Dif_Finitas avanzadas<\/a><\/p>\n\n\n\n Dif_Divididas_Newton<\/a><\/p>\n\n\n\n Interpola Lagrange<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Solo para fines did\u00e1cticos<\/strong>, y como complemento para los ejercicios<\/strong> presentados en la unidad para Interpolaci\u00f3n polin\u00f3mica, se presentan las instrucciones para las animaciones usadas en la presentaci\u00f3n de los conceptos y ejercicios. Los algoritmos para animaci\u00f3n NO son necesarios para realizar los ejercicios<\/strong>, que requieren una parte anal\u00edtica con al menos tres iteraciones en papel y l\u00e1piz. Se lo adjunta como una herramienta did\u00e1ctica de asistencia para las clases.<\/p>\n\n\n\n En los algoritmos, se convierten las partes en funciones, que se usan para generar los polinomios para cada grado y se incorporan en un gr\u00e1fico animado con los resultados presentados.<\/p>\n\n\n\n Para la gr\u00e1fica animada se a\u00f1aden las instrucciones siguientes:<\/p>\n\n\n\n Se determina el intervalo para el eje x usando los valores m\u00ednimos y m\u00e1ximos del vector xi. Se toma como muestras para el polinomio las suficientes para una l\u00ednea suave, que pueden ser mayores a 21 y se crean los valores para el polinomio en p_xi.<\/p>\n\n\n\n Para cada polinomio se guarda en una tabla los valores px(p_xi)del polinomio evaluado el vector p_xi<\/p>\n\n\n\n La gr\u00e1fica ( Se usan procedimientos para crear En caso de requerir un archivo gif animado se proporciona un nombre de archivo. Para crear el archivo se requiere de la librer\u00eda 'pillow'.<\/p>\n\n\n\n otros ejemplos de animaci\u00f3n en el curso de Fundamentos de Programaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n Movimiento circular \u2013 Una part\u00edcula, animaci\u00f3n con matplotlib-Python<\/p>\n\n\n\n En la funci\u00f3n para interpolaci\u00f3n se a\u00f1ade la verificaci\u00f3n de tama\u00f1os de paso equidistantes o iguales. En el caso de no tener tama\u00f1os de paso equidistantes<\/p>\n\n\n\n El resumen de las instrucciones se presentan a continuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n Parte adicional para la gr\u00e1fica con GIF animado<\/p>\n\n\n Dif_Finitas avanzadas<\/a><\/p>\n\n\n\n Dif_Divididas_Newton<\/a><\/p>\n\n\n\n Interpola Lagrange<\/a><\/p>\n<\/div>\n\n\n\n Instrucciones en Python<\/p>\n\n\n\n Se actualiza la secci\u00f3n de ingreso del programa, para obtener el resultado mostrado.<\/p>\n\n\n Para la gr\u00e1fica animada se usa el mismo bloque de instrucciones del m\u00e9todo de Diferencias Finitas avanzadas, solo requiere cambiar el nombre del m\u00e9todo y el nombre para el archivo GIF animado.<\/p>\n\n\n\n Dif_Finitas avanzadas<\/a><\/p>\n\n\n\n Dif_Divididas_Newton<\/a><\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\ngraf_ani<\/code>) se crea en una ventana (fig_ani<\/code>), inicializando con los puntos [xi,fi] en color rojo, y configurando los par\u00e1metros base para el gr\u00e1fico.<\/p>\n\n\n\nunatrama()<\/code> para cada polinomio y en cada cambio se limpia la trama manteniendo la base con limpiatrama()<\/code>.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nInterpolaci\u00f3n por Diferencias Finitas Avanzadas<\/h2>\n\n\n\n
