Tema 4. (25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial con el método de diferencias finitas, h=0.2
y'' + 2y' -y -2e^x + x - 4 = 0 0 \leq x \leq 1 y(0) = -1, y(1) = e-1Rúbrica: Determinar algoritmo de diferencia centrada (10 puntos), sistema de ecuaciones (10 puntos), solución numérica (5 puntos)
Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6
\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta xRúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)
Tema 2. (25 puntos) Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor con n=2:
xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1a. Establecer el algoritmo correspondiente para la ecuación dada
b. Escribir la tabla de resultados para h = π/10
Rúbrica: Determinación correcta de f(x,y(xi) )(2.5 puntos), establecimiento del algoritmo de Taylor (12.5 puntos), Solución numérica (10 puntos)
Tema 1. (25 puntos) Dado los valores de una función, construir el trazador cúbico fijo.
f(0) = 1,
f(0.25) = 1.14012
f(0.5) = 1.32436
f(0.75) = 1.5585
y con las derivadas, f'(0) = 0.5, f'(0.75) = 1.0585
a. Establecer el sistema para determinar los valores de ci
b. Aproximar f(0.15) y f(0.6)
Rúbrica: Sistema de ecuaciones (7.5 puntos), polinómios cúbicos (10 puntos), aproximación correcta de los puntos (7.5 puntos)
datos = [[0, 1],
[0.25, 1.14012],
[0.5 , 1.32436],
[0.75, 1.5585 ]]
Ejercicio: 3Eva_IIT2009_T2 EDO dy/dx con Valor inicial, Runge-Kutta 4to orden
La ecuación del problema:
(1-x^2)y' - xy = x (1-x^2)se despeja:
(1-x^2)y' = x (1-x^2) - xy y' = x - \frac{xy}{(1-x^2)}con valores iniciales x0 = 0 , y0 = 2, h = 0.1 en el intervalo [0, 0.5]
Usando Runge-Kutta de 2do Orden
siguiendo el algoritmo se completa la tabla:
[xi, yi, K1, K2 ] [[0. 2. 0. 0. ] [0.1 2.0151 0. 0.0302] [0.2 2.0616 0.0304 0.0626] [0.3 2.1431 0.0629 0.1 ] [0.4 2.2668 0.1007 0.1468] [0.5 2.4463 0.1479 0.211 ]]
# 3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO d1y = lambda x,y : x + x*y/(1-x**2) x0 = 0 y0 = 2 h = 0.1 a = 0 b = 1/2 # PROCEDIMIENTO muestras = int((b -a)/h)+1 tabla = np.zeros(shape=(muestras,4),dtype=float) i = 0 xi = x0 yi = y0 tabla[i,:] = [xi,yi,0,0] i = i+1 while not(i>=muestras): K1 = h* d1y(xi,yi) K2 = h* d1y(xi+h,yi+K1) yi = yi + (K1+K2)/2 xi = xi +h tabla[i,:] = [xi,yi,K1,K2] i = i+1 # vector para gráfica xg = tabla[:,0] yg = tabla[:,1] # SALIDA # muestra 4 decimales np.set_printoptions(precision=4) print(' [xi, yi, K1, K2]') print(tabla) # Gráfica plt.plot(xg,yg) plt.xlabel('xi') plt.ylabel('yi') plt.grid() plt.show()
Tarea: Realizar con Runge-Kutta de 4to Orden
Ejercicio: 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x)
La ecuación del problema es:
xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1Para el algoritmo se escribe separando y':
y' = \frac{\sin (x)}{x} - 2\frac{y}{x}tomando como referencia Taylor de 3 términos más el término de error O(h3)
y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i + \frac{h^3}{3!}y'''_iSe usa hasta el tercer término para el algoritmo.
y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_iSe determina que se requiere la segunda derivada para completar la aproximación. A partir de la ecuación del problema se aplica en cada término:
\Big(\frac{u}{v}\Big)' = \frac{u'v-uv' }{v^2} y'' = \frac{\cos (x) x - sin(x)}{x^2} - 2\frac{y'x-y}{x^2} y'' = \frac{\cos (x) x - sin(x)}{x^2} - 2\frac{\Big(\frac{\sin (x)}{x} - 2\frac{y}{x} \Big)x-y}{x^2}Con lo que se realizan las iteraciones para llenar la tabla
iteración 1
x0 = π/2= 1.57079633
y0= 1
y' = \frac{\sin (π/2)}{π/2} - 2\frac{1}{π/2} = -0.40793719 y'' = \frac{\cos (π/2) π/2 - sin(π/2)}{(π/2)^2}+ - 2\frac{(-0.40793719)(π/2)-1}{(π/2)^2}= 0.48531359 y_{1} = 1 +\frac{\pi/10}{1!}(-0.40793719) + \frac{(\pi/10)^2}{2!}(0.48531359) = 0.86x1 = x0+h = 1.57079633 + π/10 =1.88495559
iteración 2
x1 = 1.88495559
y1 = 0.86
y' = \frac{\sin (1.88495559)}{1.88495559} - 2\frac{0.86}{1.88495559} = -0.31947719 y'' = \frac{\cos (1.88495559)(1.88495559) - sin(1.88495559)}{(1.88495559)^2} - 2\frac{(-0.31947719) (1.88495559)-y}{(1.88495559)^2} = 0.16854341 y_{2} = 0.86 +\frac{\pi /10}{1!}(-0.31947719) + \frac{(\pi /10)^2}{2!}(0.16854341) = 0.75579202x2 = x1+ h = 1.88495559 + π/10 = 2.19911486
