a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t
b) estime el error.
Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).
a. Transforme la ecuación en un sistema de primer orden.
b. Use el método de Runge-Kutta de orden 2 (modificado de Euler) con h=0.2 para aproximar x para 3 pasos.
c. Estime el error.
Rúbrica: literal a, aplica el cambio de variables (5 puntos).
literal b, Conoce una fórmula de RK2orden (5 puntos). Plantea la fórmula de RK2 orden al sistema (5 puntos). Realiza al menos 3 pasos (5 puntos).
literal c, conoce las fórmulas del error hasta (5 puntos), calcula el error hasta (5 puntos)
2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013
Tema 1. (30 puntos) La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor químico durante un periodo específico de tiempo.
M = \int^{t_2}_{t_1}Q(t)C(t) dt
t : min
C(t) : mg/m3
Q(t) : m3/min
a) Con los datos mostrados en la tabla y usando los métodos de Simpson 1/3 y 3/8, aproxime la cantidad de masa que sale de un reactor entre t1=0 y t2=25 min.
t
0
5
10
15
20
25
C(t)
10
18
27
35
40
30
Q(t)
4
6
7
6
5
5
b) Estime el error
Rúbrica: Conoce los métodos de Simpson hasta (5 puntos), Calcula la función a integrar hasta (5 puntos), Separa los intervalos hasta (5 puntos), Aplica las fórmulas correctamente hasta (5 puntos). Literal b, conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula los errores (5 puntos)
Se selecciona la esquina inferior derecha como 0, por la segunda ecuación de condiciones y facilidad de cálculo. (No hubo indicación durante el examen que muestre lo contrario)
condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1
condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1
aunque lo más recomendable sería cambiar la condición de inicio a:
condiciones de inicio U(x,0)=0, 0<x<1
Siguiendo con el tema de la ecuación, al reemplazar las diferencias finitas en la ecuación:
# 2Eva_IIT2018_T2 Kunge Kutta 2do Orden x''import numpy as np
defrungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras):
tamano = muestras + 1
estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)
# incluye el punto [x0,y0]
estimado[0] = [x0,y0,z0]
xi = x0
yi = y0
zi = z0
for i inrange(1,tamano,1):
K1y = h * f(xi,yi,zi)
K1z = h * g(xi,yi,zi)
K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
yi = yi + (K1y+K2y)/2
zi = zi + (K1z+K2z)/2
xi = xi + h
estimado[i] = [xi,yi,zi]
return(estimado)
# PROGRAMA# INGRESO
f = lambda t,x,z: z
g = lambda t,x,z: -5*t*z-(t+7)*np.sin(np.pi*t)
t0 = 0
x0 = 6
z0 = 1.5
h = 0.2
muestras = 10
# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2_fg(f,g,t0,x0,z0,h,muestras)
# SALIDAprint(tabla)
# GRAFICAimport matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(tabla[:,0],tabla[:,1])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x(t)')
plt.show()
a) Se pueden combinar los métodos para realizar la integral. Se usa el método de Simpson 1/3 para los primeros dos tramos y Simpson 3/8 para los 3 tramos siguientes. Siendo f(x) equivalente a Q(t)C(t). El tamaño de paso h es constante para todo el ejercicio con valor 5.
b.1 se puede estimar como la diferencia entre la parábola del primer tramo y simpson 1/3
b.2 siguiendo el ejemplo anterior, como la diferencia entre la interpolación de los tramos restantes y simpson 3/8.
# 2Eva_IT2010_T2 Movimiento angularimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
defrungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras):
tamano = muestras + 1
estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)
# incluye el punto [x0,y0,z0]
estimado[0] = [x0,y0,z0]
xi = x0
yi = y0
zi = z0
for i inrange(1,tamano,1):
K1y = h * f(xi,yi,zi)
K1z = h * g(xi,yi,zi)
K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
yi = yi + (K1y+K2y)/2
zi = zi + (K1z+K2z)/2
xi = xi + h
estimado[i] = [xi,yi,zi]
return(estimado)
# INGRESO theta = y
ft = lambda t,y,z: z
gt = lambda t,y,z: -10*np.sin(y)
t0 = 0
y0 = 0
z0 = 0.1
h=0.2
muestras = 5
# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2_fg(ft,gt,t0,y0,z0,h,muestras)
# SALIDAprint(' [ t, \t\t y, \t dyi/dti=z]')
print(tabla)
# Grafica
ti = np.copy(tabla[:,0])
yi = np.copy(tabla[:,1])
zi = np.copy(tabla[:,2])
plt.subplot(121)
plt.plot(ti,yi)
plt.xlabel('ti')
plt.title('yi')
plt.subplot(122)
plt.plot(ti,zi, color='green')
plt.xlabel('ti')
plt.title('dyi/dti')
plt.show()
Siguiendo el desarrollo analítico tradicional, para adecuar la ecuación para los algoritmo de búsquda de raíces de ecuaciones, se reemplazan los valores en la fórmula.
P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big) 70000 = 1200\Big(\frac{1-(1+i)^{-300}}{i} \Big)
Como ambos lados de la ecuación deben ser iguales, si se restan ambos se obtiene una ecuación que tiene como resultado cero, que es la forma ideal para usar en el algoritmo que representa f(x) o en este caso f(i)
El intervalo de existencia correspondería a la tasa de interés mínimo y el interés máximo.
