{"id":945,"date":"2017-08-03T09:10:00","date_gmt":"2017-08-03T14:10:00","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/matg1013\/?p=945"},"modified":"2026-03-08T09:29:38","modified_gmt":"2026-03-08T14:29:38","slug":"regla-simpson-3-8","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/mn-u05\/regla-simpson-3-8\/","title":{"rendered":"5.3 Regla de Simpson 3\/8 con Python"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n
\n

Simpson 3\/8<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Regla de Simpson 3\/8<\/h2>\n\n\n\n

Referencia<\/em><\/strong>: Chapra 21.2.1 p.631, Burden 4.2 p147, Rodr\u00edguez 7.1.8 p288<\/p>\n\n\n\n I\\cong \\frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1) +3 f(x_2)+f(x_3)] <\/span>\n\n\n\n

\"regla<\/figure>\n\n\n\n

Es el resultado cuando para el integral se utiliza el resultado de una interpolaci\u00f3n con polinomio de tercer grado<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n I = \\int_a^b f(x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n I \\cong \\int_a^b f_3 (x) \\delta x <\/span>\n\n\n\n

Al desarrollar la f\u00f3rmula de la Regla de Simpson de 3\/8 para un segmento con tres tramos con distancia h:<\/p>\n\n\n\n I\\cong \\frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1) +3 f(x_2)+f(x_3)] <\/span>\n\n\n\n

siendo el tramo de un segmento [a,b]<\/p>\n\n\n\n h=\\frac{b-a}{3} <\/span>\n\n\n\n

Error de Truncamiento<\/h3>\n\n\n\n error_{truncamiento} = -\\frac{3}{80} h^5 f^{(4)} (z) <\/span>\n\n\n\n

donde z se encuentra entre [a,b]<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n
\n

Simpson 3\/8<\/a><\/p>\n\n\n\n

Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n

gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n

Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

\n\n\n\n

2. Ejercicio<\/h2>\n\n\n\n

Para integrar la funci\u00f3n en el intervalo [1,3] con 6, 18, 24 y 72 tramos,<\/p>\n\n\n\nf(x)= \\sqrt {(x)} \\sin(x)<\/span>\n\n\n\n1 \\leq x \\leq 3<\/span>\n\n\n\n

Para el ejercicio planteado en la regla de trapecio<\/a>, usando seis tramos, se aplica el m\u00e9todo cada tres tramos<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

tramos = 6<\/strong><\/p>\n\n\n\n h = \\frac{3-1}{6} = \\frac{1}{3}<\/span>\n\n\n\n I\\cong \\frac{3}{8}\\Big(\\frac{1}{3}\\Big)[f(1)+3f\\Big(1+\\frac{1}{3}\\Big) +3f\\Big(1+\\frac{2}{3}\\Big) + f(2)] + <\/span>\n\n\n\n+ \\frac{3}{8}\\Big(\\frac{1}{3}\\Big)[f(2)+3f\\Big(2+\\frac{1}{3}\\Big) +3f\\Big(2+\\frac{2}{3}\\Big)+ f(3)] <\/span>\n\n\n\nf(1)= \\sqrt {(1)} \\sin(1) = 0.8414 <\/span>\n\n\n\nf(4\/3)= \\sqrt {(4\/3)} \\sin(4\/3) = 1.1222 <\/span>\n\n\n\nf(5\/3)= \\sqrt {(5\/3)} \\sin(5\/3) = 1.2850 <\/span>\n\n\n\nf(2)= \\sqrt {(2)} \\sin(2) = 1.2859 <\/span>\n\n\n\nf(7\/3)= \\sqrt {(7\/3)} \\sin(7\/3) = 1.1045 <\/span>\n\n\n\nf(8\/3)= \\sqrt {(8\/3)} \\sin(8\/3) = 0.7467 <\/span>\n\n\n\nf(3)= \\sqrt {(3)} \\sin(3) = 0.2444 <\/span>\n\n\n\n I\\cong \\frac{3}{24}[0.8414+3(1.1222)+3(1.2850)+1.2859]<\/span>\n\n\n\n + \\frac{3}{24}[1.2859+3(1.1045)+3(0.7467)+0.2444]<\/span>\n\n\n\n I\\cong 2.0542<\/span>\n\n\n\n

