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Categoría: Evaluaciones

Ejercicios de examen

  • 1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipoteca

    1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

    Tema 4. Para pagar una hipoteca de una casa durante n periodos de tiempo se usa la fórmula:

    P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big)

    En ésta ecuación, P es el valor presente de la casa, A es el valor del pago periódico de la deuda durante n periodos y la tasa de interés por periodo es i.

    casa juguete imagen

    Suponga que la casa tiene un valor presente de 70000 dólares y deberá ser pagada mediante 1200 dólares mensuales por 25 años (300 meses).

    a) Plantee la ecuación

    b) Encuentre un intervalo para i donde haya un cambio de signo en la función

    c) Aplique el método de Newton

  • 1Eva_IIT2018_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones

    1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

    Tema 3. Encuentre el polinomio:

    p_2(x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2

    tal que se ajuste a tres puntos de y(x) para x = 1.0, 1.5 y 2.1 de la tabla presentada.

    x 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1
    y(x) 1.84 1.90 2.10 2.28 2.91 3.28

    Resuelva planteando el sistema de ecuaciones para generar el polinomio de interpolación.

    a) Plantee el sistema Ax=B resultante con las variables b0, b1, b2

    b) Calcule ||Tj||∞  y comente

    c) Encuentre el número de condición K(A) =||A||∞||A-1||∞  y comente

    d) Resuelva el sistema de ecuaciones con el método de eliminación de Gauss

    xi = [1.0,  1.1,  1.3,  1.5,  1.9,  2.1 ]
yi = [1.84, 1.90, 2.10, 2.28, 2.91, 3.28]
cuales = [0, 3, 5]

  • 1Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un punto

    1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

    Tema 2. Aproxime con un grado de exactitud de 0.0001 el valor de x que en la gráfica de y=ex está más cerca al punto P(1,1).

    a) Plantear la ecuación

    b) Hallar un intervalo de existencia y de convergencia

    distancia mínima de trayectoria a un punto

    Referencias: 

    Gigante asteroide con su propia Luna pasará en cercanías de la Tierra . https://www.eluniverso.com/noticias/2019/05/23/nota/7344362/gigante-asteroide-su-propia-luna-pasara-cercanias-tierra

     Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra

     

    Cometa Trayectoria 01

    Referencia: https://spaceplace.nasa.gov/comet-quest/sp/

  • 1Eva_IIT2018_T1 Interpolar velocidad del paracaidista

    1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

    Tema 1. Un paracaidista con masa de 75 Kg salta de un globo aerostático fijo.
    https://www.dreamstime.com/stock-photo-skydiving-formation-group-people-image62015024

    La velocidad del paracaidista se registra como se indica en la tabla.

    a) Construya un polinomio P2(t) para 0 ≤ t ≤ 8

    b) Mediante integración encuentre la distancia recorrida en el tiempo de 0 a 8 segundos.

    t [s] 0 2 4 6 8
    v(t) [m/s] 0.0 16.40 27.77 35.64 41.10 
    t = [0.0, 2, 4, 6, 8]
v = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]

  • 3Eva_IT2018_T3 EDP Parabólica, temperatura en varilla

    3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

    Tema 3. (30 puntos) La temperatura u(x,t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de calor. Si se genera calor en el material (por ejemplo, debido a la resistencia de la corriente), la ecuación se convierte en:

    \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} + \frac{Kr}{\rho C} = K\frac{\partial u}{\partial t} 0 \lt x \lt L, 0 \lt t
    Donde: Suponga que:
    L es la longitud, L =  1.5 cm
    ρ es la densidad, ρ = 10.6 g/cm3
    C es el calor específico C = 0.056 cal/g deg
    K es la difusividad térmica de la varilla K = 1.04 cal/cm deg s
    La función r = r(x,t,u) representa el calor generado por unidad de volumen. r(x,t,u) = 5 cal/g deg

    Si los extremos de la varilla se mantienen a 0°C, entonces

    u(0,t) = u(L,t) = 0, t>0

    Suponga que la distribución inicial de la temperatura está dada por:

    u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi x}{L} \Big), 0 \le x \le L

    Aproxime la distribución de la temperatura con h=0.25, k=0.025 para t=3k

    Referencia: Burden 9ed Chapter 12 exercise 18 p738

  • 3Eva_IT2018_T2 Drenaje de estanque

    3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

    Tema 2. (40 puntos) Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura.

    Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:

    \frac{dh}{dt} = -\frac{\pi d^2}{4A(h)}\sqrt{2g(h+e)}

     represa y drenaje
    Donde:
    h = profundidad (m),
    t = tiempo (s),
    d = diámetro del tubo (m),
    A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2),
    g = constante gravitacional (9,81 m/s2) y
    e es la profundidad de salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m).

    Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vacie, dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 0.3 m.

    h 6 5 4 3 2 1 0
    A(h) 1.17 0.97 0.67 0.45 0.32 0.18 0.02

    a) Con las profundidades 0, 2, 4, 6, encuentre un modelo de trazador cúbico natural para modelar el área A(h) y calcule el error en h = 5 m

    b) Use el método de Taylor de segundo orden con dt=1 s para aproximar el tiempo en que la profundidad es 3 m.

