Evaluaciones – Página 25 – Métodos numéricos

2017-11-152023-02-04

1Eva_IT2015_T2 Salida cardiaca

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 2. (25 puntos) La salida cardiaca es el número de litros de sangre que el corazón bombea por minuto.

Para una persona en reposo, la tasa es de 5 a 6 litros por minuto.
Si se trata de un maratonista durante una carrera, la salida cardiaca puede ser tan elevada como 30 litros por minuto.

Se inyecta un colorante al torrente circulatorio de un paciente para medir su salida cardiaca, que es la tasa de flujo volumétrico de la sangre del ventrículo izquierdo del corazón.

Los datos siguientes muestran la respuesta de un individuo cuando se inyectan 5 mg de colorante en el sistema vascular.

Tiempo (s)	Concentración (mg/L)
2	0.0
6	1.5
9	3.2
12	4.1
15	3.4
18	2.0
20	1.0
24	0.0

a) Ajuste una curva polinómica de grado al menos 2.

b) Utilizando el polinomio anterior, interpole en todos los puntos de la tabla y estime el error

c) Utilice la función polinómica para aproximar la salida cardiaca del paciente mediante la fórmula:

\text{salida cardiaca} = \frac{\text{cantidad de colorante}}{\text{área bajo la curva}}

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos)

# Gráfica de datos experimentales:
t = np.array([2,6,9,12,15,18])
y = np.array([0,1.5,3.2,4.1,3.4,2.0])

2017-11-152023-02-04

1Eva_IT2015_T1 Demostrar convergencia; oferta y demanda

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 1. (25 puntos)
a) Sea:

f ∈ C^∞[a, b] ,
∃p ∈ [a, b] ,
tal que f(p)=0 y 
f'(p) ≠ 0,

demuestre que existe un intervalo que contiene a p, tal que el método de Newton-Raphson converge para cualquier p₀ que pertenece a dicho intervalo.

b) El precio de demanda de un producto está modelado mediante la ecuación:

y = 10 e^{-x} + 4

y el precio de la oferta está modelado mediante la ecuación :

y = 10 x^{2} + 2

utilizando el método de Newton, plantee la ecuación y encuentre un intervalo de convergencia.

c) Encuentre el precio y demanda donde las curvas se interceptan (equilibrio).

Rúbrica: literal a 7 puntos, literal b (8 puntos), literal c (10 puntos)

2017-11-142023-02-04

1Eva_IIT2014_T4 Conceptos

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 4. En cada enunciado complete la sentencia para que sea verdadera.

a) Si g es continua, g(x) pertenece al intervalo [a, b] y
……………………………………………………..
entonces existe p tal que g(p)=p y es único.

b) Sea la ecuación matricial x=Tx+c, si la norma de T es menor que 1, entonces,
……………………………………………………..

c) Si x₀, x₁, …, x_n son n+1 números distintos y
se tienen f(x_i) para i=0,1,2,…,n, entonces
……………………………………………………..,
con la propiedad de que f(x_k) = P(x_k) para cada k=0,1,2,…n. $P(x) = \sum_{k=0}^{n} f(x_k)L_k(x)$

2017-11-142023-02-04

1Eva_IIT2014_T3 Oxigeno y temperatura a nivel del mar

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2014. ICM00158

Tema 3.
Los siguientes datos definen la concentración de oxígeno disuelto a nivel del mar para agua dulce como función de la temperatura:

Temp (ºC)	0	8	16	24	32	40
Oxigeno (mg/L)	4.621	11.483	9.870	8.418	7.305	6.413

Estime Oxigeno(27) usando:

a. interpolación lineal,

b. polinomio de Lagrange a lo sumo de grado 2 y

c. polinomio de Lagrange de grado a lo sumo 3.

Observe que el resultado exacto es 7.986
Calcule el error para cada caso

Temp = [0.0, 8, 16, 24, 32, 40]
Oxigeno = [4.621, 11.483, 9.870, 8.418, 7.305, 6.413]

2017-11-142023-02-04

1Eva_IIT2014_T2 Componentes eléctricos

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 2. Un ingeniero eléctrico supervisa la producción de tres tipos de componentes eléctricos.

Para cada componente se se requieren tres clases de materiales:
metal 1, metal 2 y caucho.

Gramos por componente	Metal 1	Metal 2	Caucho
Componente 1	15	0.25	1.0
Componente 2	17	0.33	1.2
Componente 3	19	0.42	1.6

Se requieren disponer de componentes con el mismo desempeño, pero de menor tamaño y no se dispone de mas gramos de material que:

materiales = [2.63, 0.0534, 0.202]

a) Plantee el sistema de ecuaciones

b) Utilice el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

c) Encuentre la matriz de Jacobi y comente sobre la convergencia

d) Realice tres iteraciones con Gauss Seidel y estime el error de la segunda iteración.

e) Encuentre el número de condición y comente.

A = np.array([[15, 0.25, 1.0],
              [17, 0.33, 1.2],
              [19, 0.42, 1.6]])
B = np.array([2.63, 0.0534, 0.202])

2017-11-142023-10-13

1Eva_IIT2014_T1 Canal Triangular

1ra Evaluación II Término 2014-2015. 9/Diciembre/2013. ICM00158

Tema 1. Usted tiene que diseñar un canal triangular abierto para transportar una corriente de deshechos desde una planta química hasta un depósito de estabilización de desechos.

