Tema 3. Resolver el siguiente problema de valor inicial, usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden:
x\frac{\delta y}{\delta x} + 2y = \frac{\sin (x)}{x} y(2) =1 , h = \frac{1}{10} 2\leq x \leq 3a. Escribir el algoritmo para la función f(x, y(x)) específica.
b. Presentar la tabla de resultados.
Nota: Todos los temas tienen igual valor.
Tema 2. Resolver el siguiente problema de valor de frontera:
y'' - \frac{1}{1+x^2} y'- e^x y = \cos (x) y(0) = 1, y(1) = -1con h = 1/4
Tema 1. Dada la integral
\int_0^1 \frac{a^x}{(x-1)^{2/5}} \delta xDetermine:
a. Si la integral converge, justifique adecuadamente
b. Su valor aproximado, en caso de que la integral converja, usando Simpson compuesta con n=4
Ejercicio: 2Eva_IIT2011_T3 EDP Parabólica, explícito
La ecuación a resolver es:
\frac{\delta u}{\delta t} - \frac{\delta^2 u}{\delta x^2} =2Como el método requerido es explícito se usan las diferencias divididas:
\frac{d^2 u}{dx^2} = \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} \frac{du}{dt} = \frac{u_{i,j+1} - u_{i,j} }{\Delta t}
Reordenando la ecuación al modelo realizado en clase:
\frac{\delta^2 u}{\delta x^2} = \frac{\delta u}{\delta t} - 2 \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} = \frac{u_{i,j+1} - u_{i,j} }{\Delta t} - 2multiplicando cada lado por Δt
\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \Big[u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j} \Big]= u_{i,j+1} - u_{i,j} - 2\Delta tSe establece el valor de
\lambda = \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \lambda u_{i+1,j} - 2 \lambda u_{i,j} + \lambda u_{i-1,j} = u_{i,j+1} - u_{i,j} - 2\Delta tobteniendo la ecuación general, ordenada por índices de izquierda a derecha:
\lambda u_{i-1,j} +(1- 2 \lambda)u_{i,j} + \lambda u_{i+1,j} + 2\Delta t = u_{i,j+1}con valores de:
λ = Δt/(Δx)2 = (0.04)/(0.25)2 = 0.64 P = λ = 0.64 Q = (1-2λ) = -0.28 R = λ = 0.640.64 u_{i-1,j} - 0.28 u_{i,j} + 0.64 u_{i+1,j} + 0.08 = u_{i,j+1}
Se realizan 3 iteraciones:
i= 1, j=0
u_{1,1} = 0.64 u_{0,0} -0.28u_{1,0}+0.64 u_{2,0}+0.08 u_{1,1} = 0.64 [\sin(\pi*0)+0*(1-0)]- 0.28[\sin(\pi*0.25)+0.25*(1-0.25)] +0.64[\sin(\pi*0.5)+ 0.5*(1-0.5)]+0.08u[1,1] =0.89
i = 2, j=0
0.64 u_{1,0} - 0.28 u_{2,0} + 0.64 u_{3,0} + 0.08 = u_{2,1}u[1,0] = 1.25
i = 3, j=0
0.64 u_{2,0} - 0.28 u_{3,0} + 0.64 u_{4,0} + 0.08 = u_{3,1}u[3,1] = 0.89
con los valores y ecuación del problema
# EDP parabólicas d2u/dx2 = K du/dt # método explícito, usando diferencias finitas # Referencia: Chapra 30.2 p.888 pdf.912 # Rodriguez 10.2 p.406 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO # Valores de frontera Ta = 0 Tb = 0 T0 = lambda x: np.sin(np.pi*x)+x*(1-x) # longitud en x a = 0 b = 1 # Constante K K = 1 # Tamaño de paso dx = 0.1 dt = dx/10/2 # iteraciones en tiempo n = 50 # PROCEDIMIENTO # iteraciones en longitud xi = np.arange(a,b+dx,dx) m = len(xi) ultimox = m-1 # Resultados en tabla u[x,t] u = np.zeros(shape=(m,n), dtype=float) # valores iniciales de u[:,j] j=0 ultimot = n-1 u[0,j]= Ta u[1:ultimox,j] = T0(xi[1:ultimox]) u[ultimox,j] = Tb # factores P,Q,R lamb = dt/(K*dx**2) P = lamb Q = 1 - 2*lamb R = lamb # Calcula U para cada tiempo + dt j = 0 while not(j>=ultimot): u[0,j+1] = Ta for i in range(1,ultimox,1): u[i,j+1] = P*u[i-1,j] + Q*u[i,j] + R*u[i+1,j]+2*dt u[m-1,j+1] = Tb j=j+1 # SALIDA print('Tabla de resultados') np.set_printoptions(precision=2) print(u) # Gráfica salto = int(n/10) if (salto == 0): salto = 1 for j in range(0,n,salto): vector = u[:,j] plt.plot(xi,vector) plt.plot(xi,vector, '.r') plt.xlabel('x[i]') plt.ylabel('t[j]') plt.title('Solución EDP parabólica') plt.show()
Tema 4. Dada la siguiente expresión con las condiciones:
\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{y^3}{1-2xy^2} y(0) = 1, 0 \leq x \leq 1a. Plantear la solución con el método de Taylor de dos términos.
b. Resolver la ecuación diferencial usando lo planteado para al menos 3 iteraciones. use h=0.2
c. Escribir tabla de resultados
d. Determine T2(ti,wi)
Tema 3. Resolver la ecuación diferencial de valor inicial:
y'' +2y'+5y = 4 e^{-t} \cos (2t) 0\leq t \leq 1 y(0)=1, y'(0) = 0a. Plantear el sistema de ecuaciones equivalente
b. Desarrollar al menos 3 iteraciones, considerando con h = 0.2
b. Presentar la tabla de resultados
Tema 2. Dada la función
f(x) = \begin{cases} \sin (x) , & 0\leq x \lt \frac{\pi}{2}\\ - \frac{2x}{\pi} +2, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}a. Graficar la función
b. Integrar numéricamente con la fórmula compuesta de Simpson, n=6
c. Determinar el error absoluto del valor determinado en el literal b.
Tema 1. Dados los valores de una función y sus derivadas en los extremos,
f(0)= 1.5
f(1/2) = 1.37758
f(1) = 1.0403
f'(0) = 0
f'(1) = - 0.84147
determinar el trazador cúbico sujeto y luego aproximar la función en los puntos x=0.2 y x=0.8
fxi = [[ 0, 1.5 ],
[1/2, 1.37758],
[ 1, 1.0403 ]]
Tema 4. Deducir el algoritmo de diferencia finita que aproxima la solución de la ecuación de onda dada:
\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} 0\lt x \lt l, t \gt 0 \begin{cases}u(0,t) = u(l,t) , & t\ge 0 \\u(x,0) = f(x) , & 0\leq x \leq l\\ \frac{\delta u (x,0)}{\delta t} = g(x) , & 0\leq x \leq l\end{cases}Donde las funciones f y g son del espacio C∞ [0,l], el mismo intervalo para las x.
Tema 3. Demostrar la fórmula de Simpson:
\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = \frac{h}{3} \Big[f x_0 + 4 f x_1 + f x_2 \Big] - \frac{h^5}{90} f^4 \xiDonde h es la distrancia entre los nodos y ξ ∈ x0,x2