Algoritmos101

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Categoría: 2da Evaluación

  • 2Eva_2025PAOI_T3 EDP Elíptica, distribución de potencial

    2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

    Tema 3 (30 puntos) Un cuadrado dieléctrico de 2 cm de lado donde los bordes están a tierra, 0 Voltios, y el vértice opuesto está a 80V. Calcular la distribución de potencial, suponiendo que la densidad de carga f(x,y) es nula.

    \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} =0

    Condiciones de contorno se muestran junto con la ecuación diferencial parcial

    \phi (x,0) = \phi(0,y)=0 \phi (x,2) = 40x \phi (2,y) = 40y

    Suponiendo que se satisface la ley de Ohm, considere Δx=Δy=1/4
    Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y

    a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo i,j
    b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj
    c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para Φ(xi,yj)
    d. Determine el valor de Lambda λ
    e. Adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png

    Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

    Referencia: Chapter 13: Partial Differential Equations (Part 2 - Elliptic PDEs). Lindsey Westover. 18 Marzo 2021.

  • 2Eva_2025PAOI_T2 EDO Modelo económico de Solow-Swan

    2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

    Tema 2 (35 puntos) El modelo de crecimiento económico de Solow-Swan describe cómo el capital por trabajador k cambia con el tiempo dk/dt. Crecimiento Economico

    \frac{\delta k}{\delta t} = s f(k) -(d+n)k f(k) = k^{\alpha}

    El cambio del capital por trabajador depende de la inversión, la depreciación d y el crecimiento de la población n.
    El primer término aumenta el capital por medio de la inversión por trabajador, s es la tasa de ahorro y f(k) es la función de producción.

    El siguiente término disminuye el capital por la depreciación d de equipos, junto con el capital necesario para equipar a los nuevos trabajadores n.
    Una propiedad en el modelo de Solow indica que el capital por unidad de trabajo efectivo f(k) muestra rendimientos marginales decrecientes del capital.

    En países desarrollados α=0.3, mostrando que el 30% del ingreso nacional total se atribuye al factor de producción de capital como edificios, maquinaria y equipos, mientras que el 70% restante se atribuye al factor de producción trabajo, sueldos y salarios. Considere s=0.15, d=0.05, n=0.015, k(0)=1.

    a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
    b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para k(t) con tamaño de paso h=0.2 meses
    c. Realice una observación sobre el resultado, a lo largo del tiempo para al menos 60 meses usando el algoritmo.
    d. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

    Referencia: [1] Solow-Swan Model. Sean McClung. 8 abril 2025. https://inomics.com/terms/solow-swan-model-1548564
    [2] Modelo de crecimiento de Solow. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_crecimiento_de_Solow
    [3] The Solow Model and the Steady State. Marginal Revolution University. Apr 12, 2016. https://www.youtube.com/watch?v=LQR7rO-I96A
    [4] Human Capital & Conditional Convergence. Marginal Revolution University. Apr 26, 2016. https://www.youtube.com/watch?v=SVWX4Xjl4Os
    [5] The Solow Model and Ideas. Marginal Revolution University. May 3, 2016.

  • 2Eva_2025PAOI_T1 coordenadas centroide por integración numérica

    2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

    Tema 1 (35 puntos) Un centroide es un promedio ponderado, como el centro de gravedad, pero ponderado con una propiedad geométrica como el área o el volumen, y no con una propiedad física como el peso o la masa. superficie para centroide

    Esto significa que los centroides son propiedades de formas puras, no de objetos físicos. Para el caso particular dado en f(x), los resultados de los integrales permiten obtener las coordenadas del punto medio:

    \bar{x} = \frac{Q_y}{A} \bar{y} = \frac{Q_x}{A}
    Q_y = \int x dA = \int_0^5 x^3 dx Q_x = \int ydA = \int_0^5 \frac{x^4}{2} dx
    A = \int f(x) dx = \int_0^5 x^2 dx

