Tema 2. (30 puntos) Utilice los datos del tema anterior para encontrar el valor aproximado de la altura del cable teleférico cuando x = 0.4. Use el polinomio de diferencias finitas de grado 3 y estime el error en la interpolación.
Tema 1. (40 puntos)
La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:
x = [0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00] f(x) = [25.0, 22.0, 32.0, 51.0, 75.0]
Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:
L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta xa. Aproxime el valor de la derivada f'(x) en todos los puntos de la tabla con fórmulas de orden 2.
b. Aproxime el valor de la longitud del cable del teleférico entre 0 y 1 con la fórmula de Simpson
c. Aproxime el error de la longitud calculada.
Tema 3. (20 puntos) Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy} 0\lt x \lt 1, 0\lt y \lt 0.5Con las condiciones de frontera:
u(0,y) = 1, u(1,y) = e^y , 0 \leq y \leq 0.5 u(x,0) = 1, u(x,0.5) = \sqrt{e^x} , 0 \leq x \leq 1Usando un tamaño de paso hx = hy = 0.25
Tema 2. (20 puntos) El meteorólogo Edward Lorenz propuso inicialmente el siguiente sistema para predecir el comportamiento del clima:
\begin{cases} x'(t) = \alpha (y(t) - x(t)) \\ y'(t) = \rho x(t) - y(t) - x(t) z(t) \\ z'(t) = -\beta z(t) + x(t) y(t) \end{cases}Para su estudio eligió los parámetros α = 10, β = 8/3 , ρ=28 con las condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 7, z(0) = 7
Use el método de Runge-Kutta clásico de cuarto orden con h = 0.25 para calcular la solución cuando t=1
Referencia: Chapra 28.2 p833 pdf857
Tema 1. (20 puntos)
La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:
x = [ 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00] f(x) = [25.00, 22, 45, 62, 75 ]
Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:
\int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta xa. Aproxime el valor de f'(x) pra cada uno de los valores de x de la tabla
b. Aproxime el valor de la longitud del cable usando el método de Simpson
Tema 3. (40 puntos) Dados los puntos
(x,y): (2,3), (4,4), (5,6), (6,7), (8,5)
Use el trazador cúbico natural para determinar el valor de y cuando x=3.
Use el método iterativo de Gauss-Seidel para resolver el sistema de ecuaciones que se produce al aplicar la formulación del trazador cúbico.
Comience con un vector solución nulo e itere hasta obtener tres decimales exactos.
xi = [ 2, 4, 5, 6, 8] yi = [ 3, 4, 6, 7, 5]
Tema 2. (30 puntos) Utilizando los 9 datos de las cuadrículas centrales de la tabla anterior, calcule aproximadamente la profundidad del lago en el punto de coordenadas x = 250, y = 125
Utilice en ambas direcciones el polinomio de Lagrange o el polinomio de diferencias finitas y estime el error en la interpolación.
| y\x | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 4 | 6 | 0 |
| 50 | 0 | 3 | 5 | 7 | 3 |
| 100 | 1 | 5 | 6 | 9 | 5 |
| 150 | 0 | 2 | 3 | 5 | 1 |
| 200 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 |
profundidad= [[ 0, 0, 4, 6, 0],
[ 0, 3, 5, 7, 3],
[ 1, 5, 6, 9, 5],
[ 0, 2, 3, 5, 1],
[ 0, 0, 1, 2, 0]]
x = [ 0, 100, 200, 300, 400]
y = [ 0, 50, 100, 150, 200]
Tema 1. (30 puntos) Un lago tiene la forma aproximadamente rectangular de 200 m x 400 m.
Se ha trazado un cuadriculado y se ha medido la profundidad en metros en cada cuadrícula de la malla como se
| y\x | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 4 | 6 | 0 |
| 50 | 0 | 3 | 5 | 7 | 3 |
| 100 | 1 | 5 | 6 | 9 | 5 |
| 150 | 0 | 2 | 3 | 5 | 1 |
| 200 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 |
con todos los 25 datos de la tabla, estime el volumen aproximado de agua.
Utilice la fórmula de Simpson en ambas direcciones.
profundidad= [[ 0, 0, 4, 6, 0],
[ 0, 3, 5, 7, 3],
[ 1, 5, 6, 9, 5],
[ 0, 2, 3, 5, 1],
[ 0, 0, 1, 2, 0]]
x = [ 0, 100, 200, 300, 400]
y = [ 0, 50, 100, 150, 200]
Tema 3. Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =2t> 0 , 0≤ x ≤ 1
\begin{cases} u(0,t) = u(1,t) = 0, & t\gt0 \\u(x,0) = \sin (\pi x) + x(1-x) \end{cases}Con h= 0.25 y k=0.04, realizar solo dos iteraciones en el tiempo (j=1,2) .
Indicación: Para establecer el algoritmo, utilice la fórmula progresiva para la primera derivada.
Tema 2. Resolver el problema de valor inicial:
\frac{\delta y}{\delta x} -\frac{y}{x} = xe^x y(1) = e-1, 1\leq x \leq 3a. Escribir el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden para la función específica f(x,y).
b. Escribir una tabla de resultados, con h=0.2