Tema 3 (35 puntos) Use el método de diferencias finitas divididas para la ecuación diferencial parcial, también conocida como Poisson, para aproximar la solución de:
Utilice diferencias finitas para las variables independientes x,y
Considere la cantidad de tramos por eje como n=6 en x, m=5 en y, con tolerancia de 10-5.
a. Plantee las ecuaciones discretas a usar un método numérico en un nodo xi, yj
b. Realice la gráfica de malla, detalle los valores de i, j, xi, yj
c. Desarrolle y obtenga el modelo discreto para u(xi,yj)
d. Determine el valor de Lambda λ
e. Adjunte los archivos del algoritmo.py, resultados.txt, gráficas.png
Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
Tema 1 (35 puntos) A menudo, el crecimiento de una población se puede modelar sobre periodos breves al asumir que aumenta de manera continua con el tiempo a una tasa proporcional al número actual en ese momento.
Si se permite inmigración a una tasa constante v, la ecuación N(t) mostrada estima el número de la población en el tiempo t.
Suponga λ denota la tasa constante de natalidad. En un inicio, cierta población tiene N(0)=1 millón de personas, que v=124000 personas inmigran a la comunidad durante el primer año. Que al final del primer año N(1)=1364000. Encuentre la tasa de natalidad λ para el primer año.
a. Plantear el ejercicio para el eje λ o variable independiente
b. Indique y verifique el intervalo [a,b] a usar en el ejercicio
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando un método para búsqueda de raíces, las expresiones deben ser completas en cada iteración, con los valores usados en cada una.
d. Indique el error en cada iteración.
e. Describa si el método converge y observe los resultados de las iteraciones realizadas.
f. Adjunte en “aulavirtual” los resultados.txt y gráficas.png realizadas con el algoritmo.py
Nota: Si la mitad de la población son mujeres y todas pudiesen tener un hijo, la tasa de natalidad en un periodo de gestación de un año será como máximo del 50 por ciento (0.5).
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f (5 puntos).
Tema 4 (10 puntos) Para la expresión mostrada, realice la integración por el método de cuadratura de Gauss de dos puntos. Use al menos dos tramos en el intervalo mostrado.
El efecto Allee es un proceso biológico identificado en la década de 1930 que describe por una correspondencia entre la densidad o el tamaño de la población y la aptitud física individual media.
Se cree que es muy común y se produce en regiones escasamente pobladas. Poblaciones muy pequeñas pueden tener dificultades para defenderse de los depredadores, encontrar pareja o localizar comida.
Donde r = 0.7 es la tasa intrínseca de crecimiento, A=50 es la capacidad de alojamiento del medio, y K=10 es una constante que representa el valor mínimo de la población por debajo del cual se extingue.
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden.
b. Desarrolle tres iteraciones para x(t) con tamaño de paso h=0.2, con expresiones completas y valores usados.
c. Realice una observación sobre el crecimiento de población x(t), a lo largo del tiempo usando los resultados del literal c.
d. Opcional Adjunte los resultado.txt y gráfica.png realizadas con el algoritmo.py
Rúbrica: literal a (8 puntos), literal b (15 puntos), literal c (7 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: [1] Ecuaciones diferenciales y dinámica de poblaciones. Dpto de Análisis matemático- Universidad de Granada. página3. Revisado en enero 2025. https://www.ugr.es/~fjperez/textos/Tema_6_EEDD_y_Dinamica_de_Poblaciones.pdf
En vuelo nocturno, un helicóptero debe pasar por los puntos de referencia (xi,yi) mostrados.
El vuelo se realiza de forma semejante a lo descrito en el tema anterior con altura zi constante y bajo el control del piloto.
xi = [0. , 2.50, 3.75, 5.00, 6.25, 7.5 ]
yi = [3.7 , 3.25, 4.05, 4.33, 2.95, 3.22]
a. Plantee y desarrolle un polinomio P3(x) de grado 3, que describa la trayectoria para y(x) en todo intervalo. Las expresiones y tablas para el desarrollo deben ser completas mostrando los valores usados.
b. Verifique que P(x) pase por los puntos seleccionados de la muestra.
c. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo.
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos.
e. Encuentre el valor del error usando la expresión para y(x) dada en el tema 1 y P(5),
f. Opcional: Adjunte los archivos en aula virtual para: gráfica.png de P(x), resultados.txt con el algoritmo.py
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (5 puntos), literal d (6 puntos), literal f (5 puntos) por considerar en calificación total.
Tema 1 (35 puntos) Durante el procedimiento automático de aterrizaje nocturno de un avión comercial, un helicóptero se desplazaba en vuelo bajo cerca de las riberas del río en los límites del aeropuerto.
Lamentablemente se produjo una colisión entre las aeronaves.
