Algoritmos101

Cursos Python

Categoría: Evaluaciones

Ejercicios de examen

  • 3Eva_2020PAOI_T2 EDO Modelo epidemiológico no letal

    3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

    Tema 2. (35 puntos) En 1927, Kermack y McKendrick propusieron un modelo epidemiológico no letal simplificado que divide a la población total en estados de S=Susceptible, I=Infectado, R= Recuperado.

    Las personas cambian de estado en un solo sentido S-I-R siguiendo la tasa de infección β y el periodo infeccioso promedio 1/γ; los recuperados adquieren inmunidad. Este modelo permite observar que pequeños aumentos de la tasa de contagio pueden dar lugar a grandes epidemias.

    Susceptible Infectado Recuperado
    Poblacion Estados Infeccion 01
    Relación \frac{dS}{dt} = -\beta SI \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \frac{dR}{dt} = \gamma I
    Población (t0=0) S(t0)= 1 I(t0) = 0,001 R(t0) = 0

    Los valores de población se encuentran en miles, β = 1.4, γ = 1/4.
    Suponga que el tiempo se mide en días, h = 1.

    a. Plantear la solución del sistema de EDO usando Runge-Kutta de 2do Orden
    b. Desarrolle el ejercicio con al menos 3 iteraciones en el tiempo
    c. Estimar el error del método aplicado

    Rúbrica: conoce la fórmula de RK2 (5 puntos), plantea la fórmula de RK2 al sistema (5 puntos) literal b (20 puntos), literal c (5 puntos).

    Referencia: Modelo SIR https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_SIR. Modelaje matemático de epidemias https://es.wikipedia.org/wiki/Modelaje_matem%C3%A1tico_de_epidemias

  • 3Eva_2020PAOI_T1 Distancia mínima en trayectoria

    3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

    Tema 1. (30 puntos) Calcule el punto de la curva en el plano x-y definida por la función

    y = e^{-x} , x ∈ R

    que se encuentra más cercano al punto(1, 1).

    Trayectoria Punto Distancia 01

    a. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton.

    b. Usando este método, elabore una tabla que contenga las columnas de la tabla mostrada:

    i xi f(xi) Ei
    0
    1
    2
    3

    donde f(x) = 0 define el problema a resolver y

    Ei = |xi+1 − xi|, i≥0.

    Use como criterio de parada Ei ≤ 10−7.
    Para los cálculos utilice todos los decimales que muestra la calculadora.

    Rúbrica: literal a (5 puntos), planteamiento del método (5 puntos). iteraciones (15 puntos), cálculo de errores (5 puntos)

    Referencia: NASA: Cinco asteroides se aproximan a la Tierra; los dos primeros este fin de semana. 11 de Julio, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/07/11/nota/7901811/nasa-asteroides-planeta-tierra

    Un asteroide recién descubierto pasará este jueves muy cerca de la Tierra. 23 de septiembre, 2020. https://www.eluniverso.com/noticias/2020/09/23/nota/7987777/asteroide-recien-descubierto-pasara-este-jueves-muy-cerca-tierra

  • 3Eva_2020PAOI_T3 EDP Parabólica

    3ra Evaluación 2020-2021 PAO I. 22/Septiembre/2020

    Tema 3. (35 puntos) Desarrolle con el método implícito para aproximar la solución de la EDP Parabólica

    \frac{\partial u}{\partial t} - c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = g(x)
    u(x,0) = f(x) u(0,t) = 0 u(1,t) = 0
    f(x) = \begin{cases} 5x , & 0 \le x \le 0.5 \\ 5(1-x) , & 0.5 \lt x \le 1\end{cases} g(x) = 2 , 0 \le x \le 1

    Considere para h=0.25, k=0.05, c=1

    a. Grafique la malla
    b. Escriba las ecuaciones para las derivadas
    c. Plantee las ecuaciones
    d. Resuelva para tres pasos
    e. Estime el error (solo plantear)

    Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5puntos), literal c (10 puntos), literal d (10 puntos), literal e (5 puntos)

  • 3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

    3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

    Tema 4. (25 puntos) Una función f(x) en el intervalo [0,1] está definida por el trazador cúbico natural S(x):

    S_0(x) = 1 + 1.1186x + 0.6938 x^3

     0.0 ≤ x ≤ 0.4

    S_1(x) = 1.4918 + 1.4516(x-0.4) + c(x-0.4)^2 +d(x-0.4)^3

    0.4 ≤ x ≤ 0.6

    S_2(x) = 1.8221 + 1.8848(x-0.6) + +1.3336(x-0.6)^2 - 1.1113(x-0.6)^3

    0.6 ≤ x ≤ 1.0

    Sin embargo, el papel donde se registraron los polinomios sufrió un percance que no permite leer algunos valores para S1(x).

    a) Realice las operaciones necesarias para encontrar os valores: c, d
    b) Use el método de Newton para resolver la ecuación S(x) = 1.6

    Rúbrica: plantear las condiciones(10 puntos), resolver el sistema (5 puntos), literal b (10 puntos)

  • 3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

    3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

    Tema 3. (25 puntos) Para valorar la preparación de terreno en una planta procesadora de Refinería, se requiere estimar el volumen de remoción.

    preparación de terreno

    Para una sección rectangular, se dispone de las alturas sobre el nivel del mar del terreno en una cuadrícula antes de los trabajos, siendo el nivel requerido de 220 m en toda el área.

