Publicado en

2Eva_2025PAOI_T3 EDP Elíptica, distribución de potencial

2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

Tema 3 (30 puntos) Un cuadrado dieléctrico de 2 cm de lado donde los bordes están a tierra, 0 Voltios, y el vértice opuesto está a 80V. Calcular la distribución de potencial, suponiendo que la densidad de carga f(x,y) es nula.

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} =0

Condiciones de contorno se muestran junto con la ecuación diferencial parcial

\phi (x,0) = \phi(0,y)=0 \phi (x,2) = 40x \phi (2,y) = 40y

Suponiendo que se satisface la ley de Ohm, considere Δx=Δy=1/4
Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y

a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo i,j
b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj
c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para Φ(xi,yj)
d. Determine el valor de Lambda λ
e. Adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png

Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: Chapter 13: Partial Differential Equations (Part 2 – Elliptic PDEs). Lindsey Westover. 18 Marzo 2021.

Publicado en

2Eva_2025PAOI_T2 EDO Modelo económico de Solow-Swan

2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

Tema 2 (35 puntos) El modelo de crecimiento económico de Solow-Swan describe cómo el capital por trabajador k cambia con el tiempo dk/dt. Crecimiento Economico

\frac{\delta k}{\delta t} = s f(k) -(d+n)k f(k) = k^{\alpha}

El cambio del capital por trabajador depende de la inversión, la depreciación d y el crecimiento de la población n.
El primer término aumenta el capital por medio de la inversión por trabajador, s es la tasa de ahorro y f(k) es la función de producción.

El siguiente término disminuye el capital por la depreciación d de equipos, junto con el capital necesario para equipar a los nuevos trabajadores n.
Una propiedad en el modelo de Solow indica que el capital por unidad de trabajo efectivo f(k) muestra rendimientos marginales decrecientes del capital.

En países desarrollados α=0.3, mostrando que el 30% del ingreso nacional total se atribuye al factor de producción de capital como edificios, maquinaria y equipos, mientras que el 70% restante se atribuye al factor de producción trabajo, sueldos y salarios. Considere s=0.15, d=0.05, n=0.015, k(0)=1.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones con expresiones completas para k(t) con tamaño de paso h=0.2 meses
c. Realice una observación sobre el resultado, a lo largo del tiempo para al menos 60 meses usando el algoritmo.
d. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (20 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: [1] Solow-Swan Model. Sean McClung. 8 abril 2025. https://inomics.com/terms/solow-swan-model-1548564
[2] Modelo de crecimiento de Solow. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_crecimiento_de_Solow
[3] The Solow Model and the Steady State. Marginal Revolution University. Apr 12, 2016. https://www.youtube.com/watch?v=LQR7rO-I96A
[4] Human Capital & Conditional Convergence. Marginal Revolution University. Apr 26, 2016. https://www.youtube.com/watch?v=SVWX4Xjl4Os
[5] The Solow Model and Ideas. Marginal Revolution University. May 3, 2016.

Publicado en

2Eva_2025PAOI_T1 coordenadas centroide por integración numérica

2da Evaluación 2025-2026 PAO I. 26/Agosto/2025

Tema 1 (35 puntos) Un centroide es un promedio ponderado, como el centro de gravedad, pero ponderado con una propiedad geométrica como el área o el volumen, y no con una propiedad física como el peso o la masa. superficie para centroide

Esto significa que los centroides son propiedades de formas puras, no de objetos físicos. Para el caso particular dado en f(x), los resultados de los integrales permiten obtener las coordenadas del punto medio:

\bar{x} = \frac{Q_y}{A} \bar{y} = \frac{Q_x}{A}
Q_y = \int x dA = \int_0^5 x^3 dx Q_x = \int ydA = \int_0^5 \frac{x^4}{2} dx
A = \int f(x) dx = \int_0^5 x^2 dx

Donde Qx, Qy corresponden al primer momento de área con respecto a cada eje. Realice el planteamiento de los integrales considerando que:

a. Para el integral con Qy use fórmulas de Simpson con al menos 3 tramos, mientras que

b. Para el integral con Qx use Cuadratura de Gauss de dos puntos.

c. Desarrolle las expresiones completas del ejercicio para cada función. Para A seleccione el método numérico de su preferencia.

d. Indique el resultado obtenido para el integral requerido y la cota de error.

e. Determine las coordenadas del centroide según las fórmulas presentadas.

f. Adjunte algoritmo.py, resultado.txt y gráfica.png.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos)

Referencia: [1] Engineering Statics Open and Interactive. Daniel W. Baker, William Haynes. https://engineeringstatics.org/Chapter_07-centroids.html

[2] Centroide de una parábola mediante integración. Ingeniería elemental. 13 octubre 2022.