![\"diferencias](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/DifFinAvanz01_anima.gif\")
<\/figure>\n\n\n\nTabla de Diferencias finitas\n[['i', 'xi', 'fi', 'd1f', 'd2f']]\n[[0. 0.1 1.45 0.15 0. ]\n [1. 0.2 1.6 0. 0. ]]\nxi_ascendente: True\ntramos xi Equidistantes: True\nTramo h: 0.1\n\nTabla de Diferencias finitas\n[['i', 'xi', 'fi', 'd1f', 'd2f', 'd3f']]\n[[ 0. 0.1 1.45 0.15 -0.05 0. ]\n [ 1. 0.2 1.6 0.1 0. 0. ]\n [ 2. 0.3 1.7 0. 0. 0. ]]\nxi_ascendente: True\ntramos xi Equidistantes: True\nTramo h: 0.1\n\nTabla de Diferencias finitas\n[['i', 'xi', 'fi', 'd1f', 'd2f', 'd3f', 'd4f']]\n[[ 0. 0.1 1.45 0.15 -0.05 0.25 0. ]\n [ 1. 0.2 1.6 0.1 0.2 0. 0. ]\n [ 2. 0.3 1.7 0.3 0. 0. 0. ]\n [ 3. 0.4 2. 0. 0. 0. 0. ]]\nxi_ascendente: True\ntramos xi Equidistantes: True\nTramo h: 0.1\n\nPolinomios con Diferencias Finitas Avanzadas\npx_0 =\n1.45\n\npx_1 =\n1.5\u22c5x + 1.3\n\npx_2 =\n 2 \n- 2.5\u22c5x + 2.25\u22c5x + 1.25\n\npx_3 =\n 3 2 \n41.6667\u22c5x - 27.5\u22c5x + 6.8333\u22c5x + 1<\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# Interpolaci\u00f3n grafica animada.gif\n# - Diferencias finitas avanzadas\n# - Diferencias finitas divididas\n# Tarea: Verificar tama\u00f1o de vectores,\nimport numpy as np\nimport math\nimport sympy as sym\n \ndef revisa_orden(xi,orden='up'):\n ''' Revisa orden en vector xi.\n orden='up': orden ascendente\n orden='down' : orden descendente\n resultado:\n True: xi ordenado,\n False: xi desordenado y d\u00f3nde.\n '''\n # Vectores como arreglo, numeros reales\n xi = np.array(xi,dtype=float)\n n = len(xi)\n \n msj = [] # mensajes de error\n # xi revisar orden ascendente o descendente\n tramos = np.diff(xi,1) # diferencias en xi\n ordenado = True # suponer ordenados\n k = 1 # 1: ascendente\n if orden=='down':\n k = -1 # -1: descendente\n donde = -1\n i = 0\n while i<(n-1) and donde<0:\n if k*tramos[i]<0:\n ordenado = False\n donde = i+1\n msj.append(['sin orden',donde])\n i = i+1\n return([ordenado,msj])\n \ndef tramos_equidistantes(xi, casicero = 1e-15):\n ''' Revisa tama\u00f1os de paso h en vector xi.\n True: h son equidistantes,\n False: h tiene tama\u00f1o de paso diferentes y d\u00f3nde.\n '''\n # Vectores como arreglo, numeros reales\n xi = np.array(xi,dtype=float)\n n = len(xi)\n msj = [] # mensajes de error\n \n # revisa tama\u00f1os de paso desiguales o no equidistantes\n h_iguales = True\n if (n-1)>=2: # al menos dos tramos\n dtramos = np.diff(xi,2) # cero o menores a casicero\n errado = np.max(np.abs(dtramos)) # |error| mayor\n if errado>=casicero: # no equidistantes\n h_iguales=False\n donde = np.argmax(np.abs(dtramos))+1\n msj.append(['no equidistantes',donde])\n \n return([h_iguales,msj])\n \ndef diferencias_tabla(xi,fi,tipo='finitas', vertabla=False,\n casicero = 1e-15, precision=4):\n '''Genera la tabla de diferencias finitas o divididas\n tipo = 'finitas, tipo = 'divididas'\n resultado en: tabla, titulo\n Tarea: verificar tama\u00f1o de vectores\n '''\n # revisa tipo de tabla\n tipolist = ['finitas','divididas']\n if