las muestras para el ejercicio son:<\/p>\n\n\n\n

>>> import numpy as np\n>>> fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\n>>> xi = [1, 1+1\/3, 1+2\/3, 2, 1+4\/3, 1+5\/3, 3]\n>>> fx(xi)\narray([0.84147098, 1.12229722, 1.28506615, 1.28594075,\n       1.10453193, 0.74672307, 0.24442702]\n>>> I1=(3\/8)*(1\/3)*(fx(1)+3*fx(1+1\/3)+3*fx(1+2\/3)+fx(2))\n>>> I2=(3\/8)*(1\/3)*(fx(2)+3*fx(1+4\/3)+3*fx(1+5\/3)+fx(3))\n>>> I1+I2\n2.0542043270535757\n>>><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 3\/8<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
3. Algoritmo en Python para f(x)<\/h2>\n\n\n\n
A partir del algoritmo para Simpson de 1\/3<\/a>, se realizan modificaciones para obtener el algoritmo de Simpson de 3\/8:<\/p>\n\n\n\n
Resultados de algoritmo<\/p>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 3\nIntegral fx con Simpson 3\/8:  2.0636730597016992<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos:  6\nIntegral con Simpson 3\/8:  2.0542043270535757<\/code><\/pre>\n\n\n\n
.<\/p>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 9\nIntegral fx con Simpson 3\/8:  2.053741914538051<\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
tramos: 12\nIntegral fx con Simpson 3\/8:  2.0536653010019474<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Algoritmo en Python para Simpson 3\/8 con f(x):<\/p>\n\n\n
\n# Regla Simpson 3\/8 para f(x) entre [a,b],tramos\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nfx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)\n\na = 1 # intervalo de integraci\u00f3n\nb = 3\ntramos = 6 # multiplo de 3\n\n# validar: tramos debe ser m\u00faltiplo de 3\nwhile tramos%3 >0:\n    print('tramos: ',tramos)\n    txt = 'tramos debe ser m\u00faltiplo de 3:'\n    tramos = int(input(txt))\n\n# PROCEDIMIENTO\nmuestras = tramos + 1\nxi = np.linspace(a,b,muestras)\nfi = fx(xi)\n\n# Regla de Simpson 3\/8\nh = (b-a)\/tramos\nsuma = 0 # integral num\u00e9rico\nfor i in range(0,tramos-2,3): #muestras-3\n    S38 = (3\/8)*h*(fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3])\n    suma = suma + S38\n\n# SALIDA\nprint('tramos:', tramos)\nprint('Integral fx con Simpson 3\/8: ', suma)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 3\/8<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
4. Gr\u00e1fica para integral f(x) con Simpson 3\/8<\/h2>\n\n\n\n
Se puede observar mejor lo expresado usando la gr\u00e1fica para observar los tramos, muestras, por segmento.<\/p>\n\n\n\n
Se puede cambiar el n\u00famero de tramos en el algoritmo anterior, considerando que deben ser m\u00faltiplo de 3.<\/p>\n\n\n\n
\"regla<\/figure>\n\n\n\n
Instrucciones en Python adicionales al algoritmo anterior<\/p>\n\n\n
\n# GRAFICA ---------------------\nimport matplotlib.pyplot as plt\n\ntitulo = 'Regla de Simpson 3\/8'\ntitulo = titulo + ', tramos:'+str(tramos)\ntitulo = titulo + ', Area:'+str(suma)\n\nfx_existe = True\ntry: \n    # fx suave aumentando muestras\n    muestrasfxSuave = tramos*10 + 1\n    xk = np.linspace(a,b,muestrasfxSuave)\n    fk = fx(xk)\nexcept NameError:\n    fx_existe = False\n\ntry: # existen mensajes de error\n    msj_existe = len(msj)\nexcept NameError:\n    msj = []  \n\n# Simpson 3\/8 relleno y bordes, cada 3 tramos\nfor i in range(0,muestras-2,3):\n    x_tramo = xi[i:(i+3)+1]\n    f_tramo = fi[i:(i+3)+1]\n\n    # interpolaci\u00f3n polinomica a*(x**3)+b*(x**2)+c*x+d\n    coef = np.polyfit(x_tramo, f_tramo, 3) # [a,b,c,d]\n    px = lambda x: coef[0]*(x**3)+coef[1]*(x**2)+coef[2]*x+coef[3]\n    \n    xp = np.linspace(x_tramo[0],x_tramo[-1],21)\n    fp = px(xp)\n    \n    plt.plot(xp,fp,linestyle='dashed',color='orange')\n    \n    relleno = 'lightgreen'\n    if (i\/3)%2==0: # bloque 3 tramos, es par\n        relleno ='lightblue'\n    plt.fill_between(xp,fp,fp*0,color=relleno)\n       \n# Divisiones entre Simpson 3\/8\nfor i in range(0,muestras,1):\n    tipolinea = 'dotted'\n    if i%3==0: # i es multiplo de 3\n        tipolinea = 'dashed'\n    if len(msj)==0: # sin errores\n        plt.vlines(xi[i],0,fi[i],linestyle=tipolinea,\n                   color='orange')\n\n# Graficar f(x), puntos\nif fx_existe==True:\n    plt.plot(xk,fk,label='f(x)')\nplt.plot(xi,fi,'o',color='orange',label ='muestras')\n\nplt.xlabel('x')\nplt.ylabel('f(x)')\nplt.title(titulo)\nplt.legend()\nplt.tight_layout()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 3\/8<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\n\n\n
5. Algoritmo para x[i], f[i] como muestras en Python<\/h2>\n\n\n\n
Cuando se integra sobre muestras dadas por los vectores xi, fi. Se revisa que los tramos entre muestras sean iguales para un Simpson 3\/8 y que existan suficientes puntos para completar el integral.<\/p>\n\n\n\n
xi = [1.        , 1.33333333, 1.66666667, 2.        ,\n      2.33333333, 2.66666667, 3.        ]\nfi = [0.84147098, 1.12229722, 1.28506615, 1.28594075,\n      1.10453193, 0.74672307, 0.24442702]\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Resultados con el algoritmo<\/p>\n\n\n\n
tramos:  6\nIntegral fx con Simpson3\/8: 2.0542043057079566<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La gr\u00e1fica se puede obtener usando el bloque correspondiente en la secci\u00f3n anterior.<\/p>\n\n\n
\n# Integraci\u00f3n Simpson 3\/8 para muestras xi,fi\nimport numpy as np\n\n# INGRESO\nxi = [1.        , 1.33333333, 1.66666667, 2.        ,\n      2.33333333, 2.66666667, 3.        ]\nfi = [0.84147098, 1.12229722, 1.28506615, 1.28594075,\n      1.10453193, 0.74672307, 0.24442702]\n\n# PROCEDIMIENTO\ncasicero=1e-7 # decimales para truncar \n# vectores como arreglo, numeros reales\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\nmuestras = len(xi)\ntramos = muestras-1\n\nmsj = [] # mensajes de error \nif tramos<3: # puntos insuficientes\n    msj.append(['tramos insuficientes:',tramos])\n\nsuma = 0 # integral numerico\ni = 0\nwhile i<(muestras-3) and len(msj)==0: # i<tramos, al menos dos tramos\n    h = xi[i+1]-xi[i] # tama\u00f1o de paso, supone constante\n    if (i+2)<muestras: # dos tramos\n        d2x = np.diff(xi[i:i+4],2) # diferencias entre tramos\n        errado = np.max(np.abs(d2x))\n\n        if errado<casicero: # 3 tramos equidistantes\n            S38 = (3\/8)*h*(fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3])\n            suma = suma + S38\n            i = i+3\n        else:\n            donde = np.argmax(np.abs(d2x))+i+1\n            msj.append(['no equidistantes en i',donde])\n\n# SALIDA\nprint('tramos: ',len(xi)-1)\nif len(msj)>0: # mensajes de error\n    print('Revisar errores en xi:',xi)\n    print('tramos:',np.diff(xi,1))\n    for unmsj in msj:\n        print('',unmsj[0],':',unmsj[1])\nelse:\n    print('Integral fx con Simpson3\/8:',suma)\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n
Simpson 3\/8<\/a><\/p>\n\n\n\n
Ejercicio<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo f(x)<\/a><\/p>\n\n\n\n
gr\u00e1fica<\/a><\/p>\n\n\n\n
Algoritmo xi,fi<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
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 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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