Para un análisis del accidente de dispone de las trayectorias de las aeronaves descritas según las ecuaciones siguientes:
Avión
Helicóptero
Ax(t) = 5.1
Hx(t) = 0.5t
Ay(t) = 0.4t
Hy(t) = sin(0.1t)cos(0.7t)+3.7
Az(t) = 0.5 e^{-0.2t} + 0.3
Hz(t) = 0.36
a. Plantear el ejercicio para encontrar el tiempo t cuando la distancia entre aeronaves es mínima.
b. Muestre y verifique el intervalo de tiempo para la búsqueda [a,b].
c. Desarrolle al menos tres iteraciones usando uno de los métodos para encontrar raíces de ecuaciones. En cada iteración, las expresiones deben ser completas, con los valores correspondientes.
d. Indique y describa la tolerancia usada y el error en cada iteración.
e. Justifique la convergencia del método. ¿Qué puede interpretar sobre los valores de distancia mínima?
f. Opcional: Encuentre las coordenadas de choque entre las dos aeronaves, muestre la gráfica de y(t), los resultados.txt con el algoritmo. Adjunte los archivos en aula virtual.
Nota: Un avión comercial mide aproximadamente 70 m de longitud, 65 m de envergadura, altura de 19 m. Un helicóptero semejante al del caso tiene longitud de 11 metros y diámetro de rotor principal 13 metros, altura de 4 m.
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (15 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos), literal f, considerar en calificación total.
Referencia: [1] ¿Por qué chocaron el avión y el helicóptero en Washington? Esto dicen las investigaciones hasta ahora. CNN. https://cnnespanol.cnn.com/2025/01/31/eeuu/choque-avion-helicoptero-investigaciones-trax
[2] How the Washington DC plane crash unfolded. Guardian News. 31 Enero 2025. https://www.youtube.com/watch?v=ZEKwbyo61W8
[3] Examining the Minutes Before the D.C. Air Disaster | Visual Investigation. The New York Times. 5 Febrero 2025.
[4] Plane Crash with Black Hawk Helicopter Explained. AiTelly. 30 Enero 2025.
3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 3. (35 puntos) Para el salto del Bungee y la tabla del ejercicio del tema 2, realice el sistema de ecuaciones para el polinomio de interpolación usando los tiempos en el vector ts = [0, 0.75,1.375, 2.55]
datos usando h=1/8
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
Plantee el sistema de ecuaciones usando los cuatro puntos datos en el vector ts
Presente el sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada y pivoteada
Desarrolle el ejercicio usando el método de Jacobi, para tres iteraciones. Justifique el vector inicial X0
Comente sobre la convergencia del ejercicio y adjunte los archivos para algoritmo.py y resultados.txt
Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), Matriz aumentada y pivoteada (5 puntos), iteraciones(15 puntos), error por iteración (5 puntos), literal d (5 puntos)
ti = [0,0.25,0.5,0.75,1,1.375,1.75,2.125,2.4,2.55]
vi = [0,2.4479,4.8849,7.3001,9.6832,13.1763,
16.5451,19.7641,22.0193,23.2075]
3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 2. (30 puntos)
Para el salto del Bungee del ejercicio del tema anterior se toman lecturas con un sensor de velocidad sujetado a la persona.
De la tabla de datos obtenida, se observa que los tamaños de paso en tiempo no siempre son equidistantes.
Se requiere encontrar un polinomio interpolación de al menos grado 3.
datos usando h=1/8
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
a. Describa el planteamiento del ejercicio, selección de puntos, expresiones usando el método de Lagrange.
b. Resuelva el sistema usando los algoritmos correspondientes.
c. Presente el polinomio obtenido, simplificado y grafique verificando que P(x) pase por los puntos de muestra.
d. Use el resultado P(x) para estimar el error con los valores de vi que no fueron usados para la interpolación.
e. Adjunte los archivos para algoritmo.py, resultados.txt y grafica.png
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)
3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 1. (35 puntos)
La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto del bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a estirarse o encogerse.
Si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador sólo está sujeto a las fuerzas gravitacional y de arrastre de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 y \leq L
Suponga que las condiciones iniciales son:
y(0) =0
\frac{dy(0)}{dt} = 0
Una vez que la cuerda comienza a estirarse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda.
\frac{d^2y}{dt^2} = g - signo(v) \frac{C_d}{m}\Big( \frac{dy}{dt}\Big)^2 -\frac{k}{m}(y-L) - \frac{\gamma}{m}( \frac{dy}{dt}\Big) y \gt L
dy/dt
m/s
velocidad (v)
t
s
tiempo
g
9.8 m/s2
gravedad
cd
0.25 kg/m
coeficiente de arrastre
m
68.1 Kg
masa
L
30 m
Longitud de la cuerda
k
40 N/m
constante de resorte de la cuerda
γ
8 N s/m
coeficiente de amortiguamiento de la cuerda
signo(v)
función que devuelve –1, 0 y 1, para v negativa, cero y positiva, respectivamente
En conocimiento que la primera ecuación es válida solo hasta tc=2.55, L=30mts, v= 23.20752.
Encuentre el tiempo td cuando se alcanza la longitud MÁXIMA de la cuerda extendiday estirada por completo, es decir y>L, con velocidad = 0. (solo 2da ecuación)
a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden
b. Desarrolle tres iteraciones para y(t) con tamaño de paso h=0.5
c. Usando el algoritmo, aproxime la solución para y en el intervalo entre [0,tc], adjunte sus resultados.txt
d. Indique el valor de td, muestre cómo mejorar la precisión y realice sus observaciones sobre los resultados.
Observación: dy/dt = v, función signo(v) en Numpy:np.sign(v)
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c resultados.txt y grafica.png (10 puntos), literal d (5 puntos),