[izquierda, derecha] = [a,b]
Para el intervalo se deben tomar en cuenta algunas consideraciones descritas a continuación:
izquierda:
En el extremo izquierdo, las tasas no son negativas, lo que se interpreta en que un banco paga por que le presten dinero.
Tampoco tiene mucho sentido el valor cero, que son prestamos sin intereses. A menos que sean sus padres quienes le dan el dinero.
Un valor inicial para el interés puede ser por ejemplo 1% ó 0.01, siempre que se cumpla que existe cambio de signo en la función a usar.
derecha:
En el extremo derecho, si se propone por ejemplo i con 100%, o 1.00, no tendría mucho sentido un préstamo con intereses al 100% anual, que resulta en el doble del valor inicial en tan solo un periodo o año.
La tasa de interés de consumo que son de las más alto valor, se encuentran reguladas. En Ecuador es un valor alrededor del 16% anuales o 0.16.
Considerando las observaciones iniciales del problema, se propone empezar el análisis para la búsqueda de la raíz en el intervalo en un rango más amplio:
[ 0.01, 0.50]
Ser realiza la comprobación que existe cambio de signo en los extremos del intervalo.
fx(0.001) =- 43935.86
fx(0.50) = 67600.0
Para el ejercicio se hace notar que la es tasa nominal anual, pero los pagos son mensuales. Por lo que se debe unificar las tasas de interes a mensuales. Una aproximación es usar las tasas anuales divididas para los 12 meses del año.
Tolerancia al error
La tolerancia se considera en éste ejercicio como el valor de diferencias (tramo) entre iteraciones con precisión satisfactoria.
Por ejemplo si no negociaremos más con el banco por variaciones de tasas del 0.1% , entonces la tolerancia será de 0.001.
Las publicaciones de tasas en el mercado incluyen dos decimales, por lo que para el ejercicio aumentamos la precisión a : 0.0001
tolera = 1x10-4
Literal c
Se presentan dos formas se solución para el litera c:
- c.1 la requerida en el enunciado con Newton-Raphson
y se continuaría con las iteraciones, hasta cumplir que tramo<=tolera
Tabla de datos obtenidos
tabla para Bisección
i
a
c
b
f(a)
f(c)
f(b)
tramo
1
0.01
0.255
0.5
-43935.86
65294.11
67600.0
0.49
2
0.01
0.1325
0.255
-43935.86
60943.39
65294.11
0.215
3
0.01
0.07125
0.1325
-43935.86
53157.89
60943.39
0.1225
hasta lo calculado la raiz se encontraría en el intervalo [0.01,0.07125] con error estImado de 0.06125, aún por mejorar con más iteraciones.
Algoritmo en Python para Bisección
El algoritmo bisección usa las variables a y b, por lo que los limites en el intervalo usados son [La,Lb]
para el problema la variable 'i' se usa en el eje x.
La selección de cambio de rango [a,b] se hace usando solo el signo del valor.
El algoritmo presentado es tal como se explica en la parte conceptual
Se deja como tarea convertir el algoritmo a funcion def-return de Python.
# 1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipotecaimport numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# INGRESO
P = 70000.00
A = 1200.00
n = 25*12
fi = lambda i: P - A*(1-((1+i)**-n))/i
# Intervalo de observación# e inicio de Bisección
La = 0.01
Lb = 0.50
tolera = 0.0001 #grafica
muestras = 21
# PROCEDIMIENTO# Método de Bisección
a = La
b = Lb
c = (a+b)/2
tramo = np.abs(b-a)
while (tramo>tolera):
fa = fi(a)
fb = fi(b)
fc = fi(c)
cambio = np.sign(fc)*np.sign(fa)
if (cambio>0):
a = c
b = b
else:
b = c
a = a
c = (a+b)/2
tramo = np.abs(b-a)
# Para la gráfica
tasa = np.linspace(La,Lb,muestras)
fr = fi(tasa)
# SALIDAprint('a, f(a):', a,fa)
print('c, f(c):', c,fc)
print('b, f(b):', b,fb)
print('la raiz esta entre: \n',a,b)
print('con un error de: ', tramo)
print('raiz es tasa buscada: ', c)
print('tasas anual buscada: ',c*12)
# Gráfica
plt.plot(tasa,fr)
plt.axhline(0, color='green')
plt.title('tasa de interes mensual')
plt.show()
la ejecución del algoritmo da como resultado
>>>
RESTART: D:/MATG1052Ejemplos/HipotecaInteres.py
a, f(a): 0.016998291015625 -385.52828922150366
c, f(c): 0.0170281982421875 -145.85350695741363
b, f(b): 0.01705810546875 92.28034212642524
la raiz esta entre:
0.016998291015625 0.01705810546875
con un error de: 5.981445312500111e-05
raiz es tasa buscada: 0.0170281982421875
tasas anual buscada: 0.20433837890625
1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013
Tema 4. Para pagar una hipoteca de una casa durante n periodos de tiempo se usa la fórmula:
P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big)
En ésta ecuación, P es el valor presente de la casa, A es el valor del pago periódico de la deuda durante n periodos y la tasa de interés por periodo es i.
Suponga que la casa tiene un valor presente de 70000 dólares y deberá ser pagada mediante 1200 dólares mensuales por 25 años (300 meses).
a) Plantee la ecuación
b) Encuentre un intervalo para i donde haya un cambio de signo en la función