    Donde Qx, Qy corresponden al primer momento de área con respecto a cada eje. Realice el planteamiento de los integrales considerando que:

    a. Para el integral con Qy use fórmulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que

    b. Para el integral con Qx use Cuadratura de Gauss de dos puntos.

    c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función. Para A seleccione el método numérico de su preferencia.

    d. Indique el resultado obtenido para el integral requerido y la cota de error.

    e. Determine las coordenadas del centroide según las fórmulas presentadas.

    f. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos)

    Referencia: [1] Engineering Statics Open and Interactive. Daniel W. Baker, William Haynes. https://engineeringstatics.org/Chapter_07-centroids.html

    [2] Centroide de una parábola mediante integración. Ingeniería elemental. 13 octubre 2022.

  • 2Eva_2024PAOII_T3 EDP Elíptica con función en borde superior

    2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

    Tema 3. (35 puntos) Considere la ecuación diferencial parcial, tipo elíptica descrita sobre una placa en el plano x,y:

    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = -\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}

    0≤x≤1 ; 0≤y≤1.5

    Con condiciones en frontera en los intervalos definidos para una placa.

    EDP Elípticau(0, y) = 0 ; u(1, y) = 0

    u(x, 0) = 0

    u(x, 1.5) = 100 sin(πx)

    Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y

    a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo i,j

    b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj

    c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,yj)

    d. Determine el valor de Lambda λ, considerando Δx = 1/4 , Δy = 1/8

    e. Desarrolle la ecuación para al menos tres nodos i,j diferentes y consecutivos.

    f. (Extra) Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png

    Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (15 puntos). literal f extra (5 puntos)

    Referencia: Chapter 13: Partial Differential Equations (Part 2 - Elliptic PDEs). Lindsey Westover. 18 Marzo 2021. https://youtu.be/0eI5zrhtEjE?si=a8rQhpEEirvMBC26&t=633

  • 2Eva_2024PAOII_T2 EDO Mayoría entre grupos Azules y Rojos

    2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

    Tema 2 (35 puntos) Suponga que en un país democrático existen dos tendencias políticas identificadas por los colores Azul y Rojo [1,3].

    Azules Y Rojos 01Al inicio, la gran mayoría de la población tiene preferencia “Azul”. Los hijos que nacen en población Azul se educan e identifican con la tendencia política Azul. Sin embargo, algunos jóvenes al encontrarse con las ideas de los Rojos cambian su preferencia política a Rojo e incluso se mudan hacia provincias o estados donde predomina una tendencia.

    Las provincias donde predominan los Rojos comienzan a crecer no solo por los nacimientos y educación en familias Rojas, sino también por las mudanzas, lo que podría a cambiar la balanza en las votaciones “democráticas” de gobierno. Se observa que las provincias predominantemente Rojas tienen un costo de vida menor aunque con expectativa de vida menor [2], sin embargo las tendencias de cambio se mantienen.

    En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst [4], la población anual del país se describe con x(t), con tasas de natalidad a = 0.018 y mortalidad b = 0.012

    \frac{\delta x}{\delta t} = a x - b x^2

    x(0)=2

    La población de Rojos es minoría y se describe con y(t).

    \frac{\delta y}{\delta t} = 0.026x - 0.017 y^2 +0.19 b (x-y)

    y(0)=0.5

    Sin embargo los jóvenes descendientes de los Azules al meditar sobre la situación actual del país, como protesta, cambian su tendencia política hacia los Rojos, a tasa de 0.19 de jóvenes descendientes “Azules”.

    a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.

    b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

    c. Realice una observación sobre el crecimiento de población del país, x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.

    d. Realice una observación sobre el gobierno elegido democráticamente por mayoría, según los resultados de y(t) en el literal c.

    e. (Extra) Encuentre el tiempo t cuando los “Rojos” y(t) se vuelven mayoría simple, más de la mitad de la población x(t). Se supondrá que la tendencia política gobernante será “Roja”. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e Extra (5 puntos)

    Referencia: [1] Estados rojos y estados azules. Wikipedia, Enero 2025. https://es.wikipedia.org/wiki/Estados_rojos_y_estados_azules

    [2] Los estadounidenses se mudan cada vez más a estados rojos, de tendencia republicana , donde la vida es más barata, pero la gente también muere más joven. theconversarion.com. Mayo 25, 2023. https://theconversation.com/americans-are-increasingly-moving-to-red-republican-leaning-states-where-life-is-cheaper-but-people-also-die-younger-205980

    [4] Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo

    [3] Bipartidismo en EEUU: ¿Solo existen dos partidos? Enterarse. 15 Octubre 2020.

