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Categoría: Evaluaciones

Ejercicios de examen

  • 2Eva_IT2018_T1 EDO Paracaidista wingsuit

    2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

    Tema 1. (25 puntos) Si suponemos que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial ordinaria:

    \frac{dv}{dt} = g - \frac{cd}{m} v^2

    Donde:  http://www.elperiodicodearagon.com/noticias/sociedad/alarma-francia-cinco-muertes-verano-moda-hombres-pajaro-wingsuit_877164.html

    • v es la velocidad en m/s
    • cd es el coeficiente de arrastre de segundo orden Kg/m
    • m es la masa en Kg
    • v = \frac{dy}{dt}
    • y es la distancia que recorre en m

    Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 Kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m.

    Si la velocidad inicial es 0 y la altura inicial es 1 Km, determine la velocidad y posición en cada tiempo, usando un tamaño de paso de 2s.

    a) Plantee la solución de las ecuaciones para la velocidad y distancia usando el método de Runge-Kutta de segundo orden

    b) Realice tres iteraciones

    Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

    Referencia: [1] Chapra Ejercicio 25.23 p265
    [2] Alarma en Francia ... por moda wingsuit. 23 Agosto 2013. www.elperiodicodearagon.com.  http://www.elperiodicodearagon.com/noticias/sociedad/alarma-francia-cinco-muertes-verano-moda-hombres-pajaro-wingsuit_877164.html
    [3] Falling Away - Epic Wingsuit Compilation (HD). LeBreton. 7-Julio-2018

  • 1Eva_IT2018_T2 Teorema Punto Fijo

    1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

    Tema 2. (25 puntos) Sea g:[a,b] → R una función continua tal que g(x) ∈ [a,b] para toda x ∈ [a,b] .
    Suponga además que g es una función contractiva en [a,b] esto es
    \forall x,y \in [a,b]: |g(x)-g(y)| \lt |x-y|

    Demuestre o refute las siguientes afirmaciones:

    a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]

    b) g tiene un punto fijo único en [a,b]

    Rúbrica:
    Literal a. Construye la función f(x)=x-g(x)=0 , verifica el cambio de signo de f(x) en los extremos del intervalo y concluye que p =g(p) (hasta 15 puntos),
    literal b. Supone dos puntos fijos, calcula | p-q |, utiliza la propiedad contractiva y concluye que se produce una contradicción (hasta 10 puntos)

  • 1Eva_IT2018_T1 Tanque esférico canchas deportivas

    1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

    Tema 1. (25 puntos) Suponga que se está diseñando un tanque esférico para almacenamiento de agua para las canchas de la ESPOL.  tanque esferico llenado altura h

    El volumen del líquido se calcula con:

    V = \frac{\pi h^{2} (3R-h)}{3}

    donde
    V: volumen,
    h: profundidad en el tanque,
    R: radio.

    Si R=3 m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque tal que contenga 30 m3?

    a) Seleccione un valor inicial adecuado y

    b) Realice las iteraciones con el método de Newton-Raphson y una tolerancia de 10-6.

    c) Con los errores en las iteraciones verifique el orden de convergencia

    Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos)

    Referencia: Ejercicio 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.

  • 1Eva_IT2018_T3 Temperatura en nodos de placa

    1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

    Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo. nodos en una placa rectangular, metodo iterativo

    Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,

    a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.

    b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia

    c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.

    d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo

    Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).

    Referencia: Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.

  • 1Eva_IT2018_T4 El gol imposible

    1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/Junio/2018. MATG1013

    Tema 4. “El gol que desafió a la física”. El 3 de junio de 1997, durante el partido de Brasil vs Francia, el brasileño Roberto Carlos ubicó la pelota a 35 metros del arco del Francés Fabien Barthez para rematar un tiro libre. Retrocedió 18 pasos, y luego sacó un zurdazo brutal, mágico, irreal, de ficción, para vencer en un segundo y fracción el arco del portero que al año siguiente se coronaría campeón del mundo.

