1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013
Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo.
Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,
a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.
b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia
c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.
d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/Junio/2018. MATG1013
Tema 4. “El gol que desafió a la física”. El 3 de junio de 1997, durante el partido de Brasil vs Francia, el brasileño Roberto Carlos ubicó la pelota a 35 metros del arco del Francés Fabien Barthez para rematar un tiro libre. Retrocedió 18 pasos, y luego sacó un zurdazo brutal, mágico, irreal, de ficción, para vencer en un segundo y fracción el arco del portero que al año siguiente se coronaría campeón del mundo.
Se obtuvieron los siguientes datos de videos y fotografías del suceso.
t
0.00
0.15
0.30
0.45
0.60
0.75
0.90
1.05
1.20
x(t)
0.00
0.50
1.00
1.50
1.80
2.00
1.90
1.10
0.30
y(t)
0.00
4.44
8.88
13.31
17.75
22.19
26.63
31.06
35.50
z(t)
0.00
0.81
1.40
1.77
1.91
1.84
1.55
1.03
0.30
Para el estudio de la trayectoria del balón se requieren las funciones que la describen en los ejes cartesianos.
a) Use interpolación con t = 0, 0.3, 0.6, 0.9 aproximar la trayectoria z(t) y encuentre t donde la altura es máxima.
b) Determine la altura ‘z’ del balón cuando cruzó la barrera. La barrera se ubica a y = 9 m de la posición inicial del balón.
c) Determine la desviación máxima (dx/dt=0) que hace que el gol sea considerado como “un desafío a la física”.
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (7 puntos), literal c (8 puntos)
1ra Evaluación I Término 2016-2017. 28/junio/2016. ICM02188 Métodos Numéricos
Tema 4. (25 puntos) Responda las siguientes preguntas y justifique la respuesta
a) Si la ‖Tj‖∞ > 1 , entonces el método de Jacobi no converge
b) Si f ∈ C2[a,b] y p ∈ [a,b], tal que f(p)=0 y f '(p)≠0,
entonces existe δ > 0 tal que el método de Newton converge para cualquier p0 ∈ [p - δ, p + δ]
Rúbrica: literal a) falso (6 puntos), Justificación (6 puntos), literal b) verdadero (6 puntos), demostración (7 puntos)
1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013
Tema 4. (25 puntos) Complete:
a) En el teorema de iteración de punto fijo para sistemas de ecuaciones lineales se tiene que:
Para todo X(0) ∈ Rn, la sucesión \big( x^{(k)} \big)_{k=0}^{\infty} definida por: ______
converge a la solución de: _____
si y solo si: _____
b) Si f ∈ C2[a, b] y sea p ∈ [a, b] tal que f(p) = 0, f'(p) ≠ 0 entonces el método de Newton converge a p y tiene convergencia cuadrática.
Demuestre la proposición anterior.
c) En el teorema de punto fijo para ecuaciones de una variable se tiene:
Si g ∈ C[a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todo x en [a, b].
Además supongamos que existe g'en (a,b) y una constante positiva 0<k<1 tales que: ____
Entonces, ___
Rúbrica: En el literal a), por cada espacio llenado hasta 3%, en el literal b), 8% por demostrar que g'(p)=0 y 2% por demostrar que En+1 = g''(p)/2 En, en el literal c) hasta 3% por cada espacio llenado
a) Use el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema
b) Use el método de Jacobi y determine el número de iteraciones para ε=0.01
c) Si el coeficiente 55 se cambia a 54.9, encuentre el error relativo de la aproximación en el literal a.
Rúbrica: Aplicación del método de eliminación de Gauss hasta 10%, Uso del método de Jacobi hasta 5% y determinación del número de iteraciones hasta 5%, Calculo del residuo y cota del error relativo hasta 5%.
1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013
Tema 2. (25 puntos) Determine una raiz de las ecuaciones no lineales simultaneas siguientes:
y = - x2 + x + 0.75
y + 5xy = x2
a) Bosqueje una gráfica y seleccione X(0)
b) Use el método de Newton en dos variables y realice tres iteraciones.
Rúbrica: Bosquejar la gráfica hasta 5%, Plantear el método hasta 5%, Calcular el Jacobiano hasta 5% Hacer tres iteraciones, estimando el error hasta 10%.
1ra Evaluación I Término 2017-2018. 26/junio/2017. MATG1013
Tema 4. (25puntos)
Tablero electrónico de la TV. Sistema, tarjeta
Un supervisor revisa la producción de tres tipos de componentes eléctricos.
Para ellos se requieren tres clases de materiales como se indica en la tabla adjunta:
Material 1
Material 2
Material 3
Componente 1
5
9
3
Componente 2
7
7
16
Componente 3
9
3
4
a) Si cada semana se dispone de un total de 945 gramos de material 1, 987 gramos de material 2 y 1049 gramos de material 3, ¿Cuántos componentes a lo sumo pueden producirse por semana? (Solo plantear)
b) Si se resuelve con el método de eliminación de Gauss, ¿Cuántas multiplicaciones/divisiones como máximo se realizan?
c) Si se resuelve con el método de Jacobi, encuentre la norma infinita de T y comente sobre la convergencia.
d) Resuelva utilizando el método de Gauss-Seidel, realice tres iteraciones y estime el error de la tercera iteración.
Rúbrica: Planteo hasta 5 puntos, Número de multiplicaciones hasta 5 puntos, ‖T‖∞ hasta 10 (con filas ordenadas), Iteraciones con Gauss Seidel con la estimación del error hasta 5 puntos.
1ra Evaluación I Término 2017-2018. 26/junio/2017. MATG1013
Tema 3. (25 puntos) 3. El sistema no lineal
-x(x + 1) + 2y = 18
x - 1 + (y - 6)2 = 25
tiene dos soluciones.
a) Aproxime gráficamente las soluciones
b) Utilice el método de Newton Raphson en una variable para aproximar una solución, (realice tres iteraciones).
c) Utilice el método de Newton Raphson en dos variables para aproximar una solución, (realice tres iteraciones) y estime el error de la segunda iteración.
Rúbrica: Soluciones gráficas hasta 5 puntos, Método de Newton hasta 10 puntos, Método que involucra al jacobiano hasta 10 puntos.
1ra Evaluación I Término 2017-2018. 26/junio/2017. MATG1013
Tema 2 (25 puntos). El volumen V del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la profundidad h del líquido por la ecuación
V = \frac{\pi h^{2} (3r-h)}{3}
Es posible desarrollar las siguientes dos fórmulas para él método de punto fijo:
h = \sqrt{\frac{h^{3}+(3V/\pi)}{3r}} h = \sqrt[3]{3(rh^{2}-V/\pi)}
Si r=1 m y V=0.75 m3, determine si las dos alternativas son estables (convergen), realice las iteraciones para aproximar h con un error menor o igual 0.01 m.
Rúbrica: Cálculo de las derivadas (10 puntos), determinación de la estabilidad (5 puntos), iteraciones con el error (10 puntos).
Referencia: Ejercicio 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