  • 2Eva_2024PAOII_T1 Área de incendio forestal en Cerro Azul

    2da Evaluación 2024-2025 PAO II. 28/Enero/2025

    Tema 1 (30 puntos) El lunes 2 de diciembre del 2024, el cuerpo de Bomberos informó sobre un incendio forestal en el Km 33 de vía Perimetral en Guayaquil, sector Cerro Azul. area de incendio forestal cerro azul

    Se desplegaron ocho unidades de bomberos, tres tanqueros, un camión cisterna, una ambulancia y un vehículo comando de accidentes [1]. La voracidad de las llamas obligó a las autoridades a trasladar más recursos humanos y materiales, 120 uniformados, 36 vehículos contra-incendios y un helicóptero. Se informó que hasta las 16h30, se habían usado 12000 litros de agua en la zona.

    Se requiere determinar el área forestal afectada y delimitada por las coordenadas relativas representadas en la imagen.

    Frontera superior

    xi = [410, 450, 550, 520, 586, 606, 626, 705, 830, 884, 934, 984, 1004, 1024]
yi = [131, 194, 266, 337, 402, 483, 531, 535, 504, 466, 408, 368,  324,  288]

    Frontera Inferior

    xj = [410, 600, 790, 980, 1024]
yj = [131, 124, 143, 231,  288]

    a. Calcular los tamaños de paso en cada frontera y plantear la integración con fórmulas compuestas

    b. Desarrollar las expresiones del área para las coordenadas de la frontera superior, según el literal a.

    c. Realice los cálculos para la frontera inferior y encuentre el área afectada.

    d. Estime la cota de error en los cálculos.

    Nota: dxi = np.diff(xi) calcula los tamaños de paso de un vector

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

    Frontera superior

    xi 410 450 550 520 586 606 626 705 834 884 934 984 1004 1024
    yi 131 194 266 337 402 483 531 535 504 466 408 368 324 288

    Frontera Inferior

    xj 410 600 790 980 1024
    yj 131 124 143 231 288

    Referencia: [1] Bomberos atienden voraz incendio forestal en Guayaquil. EL COMERCIO. 2 de diciembre 2024. https://www.elcomercio.com/actualidad/bomberos-atienden-incendio-forestal-guayaquil.html

    [2] Incendios forestales han afectado 1.656 hectáreas durante la época seca en Guayaquil. Eluniverso.com. 4 de diciembre 2024. https://www.eluniverso.com/guayaquil/comunidad/incendios-forestales-han-afectado-1656-hectareas-durante-la-epoca-seca-para-guayaquil-nota/

    [3] Noticiero de Guayaquil (Primera Emisión 03/12/24) desde [1:52,17:03]. Teleamazonas Ecuador.

  • 2Eva_2024PAOI_T3 EDP Parabólica

    2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

    Tema 3. (30 puntos)

    Para la siguiente Ecuación Diferencial Parcial con b = 2, resuelva usando las condiciones mostradas

    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = b \frac{\partial u}{\partial t}
    0 < x < 1  0 < t < 0.5
    Condiciones iniciales:  u(x,0)=0
    Condiciones de frontera: u(0,t)=1
    u(1,t)= 2

    Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t

    a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

    b. Realice la gráfica de malla,

    c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

    d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

    e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

    Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (15), literal e (5 puntos)

    Referencia: EDP Parabólicas. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 30.15. P.904

  • 2Eva_2024PAOI_T2 Salto Bungee longitud total de cuerda

    2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

    Tema 2. (40 puntos) Bungee Jumping 02
    Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.

