{"id":937,"date":"2017-08-02T09:05:39","date_gmt":"2017-08-02T14:05:39","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=937"},"modified":"2026-03-08T08:55:25","modified_gmt":"2026-03-08T13:55:25","slug":"regla-simpson-1-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u05\/regla-simpson-1-3\/","title":{"rendered":"5.2 Regla de Simpson 1\/3 para Integraci\u00f3n num\u00e9rica con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n

varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. La regla de Simpson 1\/3<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/em><\/strong>: Chapra 21.2.1 p631, Burden 4.3 p144, Rodr\u00edguez 7.1.4 p281<\/p>\n\n\n\n I\\cong \\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)] <\/span>\n\n\n\n

\"regla<\/figure>\n\n\n\n

Es el resultado cuando se realiza una interpolaci\u00f3n con polinomio de segundo grado<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n I = \\int_a^b f(x) \\delta x \\cong \\int_a^b f_2 (x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n

Se puede obtener usando un polinomio de Lagrange de segundo grado:<\/p>\n\n\n\n I = \\int_{x_0}^{x_2} \\bigg[ \\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} f(x_0) + <\/span>\n\n\n\n + \\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} f(x_1) + <\/span>\n\n\n\n + \\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} f(x_2) \\bigg] \\delta x <\/span>\n\n\n\n

que simplificando tiene como resultado para un solo tramo:<\/p>\n\n\n\n I\\cong \\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)] <\/span>\n\n\n\n

siendo h<\/strong> el tama\u00f1o de paso, donde para la expresi\u00f3n el divisor debe ser par, m\u00faltiplo de 2, <\/strong>al cubrir todo el intervalo [a,b]. En caso de usar valores de muestras xi, fi, el valor de h<\/strong> debe ser constante.<\/p>\n\n\n\n h=\\frac{b-a}{tramos} <\/span>\n\n\n\n

Error de truncamiento<\/h3>\n\n\n\n

la cota del error de truncamiento se estima como O(h5<\/sup>)<\/p>\n\n\n\n error_{trunca} = -\\frac{h^5}{90} f^{(4)}(z)<\/span>\n\n\n\n

para un valor de z dentro del intervalo [a,b] de integraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

para cuantificar el valor, se puede usar la diferencia finita<\/a> \u03944<\/sup>f, pues con la derivada ser\u00eda muy laborioso.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n

varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Para integrar la funci\u00f3n en el intervalo [1,3] con 4, 16, 32 ,64 y 128 tramos,<\/p>\n\n\n\nf(x)= \\sqrt {(x)} \\sin(x)<\/span>\n\n\n\n1 \\leq x \\leq 3<\/span>\n\n\n\n

Para el ejercicio planteado en la regla de trapecio<\/a>, usando cuatro tramos, se aplica el m\u00e9todo cada dos tramos<\/strong>. Es decir el n\u00famero de tramos debe ser m\u00faltiplo de 2.<\/p>\n\n\n\n tramos = 4 <\/span>\n\n\n\n h = \\frac{3-1}{4} = \\frac{1}{2} = 0.5<\/span>\n\n\n\n I\\cong \\frac{0.5}{3}[f(1)+4f(1.5) + f(2)] + <\/span>\n\n\n\n+ \\frac{0.5}{3}[f(2)+4f(2.5) + f(3)] <\/span>\n\n\n\nf(1)= \\sqrt {(1)} \\sin(1) = 0.8414 <\/span>\n\n\n\nf(1.5)= \\sqrt {(1.5)} \\sin(1.5) = 1.2216 <\/span>\n\n\n\nf(2)= \\sqrt {(2)} \\sin(2) = 1.2859 <\/span>\n\n\n\nf(2.5)= \\sqrt {(2.5)} \\sin(2.5) = 0.9462 <\/span>\n\n\n\nf(3)= \\sqrt {(3)} \\sin(3) = 0.2444 <\/span>\n\n\n\n I\\cong \\frac{0.5}{3}[0.8414+4(1.2216) + 1.2859] + <\/span>\n\n\n\n+ \\frac{0.5}{3}[1.2859+4(0.9462) + 0.2444] <\/span>\n\n\n\n I\\cong 2.054<\/span>\n\n\n\n

Note que al usar Simpson 1\/3 con 4 tramos el resultado tiene los 2 primeros decimales iguales a usar Trapecio con 16 tramos.<\/p>\n\n\n\n