iteración 3
x2 = 2.19911486
y2 = 0.75579202
y' = \frac{\sin (2.19911486)}{2.19911486} - 2\frac{y}{2.19911486} = -0.29431724 y'' = \frac{\cos (2.19911486)(2.19911486) - sin(2.19911486)}{(2.19911486)^2} + - 2\frac{(-0.29431724)(2.19911486)-0.75579202}{(2.19911486)^2} = 0.0294177 y_{3} = 0.75579202 +\frac{\pi/10}{1!}(-0.29431724) + \frac{(\pi /10)^2}{2!}(0.0294177)x3 = x3+h = 2.19911486 + π/10 = 2.19911486
Con lo que se puede realizar el algoritmo, obteniendo la siguiente tabla:
estimado [xi, yi, d1y, d2y ] [[ 1.57079633 1. -0.40793719 0.48531359] [ 1.88495559 0.86 -0.31947719 0.16854341] [ 2.19911486 0.75579202 -0.29431724 0.0294177 ] [ 2.51327412 0.66374258 -0.29583247 -0.02247944] [ 2.82743339 0.5727318 -0.30473968 -0.02730493] [ 3.14159265 0.47868397 -0.31027009 -0.00585871] [ 3.45575192 0.38159973 -0.30649476 0.02930236] [ 3.76991118 0.28383639 -0.29064275 0.06957348] [ 4.08407045 0.18899424 -0.26221809 0.10859762] [ 4.39822972 0.10111944 -0.22243506 0.14160656] [ 4.71238898 0.02410027 0. 0. ]]
# 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x) # EDO. Método de Taylor 3 términos # estima solucion para muestras separadas h en eje x # valores iniciales x0,y0 # entrega arreglo [[x,y]] import numpy as np def edo_taylor3t(d1y,d2y,x0,y0,h,muestras): tamano = muestras + 1 estimado = np.zeros(shape=(tamano,4),dtype=float) # incluye el punto [x0,y0] estimado[0] = [x0,y0,0,0] x = x0 y = y0 for i in range(1,tamano,1): y = y + h*d1y(x,y) + ((h**2)/2)*d2y(x,y) x = x+h estimado[i-1,2:]= [d1y(x,y),d2y(x,y)] estimado[i,0:2] = [x,y] return(estimado) # PROGRAMA PRUEBA # 3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor Seno(x). # INGRESO. # d1y = y', d2y = y'' d1y = lambda x,y: np.sin(x)/x - 2*y/x d2y = lambda x,y: (x*np.cos(x)-np.sin(x))/(x**2)-2*(x*(np.sin(x)/x - 2*y/x)-y)/(x**2) x0 = np.pi/2 y0 = 1 h = np.pi/10 muestras = 10 # PROCEDIMIENTO puntos = edo_taylor3t(d1y,d2y,x0,y0,h,muestras) xi = puntos[:,0] yi = puntos[:,1] # SALIDA print('estimado[xi, yi, d1yi, d2yi]') print(puntos) # Gráfica import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(xi[0],yi[0],'o', color='r', label ='[x0,y0]') plt.plot(xi[1:],yi[1:],'o', color='g', label ='y estimada') plt.title('EDO: Solución con Taylor 3 términos') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.grid() plt.show()
Tema 3. (20 puntos) Determine la corriente I(t) de un circuito "LRC" en serie, cuando L=0.005 Henrios, R = 2 Ohm y C=0.02 Faradios, donde E(t) se regula en el tiempo y es igual a:
E(t)=1000\frac{[[t+1]]}{\sin ^2 (t) +2}En el instante inicial la corriente I(0) es cero y la ecuación del circuito puede aproximarse por:
L\frac{\delta I}{\delta t} +RI + \frac{1}{C} \int_0^t e^{-t^2} \delta t = E(t) I(0) = 0Determine la corriente en los instantes π/4 y π/2 utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver la ecuación diferencial y Simpson con una parábola para determinar las integrales que se generen.
Rúbrica: Aproximación de I(t) en t = π/4 (10 puntos), aproximación de I(t) en t = π/2 (10 puntos)
Tema 2. (20 puntos) Dada la ecuación hiperbólica
\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt x \lt 1, t\gt 0 \begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0 , & t\gt 0 \\ u(x,0) = \sin (2\pi x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\delta u}{\delta t} (x,0) = 2 \pi \sin (2\pi x) , & 0 \leq x \leq 1\end{cases}Aproximar u(x,t) para t=0.8, con h=k=0.2
Rúbrica: Establecer el método de diferencia centrada y condiciones de frontera (5 puntos), determinar ωi1 (5 puntos), aproximación de u(x,t) en t=0.8 (10 puntos)
Tema 1. (20 puntos) Calcular la integral doble usando el método de Simpson con n=m=3
\int_R\int (y^2 + x^3) \delta y \delta x
Rúbrica: Integración respecto eje x (10 puntos), Integración respecto eje y (10 puntos)
Tema 3. Resolver la siguiente ecuación diferencial
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0 1\lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1 u(x,0) = 2 \ln(x) u(x,1)= \ln(x^2 + 1) 1\leq x \leq 2 u(1,y) = \ln(y^2 +1) u(2,y)= \ln(y^2 + 4) 0\leq y \leq 1