \\int_{5}^{14.97} \\pi (-0.1083 x^2+1.8047 x + 6.9341)^2 dx [<\/span>\n\n\n g(x) = \\pi (-0.1083 x^2+1.8047 x + 6.9341)^2 <\/span>\n\n\n\n
literal b y c<\/h4>\n\n\n x_a = \\frac{14.97+5}{2} - \\frac{14.97-5}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 7.1069 <\/span>\n\n\n x_b = \\frac{14.97+5}{2} + \\frac{14.97-5}{2}\\frac{1}{\\sqrt{3}} = 12.8630 <\/span>\n\n\n\n
con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:<\/p>\n\n\n I \\cong \\frac{14.97-5}{2}(g(7.1069) + g(12.8630)) <\/span>\n\n\n = \\frac{14.97-5}{2} (641.5176+469.8124) = 5539.9805 <\/span>\n\n\n\n
literal d<\/h3>\n\n\n\n
El volumen total es la suma de los resultados de cada una de las secciones:<\/p>\n\n\n V_{total} = 2120.5750 + 1255.1971 + 5539.9805 + ... <\/span>\n\n\n\n
Tarea<\/strong>: continuar con los otros intervalos para obtener el volumen total.<\/p>\n\n\n\n
literal e<\/h3>\n\n\n\n
Resultados con el algoritmo<\/h4>\n\n\n\n
para f(x):\n[xa,xb]= [0.6339745962155612, 2.366025403784439]\n[f(xa),f(xb)]= [915.4418590078262, 760.106947830205]\nVolumenfx:  2513.323210257047\n\npara f(x):\n[xa,xb]= [3.4226497308103743, 4.577350269189626]\n[f(xa),f(xb)]= [672.4334354361756, 582.7637293668464]\nVolumenfx:  1255.1971648030221\n\npara f(x):\n[xa,xb]= [7.106908908089714, 12.863091091910285]\n[f(xa),f(xb)]= [641.5176069162055, 469.8124936184865]\nVolumenfx:  5539.98055116544<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"un<\/figure>\n\n\n\n
Algoritmo en Python<\/h2>\n\n\n
\n# 3Eva_2023PAOII_T3 Volumen por solido de revoluci\u00f3n de un pe\u00f3n\nimport numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nfrom mpl_toolkits.mplot3d import axes3d\n\n# INGRESO\n# intervalos eje x, funciones\n#a=0 ; b=3 ; f = lambda x: np.pi*(15)**2 + 0*x\n#a=3 ; b=5 ; f = lambda x: np.pi*(-0.875*x+17.625)**2\n# con el polinomio del tema 2\na=5 ; b=14.97 ; f = lambda x: np.pi*(-0.1083*x**2+1.8047*x + 6.9341)**2\n# con el circulo del tema 1\n#a=5 ; b=14.97 ; f = lambda x: np.pi*(np.sqrt(6.7**2-(x-8.6)**2) + 7.6)**2\n\nxmuestras = 31\n\n# PROCEDIMIENTO\n# Volumen para f(x) con Cuadratura de Gauss\nxa = (b+a)\/2 + (b-a)\/2*(-1\/np.sqrt(3)) \nxb = (b+a)\/2 + (b-a)\/2*(1\/np.sqrt(3))\nVolumenfx = (b-a)\/2*(f(xa)+f(xb))\nxab = [xa,xb]\nfab = [f(xa),f(xb)]\n\n# SALIDA\nprint("para f(x):")\nprint("[xa,xb]=", xab)\nprint("[f(xa),f(xb)]=", fab)\nprint("Volumenfx: ",Volumenfx)\nprint()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
A\u00f1adir para graficar en 2D<\/p>\n\n\n
\n# grafica 2D para el area de corte en eje y,x --------\n# muestras en x\nxi = np.linspace(a, b, xmuestras)\nfi = f(xi)\nf0 = np.zeros(xmuestras,dtype=float)\n\n# grafica 2D\nfigura2D = plt.figure()\ngrafica2D = figura2D.add_subplot(111)\ngrafica2D.plot(xi,fi,color='blue',label='f(x)')\ngrafica2D.fill_between(xi,fi,f0,color='lightblue')\ngrafica2D.grid()\ngrafica2D.set_title('Area para s\u00f3lido de revoluci\u00f3n')\ngrafica2D.set_xlabel('x')\ngrafica2D.set_ylabel('f(x)')\n<\/pre><\/div>\n\n\n
A\u00f1adir para graficar en 3D<\/p>\n\n\n
\n# Para grafica 3D -----------------------\n# angulo w de rotaci\u00f3n\nw_a = 0\nw_b = 2*np.pi\nw_muestras = 31\n\n# grafica 3D muestras en x y angulo w\nwi = np.linspace(w_a, w_b, w_muestras)\nX, W = np.meshgrid(xi, wi)\n# proyeccion en cada eje \nYf = f(xi)*np.cos(W)\nZf = f(xi)*np.sin(W)\n\n# grafica 3D\nfigura3D = plt.figure()\ngrafica = figura3D.add_subplot(111, projection='3d')\n\ngrafica.plot_surface(X, Yf, Zf,\ncolor='blue', label='f(x)',\nalpha=0.6, rstride=6, cstride=12)\n\ngrafica.set_title('S\u00f3lido de revoluci\u00f3n')\ngrafica.set_xlabel('x')\ngrafica.set_ylabel('y')\ngrafica.set_zlabel('z')\n# grafica.legend()\neleva = 30\nrota = -45\ndeltaw = 5\ngrafica.view_init(eleva, rota)\n\n# rotacion de ejes\nfor angulo in range(rota, 360+rota, deltaw ):\ngrafica.view_init(eleva, angulo)\nplt.draw()\nplt.pause(.001)\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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