    2.1 De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
    Se requiere encontrar la distancia recorrida en el intervalo de [0,2.55] usando fórmulas de integración compuestas.

    ti vi
    0 0.0000
    0.25 2.4479
    0.5 4.8849
    0.75 7.3001
    1 9.6832
    1.375 13.1763
    1.75 16.5451
    2.125 19.7641
    2.4 22.0193
    2.55 23.2075

    2.2 Usando los datos de la tabla para el intervalo [2.55, 5.175] donde la velocidad de la caída de la persona al primer salto ha llegado a casi cero, o antes del primer rebote, se ha obtenido un polinomio de interpolación:

    v = -3.979t2 + 21.557t – 5.3997

    Obtenga la distancia recorrida en el segundo intervalo usando el método de Cuadratura de Gauss.

    a. Realice el planteamiento de las ecuaciones para cada sección del ejercicio.

    b. Describa el criterio usado para determinar el número de tramos usado en cada caso.

    c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada sección.

    d. Encuentre la distancia total (profundidad) alcanzada por la persona al dar el salto.

    Rúbrica: literal a 2.1 (5 puntos), a 2.2 (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c 2.1 (10 puntos), c 2.2 (10 puntos), literal d (5 puntos)

    Referencia:[1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

    [2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! - devinsupertramp. 23 mar 2015.

  • 2Eva_2024PAOI_T1 EDO Salto Bungee tiempo extiende cuerda

    2da Evaluación 2024-2025 PAO I. 28/Agosto/2024

    Tema 1. (30 puntos) Salto Bungee 01
    La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.

    Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.

    \frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L

    Salto Bungee 02Suponga que las condiciones iniciales son:

    y(0) = 0

    \frac{dy(0)}{dt} = 0

    Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.

    \frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
    dy/dt m/s velocidad (v)
    t s tiempo
    g 9.8 m/s2 gravedad
    cd 0.25 kg/m coeficiente de arrastre
    m 68.1 Kg masa
    L 30 m Longitud de la cuerda
    k 40 N/m constante de resorte de la cuerda
    γ 8 N s/m coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
    signo(v) función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente

    Encuentre el tiempo tc y la velocidad de la persona cuando se alcanza la longitud de la cuerda extendida y sin estirar (30 m), es decir y<L, aún se entra cayendo signo(v)=1. (solo primera ecuación)

    a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

    b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5

    c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt

    d. Indique el valor de tc, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.

    Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (5 puntos), literal d (5 puntos),

    Referencia: [1] Chapra. capítulo 28. Ejercicio 28.41 p852.

    [2] Extreme Bungy Jumping with Cliff Jump Shenanigans! Play On in New Zealand! 4K! - devinsupertramp. 23 mar 2015.

     

  • 2Eva_2023PAOII_T3 EDP desarrolle expresión

    2ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 30/Enero/2024

    Tema 3 (30 puntos) Para la siguiente Ecuación Diferencial Parcial con b = 2, resuelva usando las condiciones mostradas

    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + b\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial dt}
    0 < x < 1

    0 < t < 0.5

    		 Condiciones de frontera:
    u(0,t)=0, u(1,t)= 1, 0≤t≤0.5
    Condiciones iniciales:
    u(x,0)=0, 0≤x≤1

    Utilice diferencias finitas centradas y hacia adelante para las variables independientes x,t

    a. Plantee las ecuaciones para usar un método numérico en un nodo i,j

    b. Realice la gráfica de malla,

    c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,tj)

    d. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.

    e. Estime el error de u(xi,tj) y adjunte los archivos del algoritmo y resultados.

    f. Con el algoritmo, estime la solución para b = 0 y b=-4. Realice las observaciones de resultados para cada caso.

    Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (5), desarrollo de iteraciones (10), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos extra)

    Referencia: EDP Parabólicas. Chapra & Canale. 5ta Ed. Ejercicio 30.15. P.904