>>> import numpy as np\n>>> fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\n>>> xi = [1, 1+1\/2, 1+2\/2, 1+3\/2, 3]\n>>> xi\n[1, 1.5, 2.0, 2.5, 3]\n>>> fx(xi)\narray([0.84147098, 1.22167687, 1.28594075, \n       0.94626755, 0.24442702])\n>>> (0.5\/3)*(fx(1)+4*fx(1.5)+fx(2)) + (0.5\/3)*(fx(2)+4*fx(2.5)+fx(3))\n2.0549261957703937\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
Para m\u00e1s de 4 tramos es preferible realizar las operaciones con un algoritmo.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n
varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Algoritmo para integral f(x) en Python<\/h2>\n\n\n\n
Del ejercicio con trapecios, se repite el ejercicio con n<\/strong> tramos; usando dos tramos (tres puntos) en cada iteraci\u00f3n.
Cada iteraci\u00f3n se procesa avanzando dos puntos xi<\/sub>, xi<\/sub>+h, xi<\/sub>+2h . Ejemplo:<\/p>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 2\nIntegral fx con Simpson1\/3:  2.0765536739078203<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 4\nIntegral fx con Simpson1\/3:  2.0549261957703937<\/code><\/pre>\n\n\n\n
...<\/p>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 8\nIntegral fx con Simpson1\/3:  2.053709383061734<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 16\nIntegral fx con Simpson1\/3:  2.053635013281097<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Se realiza mediante la aplicaci\u00f3n directa de la f\u00f3rmula para cada segmento conformado de dos tramos. Se verifica que el valor de tramos sea par.<\/p>\n\n\n\n
Instrucciones en Python  Simpson 1\/3 para f(x) y n tramos:<\/p>\n\n\n
\n# Regla Simpson 1\/3 para f(x) entre [a,b],tramos\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\n\na = 1 # intervalo de integraci\u00f3n\nb = 3\ntramos = 2 # par, m\u00faltiplo de 2\n\n# validar: tramos debe m\u00faltiplo de 2\nwhile tramos%2 > 0: \n    print('tramos: ',tramos)\n    tramos = int(input('tramos debe ser par: '))\n\n# PROCEDIMIENTO\nmuestras = tramos + 1\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\n\n# Regla de Simpson 1\/3\nh = (b-a)\/tramos\nsuma = 0 # integral num\u00e9rico\nfor i in range(0,tramos,2):\n    S13= (h\/3)*(fi[i]+4*fi[i+1]+fi[i+2])\n    suma = suma + S13\n\n# SALIDA\nprint('tramos:', tramos)\nprint('Integral fx con Simpson1\/3: ', suma)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n
varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Gr\u00e1fica para integral f(x) con Simpson 1\/3<\/h2>\n\n\n\n
Se puede observar mejor lo expresado usando la gr\u00e1fica para observar los tramos, muestras, por segmento. Para este caso se ejecuta el algoritmo anterior usando tramos=4<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
Instrucciones en Python adicionales al algoritmo anterior<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA ---------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ntitulo = 'Regla de Simpson 1\/3'\ntitulo = titulo + ', tramos:'+str(tramos)\ntitulo = titulo + ', Area:'+str(suma)\n\nfx_existe = True\ntry: \n    # fx suave aumentando muestras\n    muestrasfxSuave = tramos*10 + 1\n    xk = np.linspace(a,b,muestrasfxSuave)\n    fk = fx(xk)\nexcept NameError:\n    # falta variables a,b,muestras y la funci\u00f3n fx\n    fx_existe = False\n\ntry: # existen mensajes de error\n    msj_existe = len(msj)\nexcept NameError:\n    # falta variables mensaje: msj\n    msj = []  \n\n# Simpson 1\/3 relleno y bordes, cada 2 tramos\nfor i in range(0,muestras-1,2): \n    x_tramo = xi[i:(i+2)+1]\n    f_tramo = fi[i:(i+2)+1]\n\n    # interpolaci\u00f3n polinomica a*(x**2)+b*x+c\n    coef = np.polyfit(x_tramo, f_tramo, 2) # [a,b,c]\n    px = lambda x: coef[0]*(x**2)+coef[1]*x+coef[2]\n\n    xp = np.linspace(x_tramo[0],x_tramo[-1],21)\n    fp = px(xp)\n    \n    plt.plot(xp,fp,linestyle='dashed',color='orange')\n    \n    relleno = 'lightgreen'\n    if (i\/2)%2==0: # bloque 2 tramos, es par\n        relleno ='lightblue'\n    if len(msj)==0: # sin errores\n        plt.fill_between(xp,fp,fp*0,color=relleno)\n\n# Divisiones verticales Simpson 1\/3\nfor i in range(0,muestras,1):\n    tipolinea = 'dotted'\n    if i%2==0: # i par, multiplo de 2\n        tipolinea = 'dashed'\n    if len(msj)==0: # sin errores\n        plt.vlines(xi[i],0,fi[i],linestyle=tipolinea,\n                   color='orange')\n\n# Graficar f(x), puntos\nif fx_existe==True:\n    plt.plot(xk,fk,label='f(x)')\nplt.plot(xi,fi,'o',color='orange',label ='muestras')\n\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.title(titulo)\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n
varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
5. Algoritmo para x[i], f[i] como muestras en Python<\/h2>\n\n\n\n
Cuando se integra sobre muestras dadas por los vectores xi, fi. Se revisa que los tramos entre muestras sean iguales para un Simpson 1\/3 y que existan suficientes puntos para completar el integral.<\/p>\n\n\n\n
xi = [1. , 1.5, 2. , 2.5, 3.]\nfi = [0.84147098, 1.22167687, 1.28594075,\n      0.94626755, 0.24442702]<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Cuando se integra sobre muestras dadas por los vectores xi, fi. Se revisa que los tramos entre muestras sean iguales para un Simpson 1\/3 y que existan suficientes puntos para completar el integral.<\/p>\n\n\n\n
La gr\u00e1fica se puede obtener usando el bloque correspondiente en la secci\u00f3n anterior.<\/p>\n\n\n
\n# Integraci\u00f3n Simpson 1\/3 para muestras xi,fi\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nxi = [1. , 1.5, 2. , 2.5, 3.]\nfi = [0.84147098, 1.22167687, 1.28594075,\n      0.94626755, 0.24442702]\n\n# PROCEDIMIENTO\ncasicero=1e-15\n# vectores como arreglo, numeros reales\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\nmuestras = len(xi)\ntramos = muestras-1\n\nmsj = [] # mensajes de error \nif tramos<2: # puntos insuficientes\n    msj.append(['tramos insuficientes:',tramos])\n\nsuma = 0 # integral numerico\ni = 0\nwhile i<(muestras-2) and len(msj)==0: # i<tramos, al menos dos tramos\n    h = xi[i+1]-xi[i] # tama\u00f1o de paso, supone constante\n    if (i+2)<muestras: # dos tramos\n        d2x = np.diff(xi[i:i+3],2) # diferencias entre tramos\n        errado = np.max(np.abs(d2x))\n\n        if errado<casicero: # Simpson 1\/3\n            S13 = (h\/3)*(fi[i]+4*fi[i+1]+fi[i+2])\n            suma = suma + S13\n            i = i+2\n\n        else:\n            donde = np.argmax(np.abs(d2x))+i+1\n            msj.append(['no equidistantes en i',donde])\n\n# SALIDA\nprint('tramos: ',tramos)\nif len(msj)>0: # mensajes de error\n    print('Revisar errores en xi:',xi)\n    print('tramos:',np.diff(xi,1))\n    for unmsj in msj:\n        print('',unmsj[0],':',unmsj[1])\nelse:\n    print('Integral fx con Simpson1\/3:',suma)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
resultados<\/p>\n\n\n\n
tramos:  4\nIntegral con Simpson 1\/3:  2.0549261966666665\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n
varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
6. F\u00f3rmula con varios segmentos y h constante<\/h2>\n\n\n\n
Usado cuando el intervalo a integrar tiene varios segmentos, cada segmento tiene dos tramos. Ejemplo para dos segmentos, cuatro tramos, semejante al usado en la gr\u00e1fica. La simplificaci\u00f3n es v\u00e1lida si h<\/strong> es constante.<\/p>\n\n\n\n I\\cong \\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)] + <\/span>\n\n\n\n + \\frac{h}{3}[f(x_2)+4f(x_3) + f(x_4)] <\/span>\n\n\n\n
tomando factor com\u00fan h\/3<\/p>\n\n\n\n I\\cong \\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + 2f(x_2) + <\/span>\n\n\n\n +4f(x_3) + f(x_4)] <\/span>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 1\/3<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n\n\n\n
varios h<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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