Ejercicios de examen
Tema 3. Aproxime la solución de la sigiente EDP parcial usando diferencias regresivas
\frac{\partial U}{ \partial t} - \frac{1}{16} \frac{\partial ^2U}{\partial x^2} = 0 0 \lt x \lt 1 , 0\lt t U(0,t) = U(1,t) = 0, 0\lt t, U(x,0) = 2 \sin (\pi x), 0\leq x \leq 1a) Plantee las ecuaciones usando hx = 1/3, ht = 0.05, T = 2
b) Calcule U(xi,tj)
c) Plantee el error de U(xi,tj)
Tema 2. Se tienen las coordenadas (x,y) y las alturas f(x,y) de una isla sobre el nivel del mar obtenidas por internet como se ilustra en la tabla.
El nodo que está en el agua tiene altura cero.
| x0 = 0 | x1 = 100 | x2 = 200 | x3 = 300 | x4 = 400 | |
|---|---|---|---|---|---|
| y0 = 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| y1 = 50 | 1 | 3 | 1 | 1 | 0 |
| y2 = 100 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 |
| y3 = 150 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Las unidades de los ejes se encuentran en metros.
a) Plantee el volumen de la isla como una integral doble en una región rectangular,
b) Usando los métodos de Simpson, plantee la formulación para aproximar el volumen,
c) Aproxime el volumen de la isla
d) Estime el error
isla = [[0,1,0,0,0],
[1,3,1,1,0],
[5,4,3,2,0],
[0,0,1,1,0]]
xi = [0,100,200,300,400]
yi = [0, 50,100,150])
Tema 1. Use el método de Runge Kutta de 2do orden (Euler Mejorado) para sistemas de ecuaciones y aproxime la solución de la EDO de orden superior
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin (\theta) = 0 \theta (0) = \frac{\pi}{6}, \theta '(0) =0Suponga que g=9.8 y L=2
a) Plantee la formulación para 0 ≤t≤2, h=0.1
b) Calcule el ángulo para t=1, usando h=0.25
c) Estime el error (solo la fórmula del error para Euler Mejorado)
Tema 4. Aproxime la solución de la EDP elíptica:
\frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}1 < x < 2
1 < y < 2
use h = k = 0.5
Tema 3. El área de la sección transversal As (m2) de un lago, a cierta profundidad, se calcula a partir del volumen utilizando la diferenciación:
A_s(Z) = -\frac{\delta V}{\delta z} (Z)Donde V = volumen (m3) y z = profundidad (m), se mide a partir de la superficie en dirección del fondo.
La concentración promedio de una sustancia que varía con la profundidad \overline{c} (g/m3) se obtiene por integración:
\overline{c} = \frac{\int_0^{Z_t} c(Z) A_s(Z) \delta Z}{\int_0^{Z_t}A_s(z) \delta Z}Donde Zt es la profundidad total (m).
Determine la concentración promedio con base en los siguientes datos:
| z (m) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 |
| V (106 m3) | 9.82 | 5.11 | 1.96 | 0.393 | 0.000 |
| c (g/m3) | 10.2 | 8.5 | 7.4 | 5.2 | 4.1 |
zi = [0. , 4 , 8 , 12 , 16] vi = [9.82, 5.11, 1.96, 0.393, 0.] ci = [10.2, 8.5 , 7.4 , 5.2 , 4.1]
Tema 2. Use un método de Runge Kutta para sistemas y aproxime la solución de la siguiente EDO de orden superior
y'''+ 2y'' - y'- 2y = e^t0 ≤ t ≤ 1
y(0) = 1
y'(0) = 0
y''(0) = 0
con h = 0.25
Tema 1. La razón de crecimiento específico g de una levadura que produce un antibiótico es una función de la concentración del alimento c,
g = \frac{2c}{4+0.8c + c^2 +0.2 c^3}
Como se ilustra en la figura, el crecimiento parte de cero a muy bajas concentraciones debido a la limitación de alimento.
También parte de cero en altas concentraciones debido a los efectos de toxicidad.
a) Encuentre el valor de c para el cual el crecimiento es un máximo.
b) Evalúe la función g del problema 1 para c=0,1,2,3, y encuentre el trazador cúbico natural para aproximar el máximo de g, encuentre el error.
Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{1}{\pi ^2} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} =00 ≤ x ≤ 1, t>0
condiciones de borde: u(0,t) = u(1,t) = 0, t>0,
condiciones iniciales u(x,0) = cos(π(x-0.5)), 0 ≤ x ≤ 1
a) Use dx = 0.2 y dt = 0.01. Realize 3 pasos en el tiempo.
b) Estime el error.
c) Calcule la temperatura promedio para t=0 como el área bajo la curva, mediante el método de Simpson. Repita para t=0.01 y calcule el porcentaje que disminuye.
Rúbrica: Construir la malla hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i,j hasta 5 puntos, calcular el estimado de u(i,j) hasta la tercera fila hasta 5 puntos, calcular la temperatura media estimada hasta 5 puntos.
Tema 2. (40 puntos)
a) Usando un polinomio de grado dos obtenga una fórmula central para la primera derivada y otra para la segunda derivada (la tabla tiene al menos 3 nodos, xi-1, xi, xi+1 )
b) Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución al siguiente problema con valor de frontera:
y'' = -3y'+2y+2x+30 ≤ x ≤ 1
y(0) = 2
y(1) = 1
use h = 0.25
c) Estime el error
Rúbrica: Plantear un polinomio hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la primera derivada hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la segunda derivada hasta 5 puntos, plantear el error en las fórmulas hasta 5 puntos. Indicar los nodos en el intervalo hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i hasta 5 puntos, resolver el sistema hasta 5 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.
Tema 1. (30 puntos) El movimiento de un sistema acoplado masa-resorte está descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:
Donde:
x = el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m),
t = tiempo (s),
m = 20 kg masa,
c = 5 (N s/m) coeficiente de amortiguamiento (sub_amortiguado) y
k = 20 (N/m) constante del resorte
La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es 1 m.
a) Resuelva esta ecuación con un método numérico para 0<= t <= 15 s, (solo planteo)
b) Realice 3 iteraciones con h=0.1 s
c) Estime el error acumulado en la tercera iteración.
Rúbrica: Plantear el sistema 5 hasta puntos, Plantear el modelo del método numérico hasta 10 puntos, Realizar 3 iteraciones hasta 10 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.