Ejercicios de examen
Tema 2. Use cuadratura de Gauss de 2 términos tanto para el sentido en x como en y para aproximar la integral
I= \int_0^1 \int_0^1 e^{x^2+y^2} \delta y \delta xa) Usando n=1 y m=1 (intervalos)
b) Usando n=2 y m=2 (intervalos)
Siendo n y m, el número de intervalos o tramos en el rango de cada eje.
Tema 1. El problema con valor de frontera
y'' = y'+ 2y+ cos(x)0 ≤ x ≤ π/2
y(0) = -0.3
y(π/2) = -0.1
a) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/4 y estime el error.
b) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/8 y estime el error.
Tema 2. (30 puntos) La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión del mástil de un bote expuesto a la fuerza del viento:
\frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{f}{2EI} (L-x)^2Donde:
f = fuerza,
E = módulo de elasticidad,
L = longitud del mástil
I = momento de inercia.
Calcule la deflexión si y = 0 y \frac{\delta y}{\delta x} = 0 en x = 0.
Para sus cálculos considere f=60, L =30, E = 1.25x108 e I = 0.05.
a. Encuentre el sistema de ecuaciones diferenciales equivalente a dicha ecuación.
b. Aproxime usando Runge-Kutta 4to orden, para n=30 sub-intervalos. (solo expresado)
c. Aproxime considerando h=2 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden.
Referencias: Chapra 24.2 p284 pdf121
Tema 3. La ecuación de advección-difusión se utiliza para calcular la distribución de la concentración que hay en el lado largo de un reactor químico rectangular,
\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2c}{\partial x^2} - U\frac{\partial c}{\partial x} - kcDonde:
c=concentración (mh/m3),
t= tiempo (min),
D=coeficiente de difusión (m2/min),
x= distancia a lo largo del eje longitudinal del tanque (m),
donde x=0 en la entrada del tanque,
U =velocidad en la dirección de x (m/min) y
k = tasa de reacción (1/min) con la que el producto químico se convierte en otro.
Desarrolle un esquema explícito para resolver esta ecuación en forma numérica. Pruébela para k=0.15, D=100 y U=1, para un tanque con una longitud de 10 m. Use Δx=1 m, y un Δt=0.005.
Suponga la concentración del flujo de entrada es de 100 y la concentración inicial en el tanque es de cero.
Realice la simulación de t=0 a 100 y grafique las concentraciones en cada tiempo versus x. (Solo dos iteraciones)
Tema 2. Sea P(t) el número de individuos de una población en el tiempo t, medido en años. 
Si la tasa de natalidad promedio b es constante y la tasa de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la sobrepoblación), entonces la tasa de crecimiento demográfico estará dada por la ecuación logística
\frac{\delta P(t)}{\delta t} = b P(t) - k[P(t)]^2donde d = k P(t).
Suponga que P(0) = 50976, b = 2.9x10-2 y que k = 1.4x10-7.
Calcule la población después de 2 años, use h = 0.5 años y el método de Taylor de orden 2. Estime el error.
Referencias:
Tema 1. El área de la superficie descrita por z=f(x,y) para (x,y) en R está dada por
\int_R \int \sqrt{\big[f_x(x,y) \big]^2 + \big[f_y(x,y) \big]^2 +1} \text{ } \delta AAproxime el valor de la integral con el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones con n = m = 2, para el área de la superficie en el hemisferio
x2 + y2 + z2 = 9,
z ≥ 0
que se encuentra arriba de la región R en el plano descrito por
R={(x,y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Tema 3. En un tubo de órgano musical, la presión del aire p(x,t) se rige por la ecuación de onda 
Donde L es la longitud del tubo y c es una constante física.
Si el tubo se encuentra abierto, las condiciones de frontera estarán dadas por:
p(0,t) = p0
p(L,t) = p0
Si el tubo está cerrado en el extremo donde x=L, las condiciones de frontera serán:
p(0,t) = p0
\frac{\partial p(l,t)}{\partial x} = 0
Suponga que c=1, L=1 y que las condiciones iniciales son
p(x,0) = p0 cos(2πx)
\frac{\partial p(x,0)}{\partial t} = 0
0 \leq x \leq L
a. Aproxime la presión de un tubo abierto usando las diferencias finitas con p0 = 0.9 en x = 1/2 para t = 0.5 y t = 1,
b. Modifique el procedimiento del literal a para el problema del tubo de órgano cerrado con p0 = 0.9 y luego aproxime p(0.5 , 0.5) y p(0.5 , 1) usando h = 0.1 y k = 0.1
Tema 2. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (ver figura) está dada por
EI \frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{wLx}{2} - \frac{wx^2}{2}
Donde E = módulo de elasticidad, I = momento de inercia
Resuelva para la deflexión de la viga con el método de disparo con Runge-Kutta de 2do orden y (Δx = 2.5 ft).
Aplique los siguientes valores de parámetros:
E = 30.000 ksi
I = 800 in4
w = 1 kip/in
L = 10 ft.
Referencia: Chapra 5Ed Cap28 Ejercicio 28.23 p849 pdf873.
Tema 1. El coeficiente de Gini(1) se calcula como una proporción de las áreas en el diagrama de la curva de Lorenz. 
Si el área entre la línea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz es a, y el área por debajo de la curva de Lorenz es b, entonces el coeficiente de Gini es a/(a+b).
X: Proporción acumulada de la Población,
Y: Proporción acumulada de los Ingresos
Los siguientes datos corresponden a los ingresos, anuales ordenados, de 10 personas representativas en una sociedad:
ingresos = [2500, 4500, 6000, 8000, 14000, 25000, 30000, 45000, 60000, 90000]
acumule los datos de menor a mayor y estime el coeficiente de Gini para dicha sociedad utilizando la técnica de integración de Simpson 1/3 y aproxime la cota del error.
Referencia: (1) «Gini coefficient». Publicado bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons - http: //commons.wikimedia.org/wiki/File:Gini_coefficient.svg#mediaviewer/File:Gini_coefficient.svg.
En documental, El coeficiente Gini, a partir del minuto 5:00, durante al menos 8:12
https://youtu.be/8sA7bRywTew?t=303
País de desigualdad (1/3) | DW Documental
Tema 4. Deducir el método de diferencias finitas para el problema de valor de frontera:
y''= p(x) y' + q(x) y + r(x) a\leq x \leq b y(a)= \alpha y(b)= \betaPara las derivadas, usar las fórmulas de diferencia centrada. Las funciones son continuas en [a,b].