not(tipo in tipolist):\n print('error de tipo, seleccione:',tipolist)\n return()\n \n prefijo = ['d','f']\n if tipo=='divididas':\n prefijo = ['F[',']']\n \n # Matrices como arreglo, numeros reales\n xi = np.array(xi,dtype=float)\n fi = np.array(fi,dtype=float)\n n = len(xi)\n \n # Tabla de Diferencias Finitas\/Divididas\n tabla_etiq = ['i','xi','fi']\n ki = np.arange(0,n,1) # filas\n tabla = np.concatenate(([ki],[xi],[fi]),axis=0)\n tabla = np.transpose(tabla)\n dfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)\n tabla = np.concatenate((tabla,dfinita), axis=1)\n n,m = np.shape(tabla)\n # Calcular tabla de Diferencias Finitas\/Divididas\n diagonal = n-1 # derecha a izquierda\n j = 3 # inicia en columna 3\n while (j < m): # columna\n tabla_etiq.append(prefijo[0]+str(j-2)+prefijo[1])\n # paso = j-2 # inicia en 1\n i = 0 # fila\n while (i < diagonal): # antes de diagonal\n tabla[i,j] = tabla[i+1,j-1]-tabla[i,j-1]\n \n if tipo=='divididas':\n # denominador = xi[i+paso]-xi[i]\n denominador = xi[i+j-2]-xi[i]\n tabla[i,j] = tabla[i,j]\/denominador\n \n if abs(tabla[i,j])<casicero: # casicero revisa\n tabla[i,j]=0\n i = i + 1\n diagonal = diagonal - 1\n j = j + 1\n \n if vertabla==True:\n np.set_printoptions(precision)\n print('Tabla de Diferencias',tipo)\n print([tabla_etiq])\n print(tabla)\n return([tabla, tabla_etiq])\n\ndef redondea_coef(ecuacion, precision=6,casicero = 1e-15):\n ''' redondea coeficientes de t\u00e9rminos suma de una ecuacion\n '''\n tipo = type(ecuacion)\n tipo_eq = False\n if tipo == sym.core.relational.Equality:\n RHS = ecuacion.rhs\n ecuacion = ecuacion.lhs\n tipo = type(ecuacion)\n tipo_eq = True\n \n if tipo == sym.core.add.Add: # t\u00e9rminos suma de ecuacion\n term_sum = sym.Add.make_args(ecuacion)\n ecuacion = sym.S.Zero\n for term_k in term_sum:\n # factor multiplicativo de termino suma\n term_mul = sym.Mul.make_args(term_k)\n producto = sym.S.One\n for factor in term_mul:\n if not(factor.has(sym.Symbol)):\n factor = np.around(float(factor),precision)\n if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero\n factor = int(factor)\n producto = producto*factor\n ecuacion = ecuacion + producto\n if tipo == sym.core.mul.Mul: # termino \u00fanico, busca factores\n term_mul = sym.Mul.make_args(ecuacion)\n producto = sym.S.One\n for factor in term_mul:\n if not(factor.has(sym.Symbol)):\n factor = np.around(float(factor),precision)\n if (abs(factor)%1)<casicero: # si es entero\n factor = int(factor)\n producto = producto*factor\n ecuacion = producto\n if tipo == float: # si es entero\n if (abs(ecuacion)%1)<casicero: \n ecuacion = int(ecuacion)\n if tipo_eq:\n ecuacion = sym.Eq(ecuacion,RHS)\n return(ecuacion)\n\n# PROGRAMA ----------------------------\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nxi = [0.10, 0.2, 0.3, 0.4]\nfi = [1.45, 1.6, 1.7, 2.0]\n\ntipo_tabla = 'finitas' # 'divididas'\nvertabla = True\nprecision = 4\n \n# PROCEDIMIENTO\ncasicero = 1e-12\n# Vectores como arreglo, numeros reales\nxi = np.array(xi,dtype=float)\nfi = np.array(fi,dtype=float)\n\n# tabla polinomios\nn = len(xi)\npx_tabla = [fi[0]]\nfor grado in range(1,n,1):\n