Tema 1. Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tiene que cumplir que su integral en el dominio de x debe tener un valor igual a 1.
Encuentre el valor de b para que la función
f(x) = 2 x^2+xsea una función de probabilidad en el dominio [0,b].
Use la fórmula de Newton-Raphson en la ecuación no lineal resultante. El error tolerado=0.0001
Tema 3. Sea f \in C^{4}[0,1] , tal que
f(0.50) = 1.648
f(0.65) = 1.915
f(0.80) = 2.225
f(0.95) = 2.5857
Usando el polinomio interpolante de Lagrange, aproxime:
f(0.76)
f(0.87)
datos = [[0.50, 1.648],
[0.65, 1.915],
[0.80, 2.225],
[0.95, 2.5857]]
Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por
\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\7x+y+z=6\\-3x+7y-z=-26\end{cases}Arregle el sistema de tal manera que la diagonal de A sea estrictamente dominante.
a) Calcular el valor de ||T||∞
b) Escribir el algoritmo de Gauss-Seidel.
c) Dado X(0) = 0, iterar hasta que
\frac{||X^{(k)} - X^{(k-1)}||}{||X^{(k)}||} \lt 10^{-4}Escriba una tabla de resultados.
A = np.array([[-2, 5, 9],
[ 7, 1, 1],
[-3, 7,-1]])
B = np.array([1,6,-26])
Tema 1. Se requiere aproximar el punto de la curva dada por
y=2x^{5}-3xe^{-x}-10ubicado en el tercer cuadrante, donde su recta tangente sea paralela al eje X.
Determine:
a) La ecuación que corresponda a la solución del problema.
b) Un intervalo donde exista la solución requerida. Justifique su respuesta.
c) La aproximación de la solución, usando el método de Newton, con una tolerancia de 10-6.
Tema 2. Una empresa compra tres materiales A, B, C 
en cantidades en kg como se indica en el cuadro.
Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura:
| Factura | A | B | C | Total |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 5 | 4 | 35 |
| 2 | 3 | 9 | 8 | k |
| 3 | 5 | 3 | 1 | 17 |
a) Construya el modelo matemático para resolver este problema.
b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k.
c) Luego de resolver el sistema, nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta.
d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con k=65 y el método anterior. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido.
e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.
A = np.array([[2,5,4],
[3,9,8],
[5,3,1]])
B = np.array([[35],
[65],
[17]])
Tema 2. Suponga un sistema biológico con 4 especies de animales (e1, e2, e3, e4) y 3 tipos de alimentos (A, B, C).
En el siguiente cuadro se muestra el consumo diario promedio de cada tipo de alimento por cada miembro de especie animal, y la cantidad diaria de alimento disponible:
| Alimento\Especie | e1 | e2 | e3 | e4 | Cantidad diaria |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 2 | 0 | 3 | 3500 |
| B | 1 | 0 | 2 | 2 | 2700 |
| C | 0 | 0 | 1 | 1 | 900 |
Sea xj el número de miembros de cada especie animal j = 1, 2, 3, 4.
a) Escriba un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad de miembros de cada especie animal que pueden sustentarse con las cantidades de alimentos disponibles.
b) Encuentre una solución con el método de Gauss-Jordan en la que la última variable quede libre.
Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre.
c) Suponga que la cantidad actual de miembros de cada especie es:
X = [1000, 500, 350, 400]
¿Hay suficiente cantidad de alimentos para satisfacer el consumo promedio diario actual?
d) ¿Cuál es el número máximo de animales de cada especie que podría incrementarse de tal manera que el suministro diario disponible satisfaga todavía al consumo diario?
e) Si se extingue la especie animal 4, ¿Qué aumento individual de cada una de las otras tres especies podría soportarse con la cantidad diaria de alimento disponible?
Referencia: Disney's Fantasia 2000 Pomp Circumstance Starring Donald Duck
Tema 1. Los ingresos netos de un fondo de inversiones se puede modelar mediante:
C(t)=Ate^{-t/3}Unidades en millones de dólares después de inyectarle A millones de dólares, t es tiempo en años. 
a) Encuentre el tiempo t en el que el fondo de inversiones C(t) alcanza el máximo y determine el monto de la inversión inicial A necesaria para que el máximo sea igual a un millón de dólares.
b) Encuentre el tiempo t en el que el nivel del fondo de inversiones disminuye a un cuarto de millón de dólares. Use el método de Newton con una aproximación de 0.0001
Tema 3. Suponga que se tiene un automóvil viajando a lo largo de un camino recto. En diferentes puntos de su recorrido se mide lo siguiente:
| Tiempo [s] | 0 | 3 | 5 | 8 | 13 |
| Distancia [m] | 0 | 69 | 117 | 190 | 303 |
| Velocidad [m/s] | 22.9 | 23.5 | 24.4 | 22.6 | 21.9 |
Usando interpolación de Lagrange aproxime el valor de la velocidad del automóvil en t =10 segundos.
Tiempo = [ 0.0, 3, 5, 8, 13] Distancia = [ 0.0, 69, 117, 190, 303] Velocidad = [22.9, 23.5, 24.4, 22.6, 21.9]
Referencia:
Tema 2. Una empresa compra tres materiales A, B, C en cantidades en kg. como se indica en el cuadro.
Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura:
| Factura | A | B | C | Total |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 5 | 4 | 35 |
| 2 | 3 | 9 | 8 | k |
| 3 | 5 | 3 | 1 | 17 |
a) Construya el modelo matemático para resolver este problema.
b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k.
c) Luego de resolver el sistema, nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta.
d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con k=65 y el método anterior. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido.
e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.
Tema 1. Determine de ser posible, el valor del parámetro α > 0 , tal que
\int_{\alpha}^{2\alpha} x e^{x}dx = 10a) Justifique la existencia del parámetro α.
b) En caso de existir el parámetro α , aplicar el método de Newton para aproximar el valor de α , con una tolerancia de 10−4 .