    Rúbrica: literal a (20 puntos), literal b (20 puntos)

    hi = np.array([6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
Ai = np.array([1.17, 0.97, 0.67, 0.45, 0.32, 0.18, 0.02])

    Referencia: Chapra Ejercicio 28.24 p849, pdf873

    Video: La ambiciosa Represa Hoover - INEXPLICABLE. History Latinoamérica.

  • 3Eva_IT2018_T1 Intersección de dos círculos

    3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

    Tema 1. (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:

    (x-4)^2 + (y-4)^2 = 5 x^2 + y^2 = 16

    a) Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales.

    b) Encuentre aproximaciones refinadas con el Método de Newton-Raphson

    Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b  (20 puntos)

    intersecta Circulos 01

    Referencia: Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra

    Intersecta Circulos 02
    Europa Press 28 de agosto, 2018 - 11h51

  • 2Eva_IT2018_T4 Dragado acceso marítimo

    2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

    Tema 4. (30 puntos) Para una sección de 500 m del acceso marítimo a los puertos de Guayaquil se requiere de un canal con:

    • profundidad mínima de 11 metros MLWS
    • ancho de 250 m

    de tal forma que permita navegar buques de carga de mayor tamaño.

    canal rio dragar 01

    Dispone de las mediciones de profundidad mostradas en la tabla de batimetría:

    Batimetría
    yi \ xi 0 50 100 150 200 250
    0 -6.79 -12.03 -10.04 -11.60 -7.24 -7.91
    100 -8.85 -10.89 -8.95 -7.23 -11.42 -7.93
    200 -11.90 -9.86 -9.35 -12.05 -9.38 -9.65
    300 -7.30 -11.55 -10.41 -8.67 -11.84 -6.77
    400 -12.17 -9.62 -7.47 -6.51 -9.02 -9.60
    500 -11.90 -10.23 -10.68 -9.94 -6.76 -7.46

    a) Obtenga la tabla de dragado como la diferencia entre la profundidad del canal requerido y la tabla de batimetría.

    b) Estime el volumen de sedimentos a remover por la draga usando integración por el método de Simpson.

    Nota: Si el fondo está más allá de los 11 metros, no se requiere la intervención de la draga.

    Rúbrica: literal a (5 puntos), selección apropiada del método por intervalo y aplicación en un eje (15 puntos), integración en el otro eje (5 puntos), presentar las iteraciones correctamente (5 puntos)

    profcanal = 11

xi = [ 0.,  50, 100, 150, 200, 250]
yi = [ 0., 100, 200, 300, 400, 500]

batimetria = [[ -6.79,-12.03,-10.04,-11.60, -7.24,-7.91],
              [ -8.85,-10.89, -8.95, -7.23,-11.42,-7.93],
              [-11.90, -9.86, -9.35,-12.05, -9.38,-9.65],
              [ -7.30,-11.55,-10.41, -8.67,-11.84,-6.77],
              [-12.17, -9.62, -7.47, -6.51, -9.02,-9.60],
              [-11.90,-10.23,-10.68, -9.94, -6.76,-7.46]]

    MLWS: Nivel Medio de las Bajamares de Sicigia / nivel de referencia.
    Batimetría: es el levantamiento del relieve de Superficies Subacuáticas

    Referencias: El dragado del canal a los puertos de Guayaquil se anunciará el 26 de marzo del 2018. El comercio. 21/03/2018. https://www.elcomercio.com/actualidad/dragado-canal-puertos-guayaquil-jaimenebot.html.
    Calado de puertos. El universo. 2013.08.16 https://www.eluniverso.com/noticias/2013/08/16/nota/1294716/calado-puertos-region-llega-138-m,

    Operación Draga, Spud Carriage Animation. Ellicott Dredges. Nov 14,2012.

  • 2Eva_IT2018_T3 EDP Eliptica

    2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

    Tema 3. (25 puntos) Considere el problema con valores en la frontera:

    \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 2(x^2+y^2) 0<x<1 0<y<1

    con las condiciones de frontera en los mismos intervalos que la ecuacion diferencial:

    u(x,0) = x + 1 u(0,y) = y+1 u(x,1) = x^2 + x +2 u(1,y) = y^2 + y +2

    Use el método de diferencias finitas para resolver el problema tomando como tamaño de paso hx = hy = 1/3

    Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas, gráfica del problema (5 puntos), ecuación generalizada con diferencias finitas divididas (5 puntos), Sistema de ecuaciones para los puntos desconocidos (10 puntos). Valores de los puntos desconocidos (5 puntos)

     

  • 2Eva_IT2018_T2 Deducir Simpson 1/3

    2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

    Tema 2. (20 puntos) Deduzca el método de Simpson 1/3

    Sugerencias: Una de las formas de plantear la deducción es usando un polinomio de Lagrange con grado 2 para aproximar la función que pasa por los puntos [a,f(a)], [b,f(b)] y [c,f(c)].

    Considere que los tramos tienen h tienen tamaño (b-a)/2, (c-a), (b-c)

    Plantee la ecuación y sustituya los valores de los tramos por valores de h para resolver todo en función de h.

    regla Simpson 1/3

    Rúbrica: Planteo del problema con polinomio (5 puntos), desarrollo del problema con integral (5 puntos c/u).