xj = xi[:grado+1]\n fj = fi[:grado+1]\n m = len(xj)\n xi_ascendente,msj = revisa_orden(xj)\n h_iguales,msj_h = tramos_equidistantes(xj, casicero = casicero)\n if len(msj_h)>0:\n msj.extend(msj_h)\n tabla,titulo = diferencias_tabla(xj,fj,tipo=tipo_tabla,\n vertabla=vertabla, casicero = casicero)\n dfinita = tabla[0,3:] # diferencias finitas\n h = xj[1] - xj[0] # suponer tramos equidistantes\n \n # polinomio con diferencias Finitas Avanzadas\/ divididas\n x = sym.Symbol('x')\n polinomio = fj[0] +0*x # sym.S.Zero en Sympy\n for i in range(1,m,1):\n factor = dfinita[i-1] # diferencias divididas\n if tipo_tabla=='finitas': # diferencias Finitas Avanzadas\n denominador = math.factorial(i)*(h**i)\n factor = factor\/denominador\n termino = 1\n for j in range(0,i,1):\n termino = termino*(x-xj[j])\n polinomio = polinomio + termino*factor\n \n polisimple = polinomio.expand() # simplifica los (x-xi)\n px = sym.lambdify(x,polisimple) # evaluacion numerica\n\n try: # intenta redondear coeficientes a precisiion \n polisimple = redondea_coef(polisimple, precision,casicero)\n except NameError:\n print("redondea_coef() no se encuentra definida.")\n \n px_tabla.append(polisimple)\n\n if vertabla==True:\n print('xi_ascendente:',xi_ascendente)\n print('tramos xi Equidistantes:',h_iguales)\n if len(msj)>0: # mensajes de error\n print('Revisar tramos, d1x:',np.diff(xi,1))\n for unmsj in msj:\n print('Tramos',unmsj[0],\n 'desde i:',unmsj[1])\n else:\n print('Tramo h:',h)\n print('',)\n \n# SALIDA\nif tipo_tabla == 'finitas':\n print('Polinomios con Diferencias Finitas Avanzadas')\nif tipo_tabla == 'divididas':\n print('Polinomios con Diferencias Divididas Newton')\nfor grado in range(0,n,1):\n print('px_'+str(grado)+' =') #, px_tabla[grado])\n sym.pprint(px_tabla[grado])\n print()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n\n# GRAFICA CON ANIMACION polinomios --------\nimport matplotlib.pyplot as plt\nimport matplotlib.animation as animation\n\nif tipo_tabla == 'finitas': \n unmetodo = 'Diferencias Finitas Avanzadas'\n narchivo = 'DifFinitasAvz' # nombre archivo\nif tipo_tabla == 'divididas':\n unmetodo = 'Diferencias Divididas Newton'\n narchivo = 'DifDividNewton' # nombre archivo\n\nmuestras = 51 # de cada p(X)\n \n# Puntos para la gr\u00e1fica\na = np.min(xi)\nb = np.max(xi)\np_xi = np.linspace(a,b,muestras)\n \n# lineas por grado de polinomio\nx = sym.Symbol('x')\npx_lineas = np.zeros(shape=(n,muestras), dtype=float)\nfor grado in range(0,n,1):\n polinomio = px_tabla[grado]\n px = sym.utilities.lambdify(x,polinomio,'numpy')\n px_lineas[grado] = px(p_xi)\n \n# Parametros de trama\/foto\nretardo = 800 # milisegundos entre tramas\ntramas = len(px_lineas)\nymax = np.max(fi)\nymin = np.min(fi)\ndeltax = 0.1*np.abs(b-a)\ndeltay = 0.1*np.abs(ymax-ymin)\n \n# GRAFICA animada en fig_ani\nfig_ani, graf_ani = plt.subplots()\n# Funci\u00f3n Base\nfx_linea, = graf_ani.plot(xi,fi,'o',color='red')\n# Polinomios de px_tabla grado = 0\npx_unalinea, = graf_ani.plot(p_xi, px_lineas[0],\n label='grado: 0')\n# Configura gr\u00e1fica\ngraf_ani.set_xlim([a-deltax,b+deltax])\ngraf_ani.set_ylim([ymin-deltay,ymax+deltay])\ngraf_ani.axhline(0, color='k') # Linea