    Nivel inicio (m) 0 50 100 150 200
    0 241 239 238 236 234
    25 241 239 237 235 233
    50 241 239 236 234 231
    75 242 239 236 232 229
    100 243 239 235 231 227

    Usando los métodos de integración numérica determine el volumen de material para ésta actividad.

    a) Determine el volumen de remoción

    b) Exprese y determine el error de aproximación para el volumen

    Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

    Referencias: Liquidar Refinería del Pacífico tardaría años. 27 de enero, 2020. www.eluniverso.com.
    https://www.eluniverso.com/noticias/2020/01/27/nota/7710855/refineria-pacifico-liquidacion-rafael-correa-activos-ministerio
    Inicia liquidación de la Refinería del Pacífico. 16-03-2019. vistazo.com.
    https://www.vistazo.com/seccion/politica-nacional/inicia-liquidacion-de-la-refineria-del-pacifico

    # INGRESO
nInicio = np.array([[241, 239, 238, 236, 234],
                    [241, 239, 237, 235, 233],
                    [241, 239, 236, 234, 231],
                    [242, 239, 236, 232, 229],
                    [243, 239, 235, 231, 227]])

nRequerido = 220

xi = np.array([0,50,100,150,200])
yi = np.array([0,25,50,75,100])

hx = 50
hy = 25

  • 3Eva_IIT2019_T2 Diferenciación, valor en frontera

    3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

    Tema 2. (25 Puntos)) Aproxime la solución del problema de valor de frontera para la ecuación mostrada, usando diferenciación numérica con h = 1/4

    y'' = -(x+1)y' + 2y + (1-x^2) e^{-x}

    0 ≤ x ≤ 1
    y(0) = -1
    y(1) = 0

    a) Plantee las derivadas en diferencias divididas
    b) Formule y simplifique la ecuación de diferencias divididas para el problema para cada punto interno de la tabla
    c) Presente la forma matricial del sistema de ecuaciones
    d) Encuentre los valores intermedios de y(xi) en la tabla, i = 1, 2, 3
    e) Estime el error

    i 0 1 2 3 4
    xi 0 1/4 1/2 3/4 1
    yi -1 0

    Rúbrica: Plantear las derivadas (5 puntos), plantear la ecuación en forma discreta (5 puntos), matriz del sistema de ecuaciones (5 puntos), estimar el error (5 puntos)

  • 3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

    3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

    Tema 1. (25 Puntos) Apollo 8 Lazamiento 01
    En el lanzamiento de un cohete se midieron las alturas alcanzadas a intervalos regulares de tiempo, mostradas en la siguiente tabla:

    t s 0 25 50 75 100 125
    y(t) Km 0 32 58 78 92 100

    Usando tres puntos, se requiere obtener el polinomio de grado 2 que describe la función de altura y(t) a partir de los datos obtenidos, usando interpolación

    a) Realice la tabla de diferencias finitas
    b) Plantee el polinomio de interpolación con diferencias finitas avanzadas
    c) A partir del polinomio obtenido, escriba las funciones de velocidad y’(t)
    y aceleración y’’(t) en cada punto de la tabla

    Rúbrica: literal a (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c (15 puntos)

    ti = [ 0, 25, 50, 75, 100, 125]
yi = [ 0, 32, 58, 78,  92, 100]

    Referencias: Batalla por la luna, el programa Apolo. History Latinoamérica

  • 2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

    2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

    Tema 3. (25 Puntos) Considere la función f con regla de correspondencia:

    f(x) = x ln(x)

    Se desea aproximar el valor del integral I en el intervalo [1,4]

    I = \int_a^b f(x) dx

    a) Use el método de Cuadratura de Gauss con 2 términos para aproximar el valor de I en el intervalo [1,4]

    Usando el método compuesto de Simpson:

    I = I_s - \frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)} (\xi) ; \xi \in[a,b]

    Donde Is es el valor aproximado de I y h la longitud de cada intervalo.

    b) Determine el mínimo número de subintervalos que permita alcanzar una tolerancia de 0.0001. NO considere errores de redondeo.

    Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (15 puntos)

  • 2Eva_IIT2019_T3 EDP elíptica, placa en (1,1)

    2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

    Tema 3. (30 Puntos) Para la ecuación diferencial parcial elíptica mostrada:

    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

    1 <  x < 2
    1 <  y < 2

    Y con las siguientes condicines de frontera:

    u(x,1)= x \ln (x), u(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2 u(1,y)= y \ln(y), u(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt y \lt 2

    Considere los valores hx=hy=0.25

    Realice la aproximación numérica para la solución.

    Para resolver el sistema de ecuaciones utilice el método de Gauss-Seidel para dos iteraciones.

    Rúbrica: Plantear la malla (5 puntos), calcular los bordes (3 puntos), plantear las segundas derivadas (7 puntos), plantear las ecuaciones  (10 puntos), aproximar la solución  (5 puntos)

  • 2Eva_IIT2019_T2 EDO, problema de valor inicial

    2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

    Tema 2. (25 Puntos) Considere el problema de valor inicial:

    y'(t) = f(t,y) = \frac{y}{2t^3}

    0 ≤ t ≤ 1
    y(0.5) = 1.5

    a) Escriba la ecuación recursiva que permite aplicar el método de Taylor de orden de error p=2

    b) Aproxime el valor de la solución para t= 0.6, 0.7, 0.8 usando el método de Runge-Kutta de orden 2.

    Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b, tres iteraciones (15 puntos)