La velocidad media aumenta con el radio hidráulico,

$R_h = \frac{A}{P}$ ,

donde A es el área y P es el perímetro mojado de la sección transversal.

El perímetro mojado es la longitud
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua

Como la razón del flujo máximo corresponde a la velocidad máxima, el diseño óptimo corresponde a un valor θ que maximice R_h. Considere d=1 unidad.

a) Encuentre un modelo para calcular R_h en función de θ.

b) Obtenga la ecuación para encontrar el máximo.

c) Encuentre un intervalo de existencia y un intervalo de convergencia tal que el método de Newton, y

d) Aproxime θ con una precisión de 0.0001.

Nota: Si no logra encontrar el modelo en el literal a) utilice la siguiente ecuación
$R_h= \frac{d \cos(\theta)}{2(1 + \cos (\theta))}$

Referencia: Chapra Problemas 16.11 p442 pdf466.

Siendo c la hipotenusa de un triángulo del canal, la formula queda en función de la profundidad del canal d.

p = w + 2c

\frac{w}{2} = c \cos (\theta)

d = c \sin (\theta)

c = \frac{d}{sin(\theta)}

\frac{w}{2} = \frac{d}{sin(\theta)} \cos(\theta)

w = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)}

perimetro p es entonces:

p = 2d\frac{ \cos(\theta)}{sin(\theta)} + 2\frac{d}{sin(\theta)}

p = 2d\frac{ \cos(\theta)+1}{sin(\theta)}

continue calculando el área y encuentre la fórmula para el problema …

2017-11-122023-02-04

1Eva_IT2012_T3_MN Resolver con Gauss-Jordan

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

TEMA 3. (35 puntos) Con los mismos datos de las matrices T y D del problema anterior, se decide resolver el sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para lo cual la ecuación inicial X = TX + D se la reescribe en la siguiente forma:

(I – T)X = D

en donde I es la matriz identidad.

a) Obtenga la solución transformando la matriz de coeficientes I – T aumentada con el vector D.
Adjunte adicionalmente una matriz identidad que al ser transformada simultáneamente proporcione la inversa de la matriz de coeficientes

b) Calcule el número de condición de la matriz de coeficientes y comente al respecto. Use la norma de fila.

2017-11-122023-02-04

1Eva_IT2012_T2_MN Modelo Leontief

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

TEMA 2. (35 puntos) La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante en Economía.

En ésta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción.

Ejemplo: Suponga que hay tres sectores
A: agricultura,
M: manufactura
S: servicios
y su demanda interna es:

Matriz T	Producción
		A	M	S
Demanda	A	0.40	0.03	0.02
Interna	M	0.06	0.37	0.10
	S	0.12	0.15	0.19

Sea T el nombre de esta matriz.

Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.

Sea D el vector de demanda externa de cada sector, y X el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:

D = \begin{pmatrix} 80\\ 140\\200 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x3 \end{pmatrix}

en donde x₁, x₂, x₃ representan la producción total de cada sector.

Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X para satisfacer las demandas externa e interna.

a) Formule un método iterativo en notación vectorial para usar la ecuación anterior. Indique cual es el nombre de la matriz T. Analice esta matriz y determine si el método iterativo es convergente.

b) Comience con un vector inicial X = [200, 200, 200]^T realice las iteraciones necesarias hasta que la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1.

Use la norma de fila.

Referencia: Modelo Input-Output. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_Input-Output, https://es.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

T = np.array([[0.40, 0.03, 0.02],
              [0.06, 0.37, 0.10],
              [0.12, 0.15, 0.19]])

D = np.array([80.0, 140.0, 200.0],dtype=float)

Xa = np.array([200.0,200.0,200.0])

2017-11-122023-02-04

1Eva_IT2012_T1_MN Tasa de interés

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Una empresa compra una máquina en P=20000 dólares pagando A=5000 dólares cada año durante los próximos n=5 años.

La siguiente fórmula relaciona los valores de P, A, n y el interés anual x que la empresa debe pagar:

A = P \frac{x(1+x)^n}{(1+x)^n -1}

Determine la tasa de interés anual x que la empresa ha contratado.

a) Localice un intervalo que contenga a la raíz, para aplicar el método de la bisección

b) Calcule la raíz con una precisión de 0.01. Muestre los valores intermedios

Referencias:

La venta de tractores se mantiene. El comercio 24-Oct-2009. https://www.elcomercio.com/actualidad/venta-tractores-mantiene.html

2017-11-122023-02-04

1Eva_IT2012_T3 Interpolar con Lagrange

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM00158

Tema 3. (20 puntos) Se conocen los valores de una función en los siguientes puntos

f(1) = 0.75
f(1.5) = 1.34375
f(2) = 2.5
f(2.25) = 3.34765625
f(2.5) = 4.40625
f(3) = 7.25

Aproximar con el método de Lagrange, p₃(x)

xi = [1, 1.5, 2, 2.25, 2.5, 3]
fi = [0.75, 1.34375, 2.5, 3.34765625, 4.40625, 7.25]