Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Ejercicios de examen
Tema 1. Dada la integral
\int_0^1 \frac{a^x}{(x-1)^{2/5}} \delta xDetermine:
a. Si la integral converge, justifique adecuadamente
b. Su valor aproximado, en caso de que la integral converja, usando Simpson compuesta con n=4
Tema 4. Deducir el método de Taylor y luego con este método, para n=2, resolver la ecuación diferencial dada:
\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{y^3}{1-2xy^2} y(0) = 1, 0 \leq x \leq 1a. Determine T2(ti,wi)
b. Escribir tabla de resultados con h=0.2
Tema 3. Resolver la ecuación diferencial de valor inicial:
y'' +2y'+5y = 4 e^{-t} \cos (2t) 0\leq t \leq 1 y(0)=1, y'(0) = 0a. Escribir el sistema de ecuaciones equivalente
b. Presentar la tabla de resultados, con h = 0.2
Tema 2. Dada la función
f(x) = \begin{cases} \sin (x) , & 0\leq x \lt \frac{\pi}{2}\\ - \frac{2x}{\pi} +2, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}a. Graficar la función
b. Integrar numéricamente con la fórmula compuesta de Simpson, n=6
c. Determinar el error absoluto del valor determinado en el literal b.
Tema 1. Dados los valores de una función y sus derivadas en los extremos,
f(0)= 1.5
f(1/2) = 1.37758
f(1) = 1.0403
f'(0) = 0
f'(1) = – 0.84147
determinar el trazador cúbico sujeto y luego aproximar la función en los puntos x=0.2 y x=0.8
fxi = [[ 0, 1.5 ],
[1/2, 1.37758],
[ 1, 1.0403 ]]
Tema 4. Deducir el algoritmo de diferencia finita que aproxima la solución de la ecuación de onda dada:
\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} 0\lt x \lt l, t \gt 0 \begin{cases}u(0,t) = u(l,t) , & t\ge 0 \\u(x,0) = f(x) , & 0\leq x \leq l\\ \frac{\delta u (x,0)}{\delta t} = g(x) , & 0\leq x \leq l\end{cases}Donde las funciones f y g son del espacio C∞ [0,l], el mismo intervalo para las x.
Tema 3. Demostrar la fórmula de Simpson:
\int_{x_0}^{x_2} f(x)dx = \frac{h}{3} \Big[f x_0 + 4 f x_1 + f x_2 \Big] - \frac{h^5}{90} f^4 \xiDonde h es la distrancia entre los nodos y ξ ∈ x0,x2
Tema 2. Resolver el siguiente problema de valor inicial
(2y^2 + 4x^2)\delta x -xy \delta y =0 1\leq x \leq 2 y(1)=-2Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden:
a. Escriba el algoritmo para la función específica f(x,y)
b. Escriba la tabla de resultados para h=0.2
Tema 1. Un envase de lata con forma de cilindro circular recto, será construido para contener 1000 cm3. 
Las partes superior e inferior circulares del envase deben tener un radio de 0.25 mayor que el radio de éste, de manera que el excedente pueda usarse para formar un sello con el cuerpo principal.
La hoja de material con la que se forme dicho cuerpo, debe ser también de 0.25 cm más larga que la circunferencia del envase, de manera que se pueda formar un sello.
Encuentre con un error de 10-4 la cantidad mínima de material para construir dicha lata.
Referencias: 
Tema 4. (25 puntos) Enunciar el teorema de convergencia del método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX=B.
Exponer el método iterativo de Gauss-Seidel para sistemas ecuaciones lineales.
Construir un ejemplo de un sistema de 3×3, cuya diagonal principal sea estrictamente dominante y realizar cuatro iteraciones con el método de Gauss-Seidel, comenzando con el vector cero.