horizontal en cero\ngraf_ani.set_title('Polinomio - '+unmetodo)\ngraf_ani.set_xlabel('x')\ngraf_ani.set_ylabel('p(x)')\ngraf_ani.grid()\n \n# Cuadros de texto en gr\u00e1fico\ntxt_x = (b+a)\/2\ntxt_y = ymax\ntxt_poli = graf_ani.text(txt_x, txt_y,'p(x):',\n horizontalalignment='center')\ntxt_grado = graf_ani.text(txt_x, txt_y-deltay,'grado:',\n horizontalalignment='center')\n# Nueva Trama\ndef unatrama(i,p_xi,pxi): \n # actualiza cada linea\n px_unalinea.set_xdata(p_xi)\n px_unalinea.set_ydata(pxi[i])\n unpolinomio = px_tabla[i]\n if unpolinomio == sym.S.NaN:\n unpolinomio = 'h pasos no equidistantes'\n etiquetap = 'p'+str(i)+'(x) = '+str(unpolinomio)\n px_unalinea.set_label(etiquetap)\n # actualiza texto\n txt_poli.set_text(etiquetap)\n txt_grado.set_text('Grado: '+str(i))\n # color de la l\u00ednea\n if (i<=9):\n lineacolor = 'C'+str(i)\n else:\n numerocolor = i%10\n lineacolor = 'C'+str(numerocolor)\n px_unalinea.set_color(lineacolor)\n \n return (px_unalinea, txt_poli, txt_grado)\n# Limpia Trama anterior\ndef limpiatrama(): \n px_unalinea.set_ydata(np.ma.array(p_xi, mask=True))\n px_unalinea.set_label('')\n txt_poli.set_text('')\n txt_grado.set_text('')\n return (px_unalinea,txt_poli, txt_grado)\n \n# Trama contador\ni = np.arange(0,tramas,1)\nani = animation.FuncAnimation(fig_ani,\n unatrama,\n i ,\n fargs = (p_xi,px_lineas),\n init_func = limpiatrama,\n interval = retardo,\n blit=True)\n# Graba Archivo GIFAnimado y video\nani.save(narchivo+'_GIFanimado.gif', writer='pillow')\n# ani.save(narchivo+'_video.mp4')\nplt.draw()\nplt.show()\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n
\n\n\n\nInterpolaci\u00f3n por Diferencias Divididas de Newton<\/h2>\n\n\n\n
![\"DifDivididasNewton_GIFanimado.gif\"](\"http:\/\/blog.espol.edu.ec\/algoritmos101\/files\/2017\/07\/DifDivididasNewton_GIFanimado.gif\")
<\/figure>\n\n\n\nTabla de Diferencias divididas\n[['i', 'xi', 'fi', 'F[1]', 'F[2]']]\n[[0. 0.1 1.45 1.5 0. ]\n [1. 0.2 1.6 0. 0. ]]\nxi_ascendente: True\ntramos xi Equidistantes: True\nTramo h: 0.1\n\nTabla de Diferencias divididas\n[['i', 'xi', 'fi', 'F[1]', 'F[2]', 'F[3]']]\n[[ 0. 0.1 1.45 1.5 -2.5 0. ]\n [ 1. 0.2 1.6 1. 0. 0. ]\n [ 2. 0.3 1.7 0. 0. 0. ]]\nxi_ascendente: True\ntramos xi Equidistantes: True\nTramo h: 0.1\n\nTabla de Diferencias divididas\n[['i', 'xi', 'fi', 'F[1]', 'F[2]', 'F[3]', 'F[4]']]\n[[ 0. 0.1 1.45 1.5 -2.5 5. 0. ]\n [ 1. 0.2 1.6 1. 0. 0. 0. ]\n [ 2. 0.3 1.7 1. 0. 0. 0. ]\n [ 3. 0.6 2. 0. 0. 0. 0. ]]\nxi_ascendente: True\ntramos xi Equidistantes: False\nRevisar tramos, d1x: [0.1 0.1 0.3]\nTramos no equidistantes desde i: 2\n\nPolinomios con Diferencias Divididas Newton\npx_0 =\n1.45\n\npx_1 =\n1.5\u22c5x + 1.3\n\npx_2 =\n 2 \n- 2.5\u22c5x + 2.25\u22c5x + 1.25\n\npx_3 =\n 3 2 \n5\u22c5x - 5.5\u22c5x + 2.8\u22c5x + 1.22\n>>> <\/code><\/pre>\n\n\n\n\n# PROGRAMA ----------------------------\n\n# INGRESO , Datos de prueba\nxi = [0.10, 0.2, 0.3, 0.6]\nfi = [1.45, 1.6, 1.7, 2.0]\n\ntipo_tabla = 'divididas' # 'divididas'\nvertabla = True\nprecision = 4\n<\/pre><\/div>\n\n\n
\n\n\n\n