a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t
b) estime el error.
Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).
a. Transforme la ecuación en un sistema de primer orden.
b. Use el método de Runge-Kutta de orden 2 (modificado de Euler) con h=0.2 para aproximar x para 3 pasos.
c. Estime el error.
Rúbrica: literal a, aplica el cambio de variables (5 puntos).
literal b, Conoce una fórmula de RK2orden (5 puntos). Plantea la fórmula de RK2 orden al sistema (5 puntos). Realiza al menos 3 pasos (5 puntos).
literal c, conoce las fórmulas del error hasta (5 puntos), calcula el error hasta (5 puntos)
2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013
Tema 1. (30 puntos) La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor químico durante un periodo específico de tiempo.
M = \int^{t_2}_{t_1}Q(t)C(t) dt
t : min
C(t) : mg/m3
Q(t) : m3/min
a) Con los datos mostrados en la tabla y usando los métodos de Simpson 1/3 y 3/8, aproxime la cantidad de masa que sale de un reactor entre t1=0 y t2=25 min.
t
0
5
10
15
20
25
C(t)
10
18
27
35
40
30
Q(t)
4
6
7
6
5
5
b) Estime el error
Rúbrica: Conoce los métodos de Simpson hasta (5 puntos), Calcula la función a integrar hasta (5 puntos), Separa los intervalos hasta (5 puntos), Aplica las fórmulas correctamente hasta (5 puntos). Literal b, conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula los errores (5 puntos)
2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013
Tema 4. (30 puntos) Para una sección de 500 m del acceso marítimo a los puertos de Guayaquil se requiere de un canal con:
profundidad mínima de 11 metros MLWS
ancho de 250 m
de tal forma que permita navegar buques de carga de mayor tamaño.
Dispone de las mediciones de profundidad mostradas en la tabla de batimetría:
Batimetría
yi \ xi
0
50
100
150
200
250
0
-6.79
-12.03
-10.04
-11.60
-7.24
-7.91
100
-8.85
-10.89
-8.95
-7.23
-11.42
-7.93
200
-11.90
-9.86
-9.35
-12.05
-9.38
-9.65
300
-7.30
-11.55
-10.41
-8.67
-11.84
-6.77
400
-12.17
-9.62
-7.47
-6.51
-9.02
-9.60
500
-11.90
-10.23
-10.68
-9.94
-6.76
-7.46
a) Obtenga la tabla de dragado como la diferencia entre la profundidad del canal requerido y la tabla de batimetría.
b) Estime el volumen de sedimentos a remover por la draga usando integración por el método de Simpson.
Nota: Si el fondo está más allá de los 11 metros, no se requiere la intervención de la draga.
Rúbrica: literal a (5 puntos), selección apropiada del método por intervalo y aplicación en un eje (15 puntos), integración en el otro eje (5 puntos), presentar las iteraciones correctamente (5 puntos)
con las condiciones de frontera en los mismos intervalos que la ecuacion diferencial:
u(x,0) = x + 1 u(0,y) = y+1 u(x,1) = x^2 + x +2 u(1,y) = y^2 + y +2
Use el método de diferencias finitas para resolver el problema tomando como tamaño de paso hx = hy = 1/3
Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas, gráfica del problema (5 puntos), ecuación generalizada con diferencias finitas divididas (5 puntos), Sistema de ecuaciones para los puntos desconocidos (10 puntos). Valores de los puntos desconocidos (5 puntos)
2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013
Tema 2. (20 puntos) Deduzca el método de Simpson 1/3
Sugerencias: Una de las formas de plantear la deducción es usando un polinomio de Lagrange con grado 2 para aproximar la función que pasa por los puntos [a,f(a)], [b,f(b)] y [c,f(c)].
Considere que los tramos tienen h tienen tamaño (b-a)/2, (c-a), (b-c)
Plantee la ecuación y sustituya los valores de los tramos por valores de h para resolver todo en función de h.
Rúbrica: Planteo del problema con polinomio (5 puntos), desarrollo del problema con integral (5 puntos c/u).
2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013
Tema 1. (25 puntos) Si suponemos que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial ordinaria:
\frac{dv}{dt} = g - \frac{cd}{m} v^2
Donde:
v es la velocidad en m/s
cd es el coeficiente de arrastre de segundo orden Kg/m
m es la masa en Kg
v = \frac{dy}{dt}
y es la distancia que recorre en m
Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 Kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m.
Si la velocidad inicial es 0 y la altura inicial es 1 Km, determine la velocidad y posición en cada tiempo, usando un tamaño de paso de 2s.
a) Plantee la solución de las ecuaciones para la velocidad y distancia usando el método de Runge-Kutta de segundo orden
b) Realice tres iteraciones
Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)