    Gol Imposible 01

    Se obtuvieron los siguientes datos de videos y fotografías del suceso.

    t 0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.05 1.20
    x(t) 0.00 0.50 1.00 1.50 1.80 2.00 1.90 1.10 0.30
    y(t) 0.00 4.44 8.88 13.31 17.75 22.19 26.63 31.06 35.50
    z(t) 0.00 0.81 1.40 1.77 1.91 1.84 1.55 1.03 0.30

    Para el estudio de la trayectoria del balón se requieren las funciones que la describen en los ejes cartesianos.

    a) Use interpolación con t = 0, 0.3, 0.6, 0.9 aproximar la trayectoria z(t) y encuentre t donde la altura es máxima.

    b) Determine la altura ‘z’ del balón cuando cruzó la barrera. La barrera se ubica a y = 9 m de la posición inicial del balón.

    c) Determine la desviación máxima (dx/dt=0) que hace que el gol sea considerado como “un desafío a la física”.

    Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (7 puntos), literal c (8 puntos)

    Referencias: La ciencia del Gol (1'49" a 2'50") video de Discovery Channel, .
    El gol 'imposible' de Roberto Carlos a Francia cumple 20 años. El Comercio, Perú. 03.06.2017.
    Científicos explican gol de tiro libre de Roberto Carlos. ElUniverso.com 3 de septiembre, 2010.

    ti = [0.00, 0.15, 0.30, 0.45, 0.60, 0.75, 0.90, 1.05, 1.20]
xi = [0.00, 0.50, 1.00, 1.50, 1.80, 2.00, 1.90, 1.10, 0.30]
yi = [0.00, 4.44, 8.88,13.31,17.75,22.19,26.63,31.06,35.50]
zi = [0.00, 0.81, 1.40, 1.77, 1.91, 1.84, 1.55, 1.03, 0.30]

  • 3Eva_IIT2017_T4 EDO con valor inicial Taylor 2do Orden

    3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

    Tema 4. Use el método de Taylor de orden 2 para aproximar la solución de EDO con valor inicial

    y'= -ty + \frac{4t}{y} 0 \leq t \leq 1 y(0) = 1, h = 0.2

    a. Plantear el ejercicio

    b. Desarrolle 3 iteraciones o pasos,

    c. Estime el error para las iteraciones

  • 3Eva_IIT2017_T3 EDP Elíptica, placa rectangular

    3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

    Tema 3. Aproxime la solución de la siguiente EDP elíptica.

    \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy} 0 \lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1

    con condiciones de frontera

    u(0,y) = 1 , u(2,y) = e^{2y}, 0 \leq y \leq 1 u(x,0) = 1, u(x,1) = e^x , 0 \leq x \leq 2

    a) use tamaños de paso h = 2/3 y k = 1/3

    b) compare con la solución u(x,y) = exy en forma gráfica

  • 3Eva_IIT2017_T2 Carrera de caballos - interpolar

    3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

    Tema 2. El caballo llamado Thunder Gulch ganó el derby de Kentucky de 1995, con un tiempo de 2 min 1 \frac{1}{5} s en la carrera de 1 \frac{1}{4} millas. caballo carreras 01

    Los tiempos en los postes que marcan el cuarto de milla, la mitad de la milla y la milla fueron respectivamente 22 \frac{2}{5} s, 45 \frac{4}{5} s, 1 min con 1 \frac{1}{5} s.

    a) Use los valores anteriores junto con el tiempo de arranque y construya un trazador cúbico natural.

    b) Use el trazador para predecir el tiempo en el poste de tres cuartos de milla y compare el resultado con el tiempo real de 1 min con 10 \frac{1}{5} s.

    c) Usando el trazador y las fórmulas de diferencias finitas, aproxime la velocidad y la aceleración del caballo en todos los postes.

    Nota: Obseve que las medidas se encuentran en fracciones de unidad.

  • 3Eva_IIT2017_T1 Punto fijo

    3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

    Tema 1. Sea g: [a,b] →ℜe (reales) una función diferenciable tal que g(x) ∈ [a,b], para toda x ∈ [a,b]. Demuestre o refute las siguientes afirmaciones.

    a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]

    b) g tiene un punto fijo único en [a,b]

  • 2Eva_IIT2017_T4 EDO valor en frontera

    2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

    Tema 4. Use el algoritmo lineal de diferencias finitas para aproximar la solución del problema con valor en las fronteras

    \frac{d^2T}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dT}{dx} +S =0 0 \leq x \leq 1

    con condiciones de frontera

    T(x=0) =2, T(x=1) = 1

    a) Plantee las ecuaciones con h = 0.25

    b) Plantee el error para Ti

    c) Realice los cálculos con S=1