Ejercicios de examen
Tema 3. Deducir el método iterativo del punto medio para el problema de valor inicial:
\begin{cases} y'= f(t,y), a\leq t \leq b \\ y(a) = \alpha \end{cases}
a partir de y(ti+1) = y(ti) + h T(2) (ti, y(ti))
Donde h es el tamaño de paso.
Tema 2. Un sistema de compensación para un estudiante que hace una maestría o Doctorado en el extranjero utiliza un trazador cúbico natural para establecer el factor f(x) de ayuda de acuerdo con la siguiente tabla:
| x | 1.0 | 1.3 | 1.7 | 2.0 |
| f(x) | 2.0 | 2.3 | 3.3 | 3.5 |
x, nivel de vida del país; f(x), factor de ayuda
a. Encuentre el trazador cúbico natural (S''(1) = 0, S''(2) = 0).
b. Aproxime la integral de f(x) desde x=1, hasta x=2, empleando el resultado obtenido en el literal a.
xi = [ 1.0, 1.3, 1.7, 2.0] fi = [ 2.0, 2.3, 3.3, 3.5]
Tema 3. (30 puntos) Suponga un estanque de cierto tamaño con agua, la cual está siendo contaminada por una corriente que ingresa constantemente.
En la siguiente ecuación s representa la cantidad de contaminación en el tiempo t:
Con la condición inicial s(0) = 0, la cual significa que inicialmente el agua está limpia.
Determine la cantidad de contaminación s(t) para
t = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
usando la fórmula de Euler, es decir los dos primeros términos de la Serie de Taylor.
Tema 1. Dado el sistema de ecuaciones no lineales
3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 2x^2y- 1 = 0x∈R; y ≥ 1
a. Realice un bosquejo gráfico y especifique el número de soluciones del sistema.
b. Determine la ecuación en términos de una variable para resolver el sistema.
c. Justifique un intervalo donde se encuentre la solución de la ecuación planteada en literal b.
d. Aproxime la solución empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-6.
e. Escriba correctamente la solución hallada.
Tema 2. (30 puntos) Utilice los datos del tema anterior para encontrar el valor aproximado de la altura del cable teleférico cuando x = 0.4. Use el polinomio de diferencias finitas de grado 3 y estime el error en la interpolación.
Tema 1. (40 puntos)
La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:
x = [0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00] f(x) = [25.0, 22.0, 32.0, 51.0, 75.0]
Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:
L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta xa. Aproxime el valor de la derivada f'(x) en todos los puntos de la tabla con fórmulas de orden 2.
b. Aproxime el valor de la longitud del cable del teleférico entre 0 y 1 con la fórmula de Simpson
c. Aproxime el error de la longitud calculada.
Tema 3. (20 puntos) Aproxime la solución de la ecuación diferencial parcial:
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2) e^{xy} 0\lt x \lt 1, 0\lt y \lt 0.5Con las condiciones de frontera:
u(0,y) = 1, u(1,y) = e^y , 0 \leq y \leq 0.5 u(x,0) = 1, u(x,0.5) = \sqrt{e^x} , 0 \leq x \leq 1Usando un tamaño de paso hx = hy = 0.25
Tema 2. (20 puntos) El meteorólogo Edward Lorenz propuso inicialmente el siguiente sistema para predecir el comportamiento del clima:
\begin{cases} x'(t) = \alpha (y(t) - x(t)) \\ y'(t) = \rho x(t) - y(t) - x(t) z(t) \\ z'(t) = -\beta z(t) + x(t) y(t) \end{cases}Para su estudio eligió los parámetros α = 10, β = 8/3 , ρ=28 con las condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 7, z(0) = 7
Use el método de Runge-Kutta clásico de cuarto orden con h = 0.25 para calcular la solución cuando t=1
Referencia: Chapra 28.2 p833 pdf857
Tema 1. (20 puntos)
La trayectoria de un teleférico está definida por una curva que tiene los puntos (x, f(x)) segun la tabla que se muestra a continuación:
x = [ 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00] f(x) = [25.00, 22, 45, 62, 75 ]
Para calcular la longitud de dicha curva se debe usar la integral:
\int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \delta xa. Aproxime el valor de f'(x) pra cada uno de los valores de x de la tabla
b. Aproxime el valor de la longitud del cable usando el método de Simpson
Tema 3. (35 puntos) Dados los cinco puntos cuyas coordenadas son:
x = [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0 ] f(x) = [1.0, 1.3210, 1.8244, 2.5878, 3.7183]
Para evaluar la precisión de los métodos numéricos se desea calcular el valor de
A = \int_0^1 f(x) \delta xy estimar el error en el resultado
a. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.5
b. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.25
c. Haga una primera estimación del error comparando estos dos resultados
d. Con la fórmula del error de truncamiento, haga una nueva estimación del error aproximando el valor de la derivada con el valor tabulado de la diferencia finita respectiva.
e. Encuentre el error exacto en el resultado calculado de A comparando con el valor obtenido integrando la función de donde provienen los datos dados:
f(x) = xex + 1