2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica

\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{4}{\pi ^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 0 \lt\ x \lt 4, 0\lt t u(0,t) = u(4,t) = 0, 0\lt t u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi}{4}x \Big) \Big( 1 + 2 \cos \Big( \frac{\pi}{4}x\Big)\Big) 0 \leq x \leq 4

a) Use n=20 en el sentido de x; y m=10, obtenga el modelo (solo planteado).

b) Aproxime la solución con n=4, hasta 2Δt, y

c) estime el error en el punto P(x₁, t₁)

2da Evaluación II Término 2014-2015. 23/Febrero/2015. ICM00158

Tema 3. En un tubo de órgano musical, la presión del aire p(x,t) se rige por la ecuación de onda

\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} 0 \lt x \lt L, 0\lt t

Donde L es la longitud del tubo y c es una constante física.

Si el tubo se encuentra abierto, las condiciones de frontera estarán dadas por:

p(0,t) = p0
p(L,t) = p0

Si el tubo está cerrado en el extremo donde x=L, las condiciones de frontera serán:

p(0,t) = p0

\frac{\partial p(l,t)}{\partial x} = 0

Suponga que c=1, L=1 y que las condiciones iniciales son

p(x,0) = p0 cos(2πx)

\frac{\partial p(x,0)}{\partial t} = 0

0 \leq x \leq L

a. Aproxime la presión de un tubo abierto usando las diferencias finitas con p0 = 0.9 en x = 1/2 para t = 0.5 y t = 1,

b. Modifique el procedimiento del literal a para el problema del tubo de órgano cerrado con p0 = 0.9 y luego aproxime p(0.5 , 0.5) y p(0.5 , 1) usando h = 0.1 y k = 0.1

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